Conseil :
Tu peux utiliser l'espace en bas ou à côté de chaque exercice pour mettre tes réponses
Exercice 1
Simplifie les expressions ci-dessous :
\(A = \sqrt {75} + 2 \sqrt{147}-9\sqrt{48}\) et \(B =\sqrt{36}- 3\sqrt{72} + \sqrt{98}\)
Exercice 2
Réponds par vrai on faux en justifiant ta réponse :
1. \(\sqrt{40}=20\)
2. \(7\sqrt{2}=\sqrt{98}\)
3.\( \sqrt{64+25}=8+5=13\)
Exercice 3
Donne une écriture simple des expressions ci- dessous :
\(A =\sqrt{ 200 }-3 \sqrt{18}+ 6\sqrt 2+\sqrt{ 50}\) ; \(B = (\sqrt 2 + 2)^2 ; C = (3\sqrt 2 - 5)^2\) ;
\(D = (3 \sqrt 2 + 5) (3 \sqrt 2 - 5)\) et \(E = \sqrt{19-\sqrt 1+\sqrt{8^2}}\)
Exercice 4
1. On considère l'expression \( X =\sqrt{ 300} + 2 \sqrt 3 - 4\sqrt{ 75}\)
Ecris \(X\) sous la forme \(a\sqrt b\) ; où a et b sont des entiers relatifs.
2. Calcule \((2 -\sqrt 3)^2\) puis déduis-en l' écriture de \(Y =\sqrt{ 7 -4\sqrt 3}\) avec un seul radical
Exercice 5
Ecris le plus simplement possible les expressions suivantes :
\(A=5\sqrt{300}+\sqrt{27}-3\sqrt{147}\)
\(B=\frac{\sqrt{ 6 -\sqrt{11}}\times \sqrt{6+\sqrt{11}}}5\)
Exercice 6
1. Calcule \((1+\sqrt 5)^2\) et \( (1-\sqrt 5)^2\)
2. On donne \(X=\sqrt{6-2\sqrt 5}\) et \(Y=\sqrt{6+2\sqrt 5}\)
a. Ecris \(X\) et \( Y\) avec un seul radical
b. Calcule \(X+Y\) et \(X-Y\)
Exercice 7
On donne \(a=5-2\sqrt 6\) et \(b =5+2\sqrt 6\)
1. Calcule \(a\times b\) . Que peux-tu en déduire ?
2. Calcule \(a^2 : b^2\) et \(\frac a b\)
3. Vérifie que \(\frac a b + \frac b a\) est un entier naturel
4. Soit \(X=\sqrt{49-20\sqrt 6}\) et \(Y=\sqrt{49+20\sqrt 6}\)
Ecris \(X\) et \(Y\) avec un seul radical
Exercice 8
On considère l' expression ci-dessous :
\(H(x) = 4(x +\sqrt 3)^2 − 4\sqrt 3 (x + \sqrt 3) + 3\)
1. Développe, réduis et ordonne \(H(x)\)
2. Déduis-en une factorisation de \(H(x)\)
Exercice 9
On donne : \(a =\frac{2-\sqrt 3}{5+\sqrt 3}\) ; \(b = 3\sqrt {18}+\sqrt{128}-\sqrt{338}\) ; \(c = \sqrt 2 -3\)
1. Rends rationnel le dénominateur de \( a\)
2. Simplifie \(b\)
3. Calcule \(c^2\) ; Déduis-en que \(p=\frac{6-\sqrt 3}{3\sqrt{5-6\sqrt 2}}\) est un rationnel que l'on déterminera
Exercice 10
On donne les expression ci-dessous:
\(p=\left [(\sqrt 3 - \sqrt 2)+1\right]\left[(\sqrt 3 + \sqrt 2)-1\right]\) et \(q=\frac{1}{1+\sqrt 2}\)
1. Calcule \(p\)
2. Rends rationnel le dénominateur de \(q\)
3. Montre que \( \frac{p+q^2}{p-2q} \in \mathbb{Z}\)
Exercice 11
Ecris le plus simplement possible les expressions ci-dessous :
\(A=\frac{\sqrt{3-\sqrt 3}\times\sqrt{3+\sqrt 3}}{\sqrt 6}\) ; \(B=\frac{-3(\sqrt 5-\sqrt 2)}{\sqrt{45}-\sqrt{18}}\)
\(C=\frac{(\sqrt 3-\sqrt{27}+\sqrt{12})}{\sqrt {54}}\) ; \(D=(\sqrt 5 -2\sqrt{80}\times \frac{\sqrt 3}{(\sqrt 5 - \sqrt{80})^2}\)
\(E=\frac{2-\sqrt 5}{2+\sqrt 5}-\frac{2+\sqrt 5}{2-\sqrt 5}\) ; \(F=\sqrt{4-2\sqrt 3}\)
\(G=\sqrt{76-2\sqrt{37-\sqrt{\frac{21}{25}+\frac 1{25}\times\sqrt{6+\sqrt{103-2\sqrt{\frac 9 4}}}}}}\)
Exercice 12
On donne un triangle ABC rectangle en A tel que \(AC= \sqrt 3-1\) et \(BC=2\sqrt 2\)
1. Calcule \(AB^2\) , déduis-en que \(AB=\sqrt 3 + 1\) puis l'aire du triangle ABC
2. Calcule\( \frac 1{AC}\) sans radical au dénominateur et déduis-en un encadrement de \(\frac 1{AC}\) d'amplitude 0,01 sachant que \(1,73<\sqrt 3<1,74\)
Exercice 13
ABCD et CHIJ sont des carrés de côtés respectifs :
\(5\sqrt 3-1\) et \(\sqrt{27}\). (Voir figure ci-contre)
Calcule :
1. l'aire du carré ABCD ;
2. l'aire du carré CHIJ ;
3. la longueur AE ;
4. le périmètre du rectangle CDFJ ;
5. l'aire de la surface coloriée
Exercice 14
On considère les expressions ci-dessous :
\(X= \frac{\sqrt 5}{\sqrt 5-\sqrt 3}- \frac{\sqrt 5}{\sqrt 5+\sqrt 3}\) et \(Y=(3\sqrt 2 - \sqrt 3)^2 + 6\sqrt 6\)
Montre que \(X\) et \(Y\) sont des nombres entiers naturels
Exercice 15
On donne \(a = \sqrt{7+4\sqrt 3}\) et \(b= \sqrt{7-4\sqrt 3}\)
1. Calcule : \(a^2\) ; \(b^2\) et \(ab\).
2. Calcule \((a + b)^2\) et \((a – b)^2\).
3. Justifie que \(a + b = 4\) et \(a – b = 2 \sqrt 3\)
Exercice 16
On donne les expressions ci-dessous :
\(X = \sqrt{4+\sqrt 7}-\sqrt{4-\sqrt 7} \) et \(Y= \sqrt{3-2\sqrt 2}- \sqrt{3+2\sqrt 2}\)
1. Détermine les signes respectifs de \(X\) et \(Y\)
2. Calcule : \(X^2\) ; \(Y^2\)
3. Déduis-en \(X\) et \(Y\).
Exercice 17
L'unité de longueur est l'hectomètre. Les dimensions d'un champ rectangulaire sont : \(2\sqrt 3 + 2\) et \(2\sqrt 3 - 2\)
Calcule :
1. le périmètre ce champ rectangulaire;
2. l'aire ce champ rectangulaire;
3. le diamètre du cercle circonscrit à ce champ rectangulaire
Exercice 18
On donne les réels : \(a=2-\frac{3\sqrt 2}2\) et \(b=\frac 1{3\sqrt 2 + 4}\)
1.Rends rationnel le dénominateur de \(b\) puis montre que les nombres \(a\) et \(b\) sont des nombres opposés
2. Soit \(A=\sqrt{(1-2\sqrt 2)^2}+ (\sqrt 2 - 2)^2 - \sqrt{18}\)
Montre que \(A=5-5\sqrt 2\) puis encadre \(A\) à \(10^{-2}\) près sachant que \(1,414<\sqrt 2<1,415\)
Exercice 19
1. On pose \(a = 1+ \sqrt 5\) et \(b= 1 - \sqrt 3.\) Calcule \(a^2\) et \(b^2\)
2 Simplifie \(c=\frac {1+\sqrt 5}{6+2\sqrt 5}\) puis rends rationnel son dénominateur
3. Montre que \(a\) et \(c\) sont des nombres inverses
4. Montre que \(d=\frac{2-\sqrt{12}}{\sqrt{4-2\sqrt 3}}\) est un entier relatif qu'on déterminera
Exercice 20
1.Ecris les expressions \(x\) et \(y\) ci-dessous sous la forme \(a\sqrt b\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers positifs
\(x=2\sqrt{50}-3\sqrt{18}+\sqrt{200}-\sqrt 2\)
\(y=\sqrt{20}+\sqrt{80}-\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{12}}\times \sqrt{48}\)
2. On donne les réels \(m=1-2\sqrt 3\) et \(n=1+\sqrt {12}\)
Sans calculer \(m^2\) et \(n^2\) , montre que \(m+n\) et \(m\times n\) sont des entiers relatifs
Déduis-en que \(m^2 + n^2\) est un entier relatif
3. On pose \(p=\frac m n\) . Rends rationnel le dénominateur de \(p\)
Exercice 21
On donne \(A=(\sqrt 5-\sqrt 3)^2\) et \(B =x^2 - 7x+10\)
1. Calcule \(A\) puis déduis-en l'expression simplifiée du nombre \(C=\frac 1 2 (\sqrt 5 - \sqrt{8-2\sqrt{15}})\)
2. Calcule \(B\) pour \(x=\sqrt 2\)
3. Donne un encadrement du nombre \(D=12-7\sqrt 2\) sachant que \(1,414<\sqrt 2 <1,415\) puis déduis-en la valeur approchée de \(D\) à \(10^{-2}\) près par défaut.
Exercice 22
1. On donne \(A=(\sqrt 2 -3)^2 \); \(B=\frac{5\sqrt 2 -1}{\sqrt 2+1}\)
2. Développe et réduis \(A\)
3. Rends rationnel le dénominateur de \(B\)
4. Donne une écriture simple de \(\sqrt B\)
Exercice 23
On donne les expressions : \(a=\sqrt {\frac{7+\sqrt{45}}{2}}\); \(b=\sqrt {\frac{7-\sqrt{45}}{2}}\)
1. Calcule \(a^2\) ; \(b^2\) ; \(ab\) ; \((a + b)^2\) et \((a – b)^2\).
2. Déduis-en l'écriture simplifiée de \(a\) puis de \(b\)
Exercice 24
1. On donne \(a=\frac{6+\sqrt 34}{2}\) et \(b=\frac{6-\sqrt 34}{2}\). Calcule \(a\times b\)
2. On pose \(A=\sqrt{\frac{6+\sqrt{34}}2}+ \sqrt{\frac{6-\sqrt{34}}2}\). Calcule \(A^2\) , puis déduis de ce qui précède le calcul de l'expression \(B=\sqrt{6+\sqrt 2} - \sqrt{\frac{6+\sqrt{34}}2}- \sqrt{\frac{6-\sqrt{34}}2}.\)
Exercice 25
On donne les nombres \(A\) et \(B\) suivants : \(A= \frac{2\sqrt 3-\sqrt 2}{2\sqrt 3 + \sqrt 2}\) ; \(B=\frac{2\sqrt 3+\sqrt 2}{2\sqrt 3 - \sqrt 2}\)
1. Calcule \(A+B\) et \(A-B\)
2. Déduis-en la différence de \(A^2 - B^2\)
Exercice 26
Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que : \(a = \sqrt{17+12\sqrt 2}\) et \(b = \sqrt{17-12\sqrt 2}\)
1. Calcule \(a \times b\)
2. On pose \(u = a + b\) et \(v = a – b\). Calcule : \(u^2\) et \( v^2\)
3. Déduis-en \(u\) et \(v\).
4. Déduis-en l'écriture simplifiée de \(a\) et de \(b\)