Conseil :
Tu peux utiliser l'espace en bas ou à côté de chaque exercice pour mettre tes réponses
Exercice 1
ABC est un triangle rectangle en C tel que : CB = 4 cm et AC = 3 cm.
Calcule : \(\sin\widehat B\), \(\cos\widehat B\) et \(\tan\widehat B\)
Exercice 2
Dans le triangle HBA rectangle en H, \(\widehat B= 60°\) et HB = 4 cm.
Calcule les distances BC et HC.
Exercice 3
ABC est un triangle rectangle en B tel que : \(\widehat A = 30°\) et CB = 5 cm.
Calcule AC et AB
Exercice 4
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : \(\sin \widehat A =\frac{\sqrt 5} 3\)
Détermine \( \cos \widehat C\)
Exercice 5
On considère un cercle (C) de centre O et de rayon r. Soit [AB] un diamètre de ce cercle, \(( \Delta )\) la tangente en B à (C). Une droite (L) passant par A recoupe (C) en C et coupe \(( \Delta )\) en E. On désigne par \(\alpha\) la mesure de \(\widehat{BAC}\)
1. Exprime en fonction de r et \(\alpha\) : CA ; CB; EA ; EB.
2. Calcule : CA ; CB ; EA; EB pour r = 2 cm et \(\alpha= 30°\)
Exercice 6
1. a. Construis un cercle (C) de centre I et de rayon 4 cm. A et B sont diamétralement opposés.
Place un point M sur (C) tel que : AM = 4 cm.
b. Quelle est la nature du triangle AMI?
c. Déduis-en la mesure de l'angle \( \widehat{BIM}\) .
2. K est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par I et la droite (AM).
a. Justifie que AMB est un triangle rectangle.
b. En remarquant que \( \cos \widehat{BAM}=\cos \widehat{KAI} \) . Calcule AK et KI.
3. Le point H est le projeté orthogonal de M sur (AB). Calcule \(\cos \widehat B\) de deux manières différentes.
Exercice 7
Soit un segment [OA], OA = 4 cm. M est un point appartenant au cercle C(O, 3 cm) tel que \(\widehat{AOM} = 30°\), R un point du plan tel que OARM est un parallélogramme.
Calcule l'aire de OARM. (Tu peux projeter orthogonalement M sur [AO])
Exercice 8
(C) est un cercle de diamètre [AB], de rayon r, (BX) est tangente à (C) en B.
Une droite passant par A coupe (C) en M et la tangente (BX) en T, avec \(\widehat{𝐵𝐴𝑇} = a°\)
Exprime AM, MB, BT, AT à l'aide de a et r
Exercice 9
Construis le triangle ABC rectangle en A tel que AB= 8 cm et AC = 6 cm.
1. Calcule BC, \(\cos \widehat{ABC}\) , \(\sin \widehat{ABC}\) puis \(\tan \widehat{ABC}\)
2. Place le point M sur le segment [AB] tel que \(AM=\frac 1 3 AB\)
3. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N. Calcule AN.
4. Soient O et P les symétriques respectifs des points M et N, par rapport à A.
Montre que (MN) est parallèle à (OP).
Exercice 10
Soit un cercle (C) de centre I et de rayon 4 cm. A et B sont deux points de (C) diamétralement opposés et M un point de (C) tel que AM = 4 cm.
1. Justifie que AMB est un triangle rectangle.
2. Quelle est la nature du triangle AMI ?
3. Déduis-en la mesure de l'angle \(\widehat{BIM}\)
4. K est le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par I et la droite (AM).
En remarquant que \(\widehat{BAM}\) = \(\widehat{KAI}\) , calcule AK et KI.
5. Le point H est le projeté orthogonal de M sur (AB).
a. Calcule \( \cos \widehat B\) de deux manières différentes.
b. Exprime BH en fonction de \(\cos \widehat B\) puis démontre que \(BH=\frac{BM^2}{AB}\)
6. Soit le point E sur le segment [AM] tel que AE = 3 cm. La parallèle à (IM) passant par E coupe le segment [A I] en F.
Quelle est la nature du triangle AEF ?
Exercice 11
1. Soit un demi-cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 2r.
Soit M un point du demi-cercle (C), plus proche de B que de A.
Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifie ta réponse.
2. Soit a et b les mesures respectives des angles \(\widehat{BAM}\) et \(\widehat{BOM}\) et C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.
a. Donne deux expressions différentes de \(\cos a\)
b. Déduis-en que : \( AC = AM \cos a\) ; \(AM^2 = AB\times AC\)
c. On sait que AC = AO + OC. Exprime OC en fonction de \(\cos b\) et de r. Déduis-en que\( AC = r (1 + cos b)\)
d. Déduis des questions précédentes que \(\cos^2 a =\frac {1+ \cos b}2\)
Exercice 12
ABC est un triangle rectangle en B. H est le pied de la hauteur issue de B. On note \(\alpha\) la mesure de \(\widehat{BCA} \) . On donne : \(\sin (\alpha) = \frac{\sqrt 5}3 \); \(BH=\frac{\sqrt 5}2 \); \(AC=\sqrt 5\)
1. a. Sachant que \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\), calcule \(\cos(\alpha)\)
b. Déduis-en HC et AB.
2. Une droite (d) parallèle à (BC) et passant par H coupe [AB] en E.
a. Compare les mesures des angles \(\widehat{EHA}\) et \(\widehat{BCA}\)
b. Déduis-en que \(\frac{AB}{BC}=\frac{EA}{EH}\)
Exercice 13
1. Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 4 cm. Calcule BC.
2. Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC]. On donne \(AB^2= BH \times BC\) et \(AC^2= CH \times BC\)
a. Calcule BH, CH puis AH.
b. La parallèle à (AH) passant par C coupe (AB) en E .Calcule AE puis déduis-en EC.
c. Calcule \( \sin \widehat E\)
Exercice 14
On donne la figure ci-contre où HG = 6 cm, EGH = 45°, \(\sin \widehat{HFG} = \frac 3 5\), (GH) est la hauteur du triangle EFG issue de G et (HG) parallèle à (ER).
1. Détermine \(\cos \widehat{HGF}\)
2. En utilisant les relations trigonométriques dans le triangle rectangle, calcule les longueurs FG et FH.
3. Justifie que le triangle EGH est rectangle et isocèle en H puis déduis-en EH.
4. Calcule la longueur RE.