Quelques mots d'introduction
Ce module a pour but de présenter trois exemples de situations ayant pour but de donner du sens à l'extension à d'autres ensembles de nombres (décimaux, fractions simples, entiers relatifs) des opérations étudiées auparavant dans l'ensemble des entiers naturels et de justifier
certaines de leurs propriétés. Ces nouveaux nombres comme les opérations sur ces nombres sont souvent introduits à partir d'exemples « de la vie courante ». Ces illustrations sont
indispensables mais ne permettent pas toujours de justifier certaines propriétés ou caractéristiques. Le but de ce module est de présenter et d'étudier des activités complémentaires permettant d'atteindre cet objectif particulier.
L'étude se limitera à trois exemples qui nous semblent illustrer de manière emblématique
cette démarche.
Le premier exemple présente une activité permettant de justifier le produit de deux fractions mais aussi du cas particulier de deux nombres décimaux. Elle s'appuie sur des connaissances
préalables des élèves sur les fractions et les décimaux.
Le deuxième exemple porte sur une activité permettant de justifier la multiplication de deux nombres décimaux, notamment l'algorithme permettant de déterminer le nombre de chiffres de la partie décimale de l'écriture décimale (avec une virgule) du produit connaissant le nombre de chiffres de chacune des écritures décimales des termes.
Le troisième exemple présente différentes introductions possibles des nombres relatifs. Elles justifient l'introduction de ces nombres en montrant en quoi, ils permettent de résoudre de nouveaux problèmes (résolution d'équations, extensions de l'opération soustraction).
Présentation des objectifs spécifiques
Plénière (5min.)
Echanger et partager sur les différents aspects des fractions à partir des représentations des enseignants;
Construire des situations problèmes en rapport avec les aspects des fractions et les opérations sur les fractions
Partie 1 - Sens et opération sur les fractions à l'élémentaire⚓
Phase 1 - Sens et opération sur les fractions à l'élémentaire⚓
Activité 1 - Recueil des représentations⚓
Méthode : Travail individuel (10min.)
Document est à photocopier et à distribuer
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document
Consigne
Répondez individuellement aux questions posées dans le document proposé
Complément : Document F2
Quelques représentations sur les fractions
1. Les fractions sont utilisées dans des activités de la vie de tous les jours. Elles fonctionnent comme des indicateurs de partage équitable. Qu'en pensez-vous ?
...............................................................................................................................................................
2. Une fraction indique toujours en combien de parts est divisée l'unité. Est-ce vrai ? Justifiez votre réponse.
...............................................................................................................................................................
3. Sur la droite numérique, les fractions permettent de coder la position des différents points de la droite par la distance, de l'origine au point considéré. Partagez-vous cette assertion ? Justifiez votre réponse.
...............................................................................................................................................................
Méthode : Plénière (20min.)
Mise en commun
Focus sur les convergences et les divergences des différentes productions. Synthèse
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document
Document F2
Le but de cette première approche est de montrer que la fraction prend du sens dans différents contextes. Citons notamment :
La fraction dans les situations de partage d'objets, de longueurs, d'aires.
La fraction comme repère sur la droite numérique.
La fraction comme opérateur.
La fraction comme résultat de la division de deux entiers.
La fraction rapport.
Etc.
1. Les fractions sont utilisées dans des activités de la vie de tous les jours. Elles fonctionnent comme des indicateurs de partage équitable. Qu'en pensez-vous ?
Réponse possible : Les élèves ont toujours vécu et pratiqué quotidiennement des situations de partage de façon implicite. D'où l'intérêt de partir de l'idée de partage pour introduire la notion de fraction.
2. Une fraction indique toujours en combien de parts est divisée l'unité. Est-ce vrai ? Justifiez votre réponse.
Réponse possible : Le partage est un des sens de la fraction. En effet, une fraction peut donner l'idée de mesure, de repère (d'étalon), d'opérateur. Il est toutefois important de proposer des exemples de partage dont le résultat est une fraction supérieure à l'unité.
Voici ci-dessous un exemple convoquant à la fois le sens partage et le sens opérateur.
Il s'agit de partager trois gâteaux entre deux enfants. Il y a deux démarches pour effectuer ce partage. La première consiste à partager chaque gâteau en deux parties égales et à prendre trois de ces parties pour chaque enfant. La seconde consiste à partager l'ensemble de trois gâteaux en deux parties égales.
La part reçue est donc :
½ + ½ + ½ = 3/2 = 1+ ½
La seconde démarche correspond au schéma et aux écritures :
Chaque enfant reçoit un gâteau entier et une moitié du dernier gâteau :
La part reçue est donc :
1 +1/2
Ce type de partage et ces deux démarches peuvent se traduire par des partages de deux longueurs, de durées, etc. Cette variété de fréquentation de contexte et de grandeurs différentes renforce le sens de la fraction.
3. Sur la droite numérique, les fractions permettent de coder la position des différents points de la droite par la distance, de l'origine au point considéré.
Partagez-vous cette assertion ? Justifiez votre réponse. Réponse possible : oui c'est l'une des fonctions des fractions : coder les longueurs et les positions de points.Notons que la graduation de la droite numérique à l'aide de repère est aussi l'occasion de faire le lien entre fraction de longueur et repère
Activité 2 - Construire des situations problèmes en rapport avec la multiplication des fractions⚓
Méthode : Travail de groupe (20min.)
Document à photocopier et à distribuer au groupe
Le document F3 propose une situation problème sur la multiplication des fractions.
Consigne
Expliquez en quoi cette représentation de la multiplication explicite et justifie la multiplication de deux fractions
Quelles sont les connaissances sur les fractions que doivent disposer les élèves pour comprendre le schéma?
Quelles difficultés sont-ils amenés éventuellement à rencontrer?
Méthode : Travail de groupe
Consigne
Comparez vos productions en vous référant au document F4
Proposez un scénario de mise en œuvre
Méthode : Plénière (20min.)
Mise en commun
Focus sur les convergences et divergences des différentes productions. Stabilisation.
Partie 2 - La retenue, addition et soustraction des nombres décimaux⚓
Présentation des objectifs de la formation
Plénière (5min.)
Donner du sens à la retenue dans la soustraction de deux nombres décimaux
Donner du sens à la multiplication de deux nombres décimaux
Phase 1 – Recueil et analyse des représentations⚓
Activité 1 - Recueil des représentations⚓
Méthode : Travail individuel (10min.)
Consigne
Effectuer l'opération suivante et justifier le placement de la virgule
3,24 x 4,75
Méthode : Plénière (15min.)
Exposition et débat sur les productions
Activité 2 - Appropriation d'une technique⚓
Méthode : Travail individuel (10min.)
Consigne
En vous inspirant du document F4 du module précédent, trouver une situation permettant de donner du sens au produit:
1/10 x 1/10
Méthode : Plénière (10min.)
Échange sur les productions en se référant au document D1
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Document D1 : produit de 02 décimaux
On peut donner du sens au produit \( \frac{1}{10} X \frac{1}{10} \)en se ramenant à un schéma du type :
Le produit \( \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \) correspond à l'aire d'un carré de longueur de côté \( \frac{1}{10}\) . Si on ramène cette aire à l'aire d'un carré unité (de côté \( \frac{10}{10}\) = 1) ; on vérifie aisément que \( \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \) = \( \frac{1}{100}\)
De même nous aurons 0,1 x 0,1 = 0, 01.
Un raisonnement analogue permet de donner du sens au produit de deux décimaux quelconques
Méthode : Travail individuel (10min.)
Consigne
Lire le doc 2, comment est justifiée la technique de multiplication de deux décimaux?
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document
Document D2
Consigne
Comment justifer la "règle suivante" relative à la multiplication de 02 décimaux
pour multiplier 3,2 par 4,5
Tu effectues la multiplication de 32 par 45 sans tenir compte de la virgule
Tu comptes le nombre de chiffres total des deux parties décimales des termes du produit
Pour détermine la partie décimale du produit : tu déplaces la virgule d'autant de rang vers la gauche
Technique courante pour placer la virgule, je compte les chiffres qui sont dans la partie décimale des facteurs et je déplace la virgule d'autant de rang vers la gauche. |
Pour justifier cette règle, il faut introduire les écritures fractionnaires décimales :
3,2 x 4,5 = \( \frac{32}{10} \times \frac{45}{10} \)
Le document 6 nous amène à généraliser la démarche de calcul du produit de
deux fractions décimales et à écrire 3
\( \frac{32}{10} \times \frac{45}{10} \) = \( \frac{32 \times 45}{100} \) = \( \frac{1440}{100} \) = 14,40
D'où la règle...
Méthode : Plénière (20min.)
Partage entre pairs de la technique
Phase 2 – Réinvestissement⚓
Activité 3 - Mise en œuvre de la démarche⚓
Méthode : Travail individuel (10min.)
Consigne
Appliquer cette technique à l'opération suivante après avoir vérifié le Document D3 ci-contre
3,24 x 4,75=
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document
\(3,24 \times 4,75 = \frac{324 }{100} \) = \( \frac{475}{100} = \frac{324 \times 475}{10000} = \frac{153900 }{10000} = 15,39\)
Cela justifie la règle et la disposition ci-dessous :
Méthode : Travail de groupe (30min.)
Transfert du modèle dans le cadre d'un scénario d'activité d'enseignement apprentissage
Consigne
Proposer une séance d'enseignement-apprentissage en activité numérique sur la multiplication des nombres décimaux au CM2
Partie 3 - Donner du sens aux nombres relatifs⚓
Présentation des objectifs spécifiques
Plénière (5min.)
Déterminer les aspects d'un nombre décimal relatif ;
Proposer des entrées possibles pour l'introduction des nombres décimaux relatifs ;
Dégager des pistes pour donner du sens aux opérations dans l'ensemble des décimaux relatifs ;
Phase 1 – Recueil de représentations des enseignants⚓
Activité 1 - Recueil des représentations⚓
Méthode : Travail individuel (30min.)
Consigne
Lire le document N1 ci-joint (extrait d'un article publié par le groupe de didactique des mathématiques de l'IREM d'Aquitaines AMPERES-INRP) et répondre aux questions du document N2
Complément :
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document N1
Méthode :
Consigne
Après avoir lu le Document N1 répondre aux questions du Document N2 suivant
Document N2
Questions :
1. Lister les différents obstacles épistémologiques relatifs aux nombres relatifs présentés dans cet article
2. Lister les différents contextes concrets pouvant donner du sens aux nombres relatifs ; préciser pour chaque sens ainsi construit et les limites éventuelles de ce type d'illustration (notamment pour les opérations).
3. Dans quelle mesure, une introduction se situant dans un contexte mathématique basé sur la résolution d'équations, l'extension des opérations de N à D et le
plongement des entiers naturels dans les entiers relatifs permet de pallier aux limites ci-dessus ?
4. Quelles conclusions peut-on en déduire quant à l'enseignement des relatifs
Complément :
Cliquer ici pour récupérer la version .docx du document N2
Méthode : Plénière (20min.)
Mise en commun
Focus sur les convergences et les divergences des différentes productions.
Synthèse en référence au document N3
Complément :
Complément :
Document N3 : Résumé de l'extrait de l'article "enseigner les nombres relatifs au collège"
(Groupe Didactique des Mathématiques, IREM d'Aquitaine AMPERES-INRP)
Cet article a pour but d'attirer l'attention des professeurs sur certaines difficultés susceptibles d'être produites par un enseignement privilégiant certains aspects des nombres relatifs ou certains contextes particuliers.
Les auteurs s'appuient pour cela sur des obstacles épistémologiques issus des recherches sur l'histoire de la construction de ces nombres. Le terme d'obstacle épistémologique est emprunté à Bachelard (La formation de l'esprit scientifique, 1938) qui a montré comment certaines conceptions et connaissances scientifiques dans la communauté des chercheurs scientifiques pouvaient à un moment donné du développement de cette science faire obstacle à la construction de nouvelles connaissances.
1. Les différents obstacles épistémologiques
Les auteurs développent quatre obstacles de ce type.
Le premier est lié à la construction du sens des nombres négatifs. Les nombres ne pouvant être que positifs, les éléments intervenant dans des calculs de comptabilité par exemple n'avaient pas aux départ un statut de nombres et étaient désignés comme des « quantités négatives ».
Le deuxième obstacle est lié au changement du statut du nombre zéro (ou repère zéro) quand on complète la droite numérique avec les nombres négatifs. Au départ, nombres positifs et nombres négatifs ont souvent été représentés par deux demi-droites.
Le troisième obstacle est lié à la volonté de donner un sens concret à ces nombres. Les mathématiciens mettront beaucoup de temps à admettre l'existence de solutions négatives d'une équation (Cardan sera l'un des premiers).
Le quatrième obstacle réside dans l'impossibilité de trouver un modèle concret unifiant permettant d'illustrer à la fois les deux opérations arithmétiques : addition et multiplication. De plus, dans l'écriture (–5) – (6) les deux signes « - » n'ont pas le même sens. L'un désigne le signe du relatif, l'autre l'opération soustraction. Le modèle des repères (température, chronologie) ne permet pas de définir la somme de deux relatifs, le modèle des gains et pertes ne peut donner du sens à la multiplication de deux relatifs négatifs.
2. Les contextes concrets illustrant les nombres relatif
Recettes et dépenses, gains et pertes, températures, altitudes, chronologie, ascenseurs, avancer et reculer : les nombres relatifs peuvent avoir selon les cas deux significations différentes : un état, une variation.
Les contextes de repérages sur la droite numérique : selon les cas, les nombres peuvent représenter des repères ou la mesure algébrique d'un déplacement.
-3 représente la mesure algébrique du déplacement de 1 à -2 mais -2 et 1 représentent des repères.
-3 et 2 comme -5 représentent des mesures algébriques de déplacements. Ces deux sens peuvent amener des confusions chez les élèves.
Les limites de chaque contexte, le sens des opérations : ce qui peut poser des problèmes de compréhension :
Additionner des valeurs algébriques de déplacement nécessite une compréhension de ce qu'est la composée de deux transformations (notion toutefois accessible dès le CM). Additionner peut revenir à soustraire (-1) + (-5). Inversement, soustraire peut revenir.
Additionner peut revenir à soustraire (-1) + (-5). Inversement, soustraire peut revenir à additionner (+5) – (-7)
Impossible de donner du sens à l'addition de deux repères, de deux températures, de deux dates, par contre ces contextes peuvent aider à la compréhension de l'addition si on considère des variations d'états.
Impossible de donner du sens à la multiplication de deux relatifs négatifs à partir de gains et pertes.
3. Le contexte mathématique
D'après les auteurs, ce contexte permet d'introduire les nombres relatifs comme de nouveaux nombres dans la mesure où ils permettent de résoudre des équations qui n'avaient pas de solutions dans N ou de prolonger les opérations de N à D.
Il permet pour une part de distinguer les statuts différents des signes « + » et « - » : signe du nombre ou opération.
N.B. : Il peut présenter une difficulté : celui de travailler directement sur des « êtres » abstraits.
4. Conclusion
Aucun contexte permet d'atteindre tous les buts recherchés mais il semble important :
De proposer et croiser différentes approches et différents contextes
De ne pas trop privilégier un contexte ou des contextes pouvant créer des obstacles difficiles à surmonter par les élèves.
Activité 2 - Introduction des nombres décimaux relatifs⚓
Méthode : Travail de groupe (20min.)
Consigne
Analyser cette situation en vous référant à l'étude précédente
Document N4
Cas1 : Situation de référence sur l'introduction des nombres décimaux relatifs à par déplacements rectilignes.
Sur la droite graduée orientée ci-dessous, on place les points M, N et O.
Indique à ton camarade les positions des points M et N par rapport au point O.
Dans la suite, on convient que tout point placé après le point O est repéré par un décimal devant lequel on mettra (+) , tout point placé avant le point O est repéré par un décimal devant lequel on mettra (-) et le point O est repéré par le décimal nul 0.
En vous appuyant sur cette règle, repérer les points A, B, C et D sur la droite graduée orientée ci-dessous :
Cas2 : Situation de référence sur l'introduction des nombres décimaux relatifs à en
Un jeu consiste à faire des pas sur une piste rectiligne.
Modou fait 3 pas en avant puis 7 pas en arrière en restant sur la même direction. Fatou, elle fait 5 pas en avant et 3 pas et demi en arrière, Moussa fait 8 pas en arrière et 5 pas en avant.
Donne les différentes positions s'ils prennent tous départ au point O.
Complément :
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document N4
Méthode : Travail de groupe (20min.)
Consigne
Analyser cette situation en vous référant aux critères d'une situation didactique et à la démarche de l'analyse à priori
Document N5 : une deuxième situation de référence sur l'introduction des nombres décimaux relatifs comme solution d'une équation
N° | Aspect | Situation de référence |
|---|---|---|
1 | Introduction des décimaux relatifs NB : ce mode de présentation des entiers relatifs est inspiré de l'article « Enseigner les nombres relatifs au collège » dont un extrait a été étudié dans la première partie de ce module | Activité préalable (prérequis) : manipulation de l'égalité : (a + b) – c = a + (b – c) Les élèves doivent résoudre mentalement des exercices du type « le jeu des voyageurs ». Il s'agit d'un problème de composition de transformations (cf. module 1, résolution de problèmes) « Dans un autocar, il y a n voyageurs, à un arrêt il en monte a et il en descend b, combien y-a-t-il de voyageurs quand l'autocar repart ? » Il y a deux procédures de résolution de ce type d'exercices. Une première méthode revenant à calculer par étapes les états successifs de l'autocar : n' = n + a n'' = n' – b Une seconde méthode revenant à composer les transformations « monter » et « descendre » et appliquer le résultat à l'état initial n'' = n + (a - b) quand a > b ou n'' = n - (b - a) quand a <= b. On peut envisager une présentation s'appuyant sur les cas suivants par ordre de difficulté croissante. Le choix de la taille des nombres et l'ordre dans lequel ils sont énoncés peuvent favoriser la mobilisation d'une procédure de composition. « Dans un autocar, il y a 33 voyageurs, à un arrêt il en monte 6 et il en descend 4, combien y-a-t-il de voyageurs quand l'autocar repart ? » Le professeur demandera aux élèves de calculer mentalement les problèmes. Ils pourront éventuellement effectuer des calculs en ligne mais ne poseront pas l'opération. Il demandera aux élèves d'exposer leur procédure de résolution et fera comparer les procédures mobilisées par les élèves et soulignera les avantages de chacune en termes d'économie de calcul. |
Dans le cas ou a est supérieur ou égal à b, il généralisera la comparaison de ces deux procédures en produisant une écriture générale du type (a + b) – c = a + (b – c) Ce type d'exercice peut ensuite être repris dans un autre contexte : gains et pertes, variations d'états, etc. Situation de découverte Etape 1 : Introduction des nombres négatifs Le professeur demande aux élèves de compléter les pointillés : 12+......= 25 42+......= 87 523+......= 735 68+......= 68 8+......= 6 D'abord les élèves complètent mentalement puis quand les nombres deviennent grands ils posent la soustraction. Pour « 8+......= 6 », la plupart des élèves disent que c'est impossible car en argumentant que la soustraction de deux nombres décimaux arithmétiques n'est possible que si le premier est plus grand que le deuxième. Des élèves intuitivement ou parce qu'ils ont déjà rencontrés des nombres négatifs peuvent proposer « -2 ». Le professeur peut alors demander « Comment on peut passer de 8 à 6 ? » Réponses possibles des élèves
Lors de la mise en commun, les élèves confrontent leurs solutions. En se référant à la situation précédente (le jeu des voyageurs) traitée à un autre moment de l'année, et à la relation (a + b)- c = a + (b - c) Il en déduit donc que le calcul est possible car : 8 + (6 - 8) = (8 + 6) – 8 = 6 et dit : « nous pouvons en déduire que » : 6 - 8 = 2 - 4 = 0 - 2 = 1 – 3 = -2. Le professeur explique alors que les écritures 6-8 ; 2-4 ; 0-2 ; 1-3 sont les différentes écritures d'un nouveau nombre noté «-2 ». |
Le nombre négatif est introduit comme la différence de deux nombres positifs. N.B. : Notons que le nombre -2 est introduit sans parenthèses autour de -2 sauf quand il est situé après un signe d'addition et que les écritures 2 et +2 désignent le même nombre. Réinvestissement Ecrire plusieurs égalités ayant – 2 comme solution. Les élèves écrivent par exemple : 3+.....= 1 ou 1 -3=... 5+ (-2) = 3 ou 3-5=-2 2+ (-2) = 0 ou 0-2=-2 Bilan On peut effectuer des soustractions pour lesquelles le premier terme est plus petit que le second, le résultat est un nombre négatif, il s'écrit avec un signe « – » . Etape2 : Opposés Complète les pointillés : 5+......= 0 3+......= 0 ......+ 6= 0 ......+ 13= 0 Ce travail permettant de définir l'opposé d'un nombre relatif, le professeur énonce lors du bilan la définition de l'opposé d'un nombre relatif. Bilan Deux nombres sont opposés quand leur somme vaut zéro. Exemple : 6+ (-6) = 0. Les deux nombres 6 et (-6) sont opposés. Exercice de réinvestissement : Effectuer les soustractions suivantes : 52-23= 4,8-7,2= 17-25 = 0,25-1,3= 34-26 = 0,75-0,38= 48-82= |
Complément : Plénière (20min.)
Mise en commun
Focus sur les convergences et divergences des différentes productions en référence aux conclusions émises dans le document N3
Phase 2 – Réinvestissement⚓
Activité 3 - Sens des opérations⚓
Travail de groupe (40min.)
Consigne
Donner du sens aux opérations dans l'ensemble des décimaux relatifs
Justifier les techniques des opérations.
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document N6
Conseil :
Ce document décrit des situations permettant de donner du sens aux opéartions sur les décimaux (addition, multiplication)
1. Questions relatives à l'addition de deux nombres relatifs
Deux contextes sont convoqués. Dans chaque cas :
Comment sont justifiés les résultats obtenus ?
Analysez les avantages et les inconvénients de chaque introduction
En quoi sont-ils complémentaires ?
2. Questions relatives à la multiplication de deux nombres relatifs
Analysez la situation proposée à l'étape 1.
Quel sens de la multiplication est traité ?
Comment le professeur peut-il à partir de cet exemple donner du sens à la multiplication d'un nombre relatif négatif par un nombre relatif positif.
Sur quelle propriété de la multiplication peut-il appuyer pour donner du sens à la multiplication d'un relatif positif par un relatif négatif ?
Analysez la situation proposée à l'étape 2.
Quelles sont les réponses possibles des élèves ?
Sur quelle propriété le professeur peut-il s'appuyer pour justifier la
multiplication de deux relatifs négatifs ?
Opérations | Sens |
Addition des nombres relatifs, généralisation NB : comme à l'étape précédente, Les situations présentées sont inspirées de l'article « Enseigner les nombres relatifs au collège » | Remarques préliminaires : introduire l'addition par des contextes pose notamment les questions suivantes :
Pourquoi ces situations se traduisent-elles par une addition ? Pourquoi cette opération ?
parfois une soustraction arithmétique. Pourquoi parle-t-on dans les deux cas de l'addition des nombres relatifs ? 1. Calcul formel d'addition de nombres relatifs dont le résultat est un nombre négatif Le professeur pose la question : « imaginez des additions dont le résultat est un nombre négatif. ». Trois cas peuvent être envisagés : Cas 1 : 5 + (-8) La réponse est donnée en référence aux manipulations d'écritures précédentes : 5 + (–8) = 5 – 8 = -3 Cas 2 : -8 + 5 La réponse -3 est justifiée par le calcul ci-dessous faisant intervenir l'opposé -8 + 5 = -8 + (8 – 3) = (-8 + 8) – 3 = -3 Cas 3 : (-6) + (-9) Le même principe amène : (-6) + (-9) = (-6) + (6 – 15) = (-6 + 6) + (-15) = -15 2. Bilan, gains et pertes Jeux de billes : Au jeu de billes, Modou fait le bilan de ses différentes participations dans le tableau ci-dessous :
Réinvestissement : Mamadou a une dette de 200F. Il reçoit 700F de son oncle. Peut-il rembourser sa dette ? Quelle est sa situation financière ? Traduis sa situation financière avec des nombres relatifs. |
Multiplication | Etape 1 : Un contexte concret de multiplication d'un nombre relatif négatif par un autre positif Abdou doit 3 mois de loyer à son logeur. Le loyer mensuel est de 7 500 francs. Quel montant doit-il payer en tout ? Traduis sa situation avec des relatifs. Etape2 : multiplication de deux relatifs négatifs Dans une classe lors de l'enseignement de la multiplication des décimaux relatifs, deux camps se dégagent :
Aide le professeur à départager ses élèves. |
Méthode : Travail de groupe (40min.)
Synthèse et présentation d'un modèle d'analyse
Consigne
Confronter vos productions. Comparer avec la proposition du document N7.
Cliquer ici pour récupérer la version pdf du document N7
Document N7 :Element de réponses aux questions de document N6
1. Questions relatives à l'addition de deux nombres relatifs
Deux contextes sont convoqués. Dans chaque cas :
Comment sont justifiés les résultats obtenus ?
Analysez les avantages et les inconvénients de chaque introduction
En quoi sont-ils complémentaires ?
Les deux types de justifications apportées et les deux contextes mobilisés relèvent :
D'une part d'un contexte mathématique (épuré), les justifications apportées sont
internes aux mathématiques et font appel à des extensions des propriétés des
opérations de N à Z ou à D. - D'autre part des contextes concrets, notamment en référence à une modélisation de
bilans, de gains et de pertes.
Le premier contexte propose une justification, basée sur des exemples puis généralisés et décontextualisés, qui unifie de par sa nature décontextualisée les justifications illustrées par des exemples. Par contre, il se situe délibérément dans un niveau de conceptualisation formel qui peut être d'accès difficile pour certains élèves (pas forcément constitué des élèves les plus défavorisés comme le montrent les recherches effectuées sur ce public).
Le second contexte s'appuie sur un contexte jugé (pour nombre de professeurs et de formateurs) raisonnablement plus accessible aux élèves (ce qui reste toutefois à vérifier ; en effet, qui parmi les élèves issus des milieux les plus favorisés ente 8 et 12 ans manipulent ces sommes d'argent ?) Cela peut donner du sens, pour certains élèves, aux notions convoquées mais relève comme nous l'avons vu précédemment d'une modélisation pouvant conduire à des obstacles (cf. activités précédentes). Ce contexte doit être convoqué dans une progression proposant différents points de vue aux élèves mais il doit être relativisé car il ne permet pas de donner du sens à la multiplication de deux relatifs de signes différents dans tous les cas.
Si ce contexte est a priori plus abordable dans un premier temps pour les élèves, il nécessite toutefois une manipulation formelle d'écritures qui doit être explicitée.
Jeux de billes : Au jeu de billes, Modou fait le bilan de ses différentes participations dans le tableau ci-dessous :
Bilan du matin | Bilan de l'après midi | Bilan de la journée | Bilan de la journée avec un nombre | Opération résumant la journée |
|---|---|---|---|---|
Gagné 10 billes | Gagné 8 billes | 18 billes gagnées | 18 | 10 + 18 = 18 |
Perdu 8 billes | Gagné 12 billes | 4 billes gagnées | 4 | 12 – 8 = 4 (-8) + 12 = 4 |
Perdu 6 billes | Perdu 5 billes | 11 billes perdues | -11 | (-6) + (-5) = -11 |
Gagné 5 billes | Perdu 8 billes | 3 billes perdues | -3 | 5 – 8 = -3 5 + (-8) = -3 |
Gagné 9 billes | Perdu 9 billes | 0 bille perdue (ou gagnée) | 0 | 9 + (-9) = 0 9 – 9 = 0 |
Perdu 4 billes | Gagné 0 bille | 4 billes perdues | -4 | -4 + 0 = -4 (-4) + 0 = -4 |
Gagné 0 bille | Perdu 5 billes | 5 billes perdues | -5 | 0 + (-5) = -5 |
2. Questions relatives à la multiplication de deux nombres relatifs
Etape 1
Opérations | Sens |
|---|---|
Multiplication | Etape 1 : Un contexte concret de multiplication d'un nombre relatif négatif par un autre positif Abdou doit 3 mois de loyer à son logeur. Le loyer mensuel est de 7 500 francs. Quel montant doit-il payer en tout ? Traduis sa situation avec des relatifs. |
Analysez la situation proposée à l'étape 1.
Quel sens de la multiplication est traité ?
Il s'agit d'introduire la multiplication d'un relatif négatif par un relatif positif comme une addition réitérée en se basant sur un contexte de gains et pertes de billes. Les auteurs introduisent la multiplication comme addition réitérée.
Comment le professeur peut-il à partir de cet exemple donner du sens à la
multiplication d'un nombre relatif négatif par un nombre relatif positif. ?
Les calculs demandés sont alors : (-7500 F) + (-7500 F) + (-7500 F) = -22500 F
Calcul plus économique à traduire par une multiplication : (-7500) x 3 = - 21700 F
L'argument justifiant ce calcul est lié à la proportionnalité : le prix du triple d'une quantité est égal au triple du prix de la quantité initiale.
Sur quelle propriété de la multiplication peut-il appuyer pour donner du sens
à la multiplication d'un relatif positif par un relatif négatif ?
Cet exemple ne permet pas de justifier le calcul d'un nombre positif par un nombre relatif négatif. Il faut alors faire appel à l'extension de la propriété de distributivité de la
multiplication sur l'addition :
Voici un déroulement possible :
Le professeur demande de conjecturer le résultat de la multiplication : 5 x (-6)
Des élèves peuvent raisonnablement proposer : -30
La démonstration, faite au tableau avec des sollicitations fréquentes d'élèves et
s'appuyant sur la conjecture (à vérifier) que 5 x (-6) est l'opposé de 5 x 6, est la suivante :
5 x (-6) + 5 x 6 = 5 x ((-6) = 6) = 5 x (-6 = 6) = 5 x 0 = 0
Une seconde démonstration possible s'appuie sur l'égalité -6 = 0 – 6 :
5 x (-6) = 5 x (0 – 6) = 5 x 0 – 5 x 6 = 0 – 30 = -30
Nous voyons ici qu'un appel à des calculs plus formels et à des justifications liées à l'extension des propriétés des opérations est incontournable
Etape 2
Analysez la situation proposée à l'étape 2.
Quelles sont les réponses possibles des élèves ?
Deux postures peuvent être envisagées :
- Sur la base des fréquentations précédentes de manipulations d'écritures, des élèves peuvent penser qu'il serait judicieux d'ajouter au produit cherché un autre produit connu de sorte qu'une mise en facteur soit possible.
NB : Le professeur peut le suggérer si aucun élève y pense
Blocage des élèves qui ne sont pas capables d'envisager même avec après la suggestion du professeur une démonstration du résultat.
Sur quelle propriété le professeur peut-il s'appuyer pour justifier la multiplication de deux relatifs négatifs ?
Lors d'une mise en commun, est exposé le calcul suivant :
(– 3) × (– 5) + (-5) x 3 = (-5) x [(-3) + 3] = (-5) x 0 = 0
Ou bien
(– 3) × (– 5) + 5 x (-3) = (-3) x [(-5) + 5] = (-3) x 0 = 0
Le professeur pourra alors établir le bilan suivant :
« Pour multiplier des nombres relatifs, on multiplie les valeurs numériques et pour trouver le signe du produit on applique la règle suivante :
Le produite de nombres positifs est positif
Le produit d'un positif et d'un négatif est négatif
BIBLIOGRAPHIE ET SITOGRAPHIE⚓
BIBLIOGRAPHIE
BERTE A., DESNAVRES C. CHAGNEAU J., LAFOURCADEJ.F., CONQUER L., MAURATILLE M.C., SAGEAUX C., ROUMIHAC D.R., MENER (2016), (2008), Enseigner les nombres relatifs au collège, Repères-IREM 73, 59-72, IREM de Grenoble,Grenoble
SITOGRAPHIE
MENER (2016), Les fractions et nombres décimaux au cycle 3 : documents ressources du MENER,
MENER (2016), Le calcul aux cycles 2 et 3 : documents ressources du MENER,
MENER (2016), Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes : les nombres décimaux : documents ressources du MENER,
MENER (2016), Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes : les fractions : documents ressources du MENER,
MENER (2016), Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes : les relatifs : documents ressources du MENER,
Remerciements⚓
Le projet remercie tout particulièrement :
L'expert international : David Butlen, Didacticien des mathématiques - professeur d'Université à Cergy-Pontoise
L'expert national : Mangary Ka, FASTEF UCAD
L'expert local : Landing Diemé, CRFPE Ziguinchor
Et toutes les personnes qui ont participé à la conception de ce module notamment :
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