Introduction
Le but de ce deuxième module est de fournir un outil aux enseignants leur permettant de déterminer les éléments de l'énoncé sur lesquels ils peuvent agir, qu'ils peuvent transformer pour proposer une variété d'énoncés de problèmes d'un même type et ainsi accroître la familiarité des élèves avec la structure mathématique convoquée. La maîtrise de ces variables leur permettra d'élaborer un enseignement progressif prenant en compte les besoins des élèves et visant la construction de ce que les psychologues appellent « la mémoire du problème » ou « le schéma de problème ».
Méthode : Présentation des objectifs spécifiques (5 min.)
choisir des types de problèmes de différentes structures ;
jouer sur les variables numériques (taille et nature des nombres) ou
jouer sur les autres variables (contexte, type de grandeur, nombre de données numériques, présence de données inutiles temps et mode de résolution) ;
Phase 1 - Première rencontre avec la notion de variable d'une situation⚓
Activité 1 - Recueil des représentations⚓
Méthode : Consigne 1
Résoudre et classer les problèmes ci-dessous selon leur type. Pour chaque énoncé, indiquer :
La nature et le nombre des données numériques
Les grandeurs et le contexte convoqués
La présence éventuelle de données inutiles
Tout autre élément pouvant permettre de caractériser l'énoncé
Pour un même type de problèmes, identifier ce qui change d'un énoncé à l'autre. Hiérarchiser en termes de complexité ces énoncés.
On pourra remplir le tableau ci-dessous :
Exemple : Liste de problèmes relevant d'une structure additive
Problèmes | Typologie des structures | Variables | |
|---|---|---|---|
variables numériques | Autres variables | ||
Une course comprend deux étapes : une de 127 km et une autre de 230 km. Trouve la longueur totale de la course ? | |||
La course de rallye Paris- Dakar comprend quatre étapes : Une étape de 1275 km, une autre de 2025 km, une autre de 2800 km et enfin une étape de 2925 km. Trouve la longueur totale de la course. | |||
Un commerçant loue un camion immatriculé DK 9656/N dont le poids vide est de 5 t pour transporter sa marchandise composée de : 10,5 t d'arachide, 5,4 t de sorgho, et 3,8 t de mil. Calcule en kg la masse totale de la marchandise. | |||
Un commerçant dispose de 508m de tissu à vendre. Après une semaine de vente, il mesure son tissu et trouve 219m. Trouve la longueur de tissu vendue. | |||
Après le référendum, la commission électorale d'une commune a compté 196 512 voix pour le OUI. Sachant que le nombre de personnes qui ont voté (oui ou non) dans ce centre est de 345 758. Trouver le nombre de voix pour le NON | |||
Une famille de 6 personnes met en réserve 1500 litres d'eau. Après deux jours de consommation, il ne reste plus que 800 litres d'eau. Quelle est la quantité d'eau consommée ? | |||
Un livreur de pain dépose dans un kiosque 35 petits pains et récupère les 43 petits qui n'ont pas été vendus la veille. A-t-il plus ou moins de petits pains quand il repart ? Combien en plus ou en moins ? | |||
Une unité de transformation des produits laitiers a collecté 1850 litres de lait. Après une semaine de travail, 635,75 litres de lait sont transformés en fromage. Quelle est la quantité de lait non transformée ? | |||
Un car de 25 places quittes Sedhiou pour Kolda. En cour de route, 8 personnes descendent à Sakhar et 7 à Oudoucar. Trouve le nombre de passagers qui arrivent à Kolda. | |||
Un train quitte Dakar pour Bamako avec 528 passagers à bord. Arrive à Thiès, 60 passagers descendent et 45 montent. A la gare ferroviaire de Tamba 75 descendent et 103 montent. Combien de passagers arrivent à destination. | |||
Mise en commun⚓
Méthode : Consigne 2
Exposer et confronter vos différentes productions.
Méthode : Consigne 3
Faire la synthèse puis mettre en relation avec la proposition ci-dessous.
Exemple :
Problèmes | Typologie des structures | Variables | |
|---|---|---|---|
Variables numériques | Autres variables | ||
Une course comprend deux étapes : une de 127 km et une autre de 230 km. Trouve la longueur totale de la course ? | Structures additives : partie/partie/tout, recherche du tout connaissant les parties | Nombres entiers de l'ordre des centaines, deux données numériques | Contexte de la mesure des longueurs, distances |
La course de rallye Paris- Dakar comprend quatre étapes : Une étape de 1275 km, une autre de 2025 km, une autre de 2800 km et enfin une étape de 2925 km. Trouve la longueur totale de la course. | Nombres entiers naturels (de l'ordre du millier) ; 5 données numériques dont une inutile | Contexte de la mesure des longueurs, distances Le changement porte sur la taille des nombres entiers | |
Un commerçant loue un camion immatriculé DK 9656/N dont le poids vide est de 5 t pour transporter sa marchandise composée de : 10,5 t d'arachide, 5,4 t de sorgho, et 3,8 t de mil.Calcule en kg la masse totale de la marchandise. | Nombres entiers et décimaux, 5 données numériques | Contexte de la mesure des masses, une donnée inutile Le changement porte sur le nombre de données (suite d'addition) et sur le contexte (masse au lieu de longueur) | |
Un commerçant dispose de 508m de tissu à vendre. Après une semaine de vente, il mesure son tissu et trouve 219m. Trouve la longueur de tissu vendue. | Structures additives : partie/partie/tout, recherche d'une partie connaissant le tout et l'autre partie | Nombres entiers, deux données numériques | Contexte de la mesure des longueurs Le changement porte sur le contexte longueur de tissu au lieu de distance à parcourir |
Après le référendum, la commission électorale d'une commune a compté 196 512 voix pour le OUI. Sachant que le nombre de personnes qui ont voté (oui ou non) dans ce centre est de 345 758. Trouver le nombre de voix pour le NON | Nombres entiers de l'ordre de plusieurs centaines de milliers, Deux données numériques | Contexte de la vie courante (élection) Le changement porte sur le contexte (comparaison de quantités de votes exprimés) et sur la taille des entiers naturels convoqués | |
Une famille de 6 personnes met en réserve 1500 litres d'eau. Après deux jours de consommation, il ne reste plus que 800 litres d'eau. Quelle est la quantité d'eau consommée ? | Nombres entiers (de l'ordre du milliers), trois données numériques dont une inutile | Contexte de la mesure des capacités, une donnée inutile Le changement porte sur le type de grandeur (capacités) et la présence d'une donnée inutile | |
Un livreur de pain dépose dans un kiosque 35 petits pains et récupère les 43 petits qui n'ont pas été vendus la veille. A-t-il plus ou moins de petits pains quand il repart? Combien en plus ou en moins? | Comparaison d'états, recherche du critère de comparaison | Deux données numériques, entiers naturels | Domaine de la vie courante, comparaison de quantités discrètes Le changement porte sur le contexte |
Une unité de transformation des produits laitiers a collecté 1850 litres de lait. Après une semaine de travail, 635,75 litres de lait sont transformés en fromage. Quelle est la quantité de lait non transformée ? | Transformation d'états avec recherche de l'état final ou partie-partie-tout | Deux données numériques, entiers décimaux de l'ordre du millier | Contexte de la mesure des capacités Le changement porte sur les grandeurs convoquées (capacités au lieu de longueurs) et sur la taille et la nature des nombres (décimaux) |
Un car de 25 places quitte Sedhiou pour Kolda. En cours de route 8 personnes descendent à Sakhar et 7 à Oudoucar. Trouve le nombre de passagers qui arrivent à Kolda. | Composition de deux transformations ; recherche de l'état final connaissant l'état initial et les transformations | 3 données numériques, deux transformations, domaine des entiers naturels | Quantités discrètes (voyageurs, montée et descente) Le changement porte sur le type de problèmes |
Un train quitte Dakar pour Bamako avec 528 passagers à bord. Arrive à Thiès, 60 pasagers descendent et 45 montent. A la gare ferroviaire de Tamba 75 descendent et 103 montent. Combien de passagers arrivent à destination. | 5 données numériques, domaine des entiers naturels, Deux compositions éventuelles en deux temps (4 transformations) | Quantités discrètes (voyageurs, montée et descente) Cf ci-dessus. Le changement porte sur le nombre de données et sur le nombre de transformations | |
Activité 2 - Apport d'informations sur les variables d'une situation⚓
Méthode : Consigne 1
Lire le document ci-dessous et dégager les idées directrices développées dans le texte.
Exemple :
Définitions et exemples de variables
Un élève d'un niveau donné aura maîtrisé un type de problème quand il sera capable de résoudre tout énoncé relevant de cette catégorie quelles que soient le contexte et les données intervenant dans l'énoncé, quel que soit la modalité de travail.
On appellera variable de la situation, tout élément pouvant varier dans l'énoncé ou dans les modalités de travail des élèves sans changer le problème lui-même.
L'enseignant peut jouer sur différentes catégories de variables : les variables numériques, le nombre de données numériques, le contexte de l'énoncé, le type de grandeur, la présence de données inutiles.
Les variables numériques
La taille des nombres (25 ; 0,025 ; 25 000 000) ;
Le domaine numérique : entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels),
L'écriture du nombre (0,5 ; \(\frac{1} {2}\) ; \(\frac{5} {10}\); \(\frac{50} {100}\) ; un demi, une moitié, etc.)
Le nombre de variables numériques utiles ou inutiles
Le contexte de l'énoncé
Contexte de la « vie courante » (achat, commande, activité scolaire, sportive, contexte familial ou social, etc.)
Enoncé décontextualisé, contexte mathématique, sans appel à une grandeur
Type de grandeur et unités de mesure
Grandeurs simples : Prix (Fcfa), longueur (m, km, etc.), masse (g, kg etc.), capacité (l, d, etc.), durée (h, mn, s, etc.) , quantité discrète (25 jetons, 25 personnes, etc.),
Grandeurs multiples : aire (cm2, m2, etc.), volume (cm3, m3, etc.),
Grandeurs quotients : vitesse (m/s ; km/h etc.), débit (l/s,(cm2, m2, etc.)
Grandeur repérable : température (degré Celsius ou centigrade)
Modalités de travail
Calcul mental, calcul en ligne, calcul posé
Exigence d'un format de rédaction de la solution
Usage du cahier de brouillon
Travail individuel ou collectif (partage des tâches)
Ces variables peuvent être introduites progressivement ou simultanément.
Exemples d'énoncés relevant d'une comparaison d'états
Exemple 1 :
Pierre a 12 billes, Paul en a 23. Paul a-t-il plus ou moins de billes que Pierre ? Combien en plus ou en moins ?
Exemple 2 :
Pierre a 369 billes, Paul en a 459. Paul a-t-il plus ou moins de billes que Pierre ? Combien en plus ou en moins ? (Augmentation de la taille des nombres naturels en jeu)
Exemple 3 :
Un vendeur a vendu 12 mètres de tissu le premier jour. Le second jour, il en a vendu 23 mètres ? A-t-il vendu plus ou moins de tissu le second jour. Combien en plus ou en moins ? (Changement du contexte : mesure des longueurs)
Exemple 4 :
Pierre la première semaine a travaillé 12 heures, la seconde semaine, il a travaillé 23 heures. A-t-il travaillé plus ou moins la seconde semaine ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de contexte, mesure de durées)
Exemple 5 :
Un vendeur a un lot de tissu. Le premier jour, il a vendu \(\frac{1}{3}\) de son lot. Le second jour, il a vendu \(\frac{2}{5}\) du lot. A-t-il vendu plus ou moins de tissu le second jour que le premier ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de domaine numérique : fractions)
Exemple 6 :
Pierre la première semaine a travaillé 6 heures 35 minutes, la seconde semaine, il a travaillé 7 heures et demi. A-t-il travaillé plus ou moins la seconde semaine ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de contexte, mesure de durées, intervention de différentes unités).
Exemple 7 :
La distance entre la terre et le soleil est de 149 597 870 km, la distance entre mars et le soleil est de 228 millions de km. Mars est-elle plus éloignée ou plus proche du soleil que la terre ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de contexte : distances astronomiques et taille des entiers naturels convoqués)
Méthode : Mise en commun
Échanges autour de la notion de variable.
Méthode : Stabilisation
Veuillez saisir vos conclusions dans la zone de saisie ci-dessous.
Phase 2 - Construction d'énoncés mathématiques (réinvestissement et approfondissement)⚓
Activité 3 – Construire des énoncés de problèmes élémentaires en jouant sur les structures et les variables de l'énoncé.
Mise en œuvre de la démarche
Méthode : Consigne
Choisir deux types de problèmes (un relevant des structures additives, l'autre relevant des structures multiplicatives)
Jouer sur les variables numériques (taille et nature des nombres) et sur les autres variables (contexte, type de grandeur, nombre de données numériques, présence de données inutiles temps et mode de résolution) afin de construire une progression permettant aux élèves d'apprendre ces types de problèmes dans différents contextes et dans différents domaines numériques.
Classer ces énoncés par ordre de complexité éventuelle. Justifier votre hiérarchie.
Conseil :
L'analyse des productions prendra en compte les éléments travaillés lors des deux précédentes activités.
Attention :
Attention plusieurs hiérarchies sont envisageables.
Synthèse et présentation de productions possibles à retenir
Consignes :
Confronter vos productions.
Comparer avec la proposition de document ci-dessous.
Document⚓
LES VARIABLES DE L'ÉNONCÉ, UN OUTIL POUR INSTALLER DE MANIÈRE DURABLE LA RECONNAISSANCE DE L'OPÉRATION EN JEU DANS UN PROBLÈME ÉLÉMENTAIRE
Référence au travail du module 2
1. Définitions et exemples de variables
Un élève d'un niveau donné aura maîtrisé un type de problème quand il sera capable de résoudre tout énoncé relevant de cette catégorie quels que soient le contexte et les données intervenant dans l'énoncé, quelle que soit la modalité de travail.
On appellera variable de la situation, tout élément pouvant varier dans l'énoncé ou dans les modalités de travail des élèves sans changer le problème lui-même.
L'enseignant peut jouer sur différentes catégories de variables : les variables numériques, le nombre de données numériques, le contexte de l'énoncé, le type de grandeur, la présence de données inutiles.
Les variables numériques
La taille des nombres (25 ; 0,025 ; 25 000 000) ;
Le domaine numérique : entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels),
L'écriture du nombre (0,5 ; ; ; ; un demi, une moitié, etc.)
Le nombre de variables numériques utiles ou inutiles
Le contexte de l'énoncé
Contexte de la « vie courante » (achat, commande, activité scolaire, sportive, contexte familial ou social, etc.)
Énoncé décontextualisé, contexte mathématique, sans appel à une grandeur
Type de grandeur et unités de mesure
Grandeurs simples : Prix (Fcfa), longueur (m, km, etc.), masse (g, kgetc.), capacité (l, d, etc.), durée (h, mn, s, etc.) , quantité discrète (25 jetons, &é personnes, etc.),
Grandeurs multiples : aire (cm2, m2, etc.), volume (cm3, m3, etc.),
Grandeurs quotients : vitesse (m/s ; km/h etc.), débit (l/s,(cm2, m2, etc.)
Grandeur repérable : température (degré Celsius ou centigrade)
Modalités de travail
Calcul mental, calcul en ligne, calcul posé
Exigence d'un format de rédaction de la solution
Usage du cahier de brouillon
Travail individuel ou collectif (partage des tâches)
Ces variables peuvent être introduites progressivement ou simultanément.
2. Exemples d'énoncés relevant d'une comparaison d'états
Exemple1:
Pierre a 12 billes, Paul en a 23. Paul a-t-il plus ou moins de billes que Pierre ? Combien en plus ou en moins ?
Exemple2:
Pierre a 369 billes, Paul en a 459. Paul a-t-il plus ou moins de billes que Pierre ? Combien en plus ou en moins ? (Augmentation de la taille des nombres naturels en jeu)
Exemple3:
Un vendeur a vendu 12 mètres de tissu le premier jour. Le second jour, il en a vendu 23 mètres ? A-t-il vendu plus ou moins de tissu le second jour. Combien en plus ou en moins ? (Changement du contexte : mesure des longueurs)
Exemple4:
Pierre la première semaine a travaillé 12 heures, la seconde semaine, il a travaillé 23 heures. A-t-il travaillé plus ou moins la seconde semaine ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de contexte, mesure de durées)
Exemple5:
Un vendeur a un lot de tissu. Le premier jour, il a vendu les de son lot. Le second jour, il a vendu du lot. A-t-il vendu plus ou moins de tissu le second jour que le premier ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de domaine numérique : fractions)
Exemple6:
Pierre la première semaine a travaillé 6 heures 35 minutes, la seconde semaine, il a travaillé 7 heures et demi. A-t-il travaillé plus ou moins la seconde semaine ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de contexte, mesure de durées, intervention de différentes unités).
Exemple7:
La distance entre la terre et le soleil est de 49 597 870 km, la distance entre mars et le soleil est de 228 millions de km. Mars est-elle plus éloignée ou plus proche du soleil que la terre ? Combien en plus ou en moins ? (Changement de contexte : distance astronomiques et taille des entiers naturels convoqués)
Remerciements⚓
Le projet remercie tout particulièrement :
L'expert international : David Butlen, Didacticien des mathématiques - professeur d'Université à Cergy-Pontoise
L'expert national : Mangary Ka, FASTEF UCAD
L'expert local : Landing Diemé, CRFPE Ziguinchor
Et toutes les personnes qui ont participé à la conception de ce module notamment :
|
|