Introduction
« Prévoir permet de gérer...»
Le but de ce troisième module sur la résolution de problème est de fournir un outil aux enseignants leur permettant de prévoir et donc de prendre en compte les procédures des élèves, de les hiérarchiser afin de les faire évoluer vers les procédures expertes prévues par les programmes. De même, l'analyse a priori des erreurs éventuelles des élèves leur permettra de les repérer, de les analyser et de les prendre en charge.
Méthode : Présentation des objectifs spécifiques (5 min.)
Répertorier les savoirs en jeu dans la résolution d'un problème de numération ;
Identifier les procédures de résolution de problèmes en les hiérarchisant (de la solution primitive vers la plus experte)
Prévoir les erreurs susceptibles d'être produites par les élèves
Phase 1 – Une première approche de l'analyse d'un problème⚓
Activité 1 – Recueil des représentations⚓
Méthode : Consigne 1:
Voici un problème proposé à des élèves. Préciser les savoirs en jeu puis exposer différentes solutions possibles attendues des élèves ainsi que des erreurs susceptibles d'être produites.
Énoncé (30 min.)
Un élève parcourt 3 km en 20 minutes pour se rendre à son école.
Combien mettra-t-il de temps pour parcourir 4,5 km ?
Veuillez noter vos réponses dans la zone de saisie ci-dessous.
Méthode : Mise en commun (25 min.)
Mettez en commun vos différentes productions en faisant ressortir les convergences et les divergences. Synthèse.
Présentation de la notion d'analyse à priori⚓
Méthode : Consigne (20 min.)
Lisez le document ci-dessous. Dégagez les idées directrices développées dans le texte. Dite ce qu'est une analyse à priori dans le cadre de la résolution de problèmes.
Exemple : LES DEUX ÉTAPES DE L'ANALYSE A PRIORI D'UN PROBLÈME
ÉTAPE 1 : Résolution du problème par un expert : c'est-à-dire connaissant les procédures expertes mathématiques de résolution. Ces procédures serviront de repères pour le professeur. En effet dans le cas de problèmes élémentaires (ou complexes), l'objectif d'enseignement est la mobilisation par les élèves de ces procédures, voire selon le niveau scolaire, leur automatisation.
EXEMPLE :
Énoncé : Un élève parcourt 3 km en 20 minutes pour se rendre à son école. Combien mettra-t-il de temps pour parcourir 4,5 km ?
Il existe deux interprétations de ce problème correspondant à une situation de proportionnalité si on admet que la vitesse est constante ou qu'il s'agit d'une vitesse moyenne.
Une interprétation conforme au modèle physique d'un mouvement uniforme : ce problème est alors un problème de proportionnalité simple pouvant faire intervenir comme grandeurs : la durée (exprimée en minutes), une distance (exprimer en km) et une vitesse moyenne (pouvant s'exprimer en km/min). La fonction linéaire sous-jacente est la fonction
f : R → R
f : x → f(x) = \(\frac{3}{20}\) x
Cela nécessite de suivre l'ordre induit par la lecture de la question figurant dans l'énoncé et non celui de l'exposition des données, il se traduit alors par des schémas du type :
20 → 3 ou bien en utilisant la représentation de Vergnaud 20 3
? → 4,5 ? 4,5
Le coefficient de proportionnalité (coefficient de la fonction linéaire) s'exprime dans ces unités par un rationnel \(\frac{3}{20}\). Si l'unité de longueur choisie est par exemple le mètre (et non le km), il sera égal à \(\frac{3000}{20}\)=\(\frac{300}{2}\)=150 (coefficient exprimé en m/min)
Si on choisit un autre ordre induit par l'exposé des données dans l'énoncé, on a alors une relation de proportionnalité se modélisant par la fonction linéaire réciproque de celle exposée ci-dessus mais dont le coefficient n'a plus de sens physique courant.
f : R →R
f : x → f(x) = \(\frac{20}{3}\) x
Il se traduit alors par des schémas du type :
3 → 20 ou bien en utilisant la représentation de Vergnaud 3 20
4,5 → ? 4,5 ?
Nous nous plaçons dans le premier cas conformément aux programmes sénégalais de l'élémentaire et du moyen. A l'inversion de la relation de linéarité près, les procédures expertes sont semblables dans les deux cas.
Quatre procédures expertes peuvent être mobilisées pour résoudre ce problème qui renvoie plus ou moins directement à la reconnaissance du modèle linéaire simple (existence d'une fonction linéaire).
L'application des propriétés de linéarité (propriétés caractéristiques d'une fonction linéaire) :
3km → 20 min
1,5 km = 3 km : 2 → 20 min : 2 = 10 min
4,5 km = 3 km + 1,5 km → 20 min + 10 min = 30 min
Le passage par le coefficient de proportionnalité
3 km → 20 min
1 km = 3 km : 3 →\(\frac{20}{3}\) min
4,5 km → \(\frac{20}{3}\)×4,5= \(\frac{20x4,5}{3}\) =\(\frac{90 min}{3}\)=30 min
La règle de trois (calcul accompagné d'un raisonnement en « fois moins » et « fois plus »)
\(\frac{20x4,5}{3}\)
Le produit en croix : application de la propriété de deux rapports égaux (ou fractions égales) : le produit des moyens est égal au produit des extrêmes
Attention : l'expertise porte sur la mobilisation de(s) l'opération(s) à effectuer mais pas sur la technique de calcul utilisée (calcul mental, calcul en ligne ou calcul posé).
ÉTAPE 2 :
Procédures de résolution (justes ou erronées) susceptibles d'être mobilisées par un élève
Il s'agit dans cette étape de déterminer les procédures (justes ou erronées) susceptibles d'être mobilisées par un élève dans un état de connaissances donné (notamment en référence aux programmes) à un moment et niveau donné de la scolarité.
Procédures justes : Il est vraisemblable que pour les élèves, se soit la seconde traduction qui soit quasiment systématiquement privilégiée surtout si la procédure visée par l'enseignant est la règle de trois.
On peut exclure la mobilisation du produit en croix qui suppose une connaissance plutôt stabilisée des fractions équivalentes de leur propriété caractéristique encore peu ou pas installées en 6e. De même, si les procédures « règle de trois » à l'élémentaire et « passage par le coefficient de proportionnalité » au collège seront sans doute respectivement plus fréquentes car privilégiées par les programmes des niveaux scolaires correspondants, d'autres procédures faisant appel aux propriétés de linéarité notamment sont susceptibles d'être mobilisées.
Identification des erreurs des élèves : nous renvoyons les lecteurs à la lecture du scénario de remédiation figurant dans le module « analyse de pratiques » pour une analyse fine des erreurs des élèves. Toutefois, on peut envisager les types d'erreurs suivants :
Erreur de calcul : techniques mises en œuvre mal maîtrisées au moment de la résolution
Multiplication des données entre elles
Addition des données entre elles (cf. schème additif)
Mélanges des cas ci-dessus
Mobilisation d'un schème additif correspondant au raisonnement erroné suivant
3 → 20
4,5 = 3 + 1,5 → 20 + 1,5 = 21,5
Méthode : Mise en commun (20 min.)
Mettez en commun vos différentes productions en faisant ressortir les convergences et les divergences. Stabilisation.
Phase 2 – Réinvestissement⚓
Activité 3 – Analyse a priori d'un problème
Mise en œuvre de la démarche
Méthode : Consigne 1
Appliquez cette démarche au problème ci-dessous
Exemple : Énoncé
Dans mon école, il y a 5 élèves en plus dans la classe de monsieur Ba que dans celle de madame Ndiaye. Il y a 23 élèves dans notre classe ; cela fait trois élèves de moins que dans la classe de monsieur Ba. Combien y a-t-il d'élèves dans la classe de madame Ndiaye?
Méthode : Consigne 2
Complétez le tableau ci-dessous ; vous pouvez illustrer ou décrire les procédures envisagées en proposant des schémas explicatifs
Énoncé de l'exercice | Analyse à priori | |
|---|---|---|
Dans mon école, il y a 5 élèves en plus dans la classe de monsieur Ba que dans celle de madame Ndiaye. Il y a 23 élèves dans notre classe ; cela fait trois élèves de moins que dans la classe de monsieur Ba. Combien y a-t-il d'élève dans la classe de madame Ndiaye. | Savoirs en jeu : | Procédures susceptibles d'être mobilisées |
Synthèse et présentation d'un modèle d'analyse⚓
Méthode : Consigne 3
Confrontez vos productions. Comparez avec la proposition ci-dessous
Exemple :
Énoncé de l'exercice | Analyse à priori | |
|---|---|---|
Dans mon école, il y a 5 élèves en plus dans la classe de monsieur Ba que dans celle de madame Ndiaye. Il y a 23 élèves dans notre classe ; cela fait trois élèves de moins que dans la classe de monsieur Ba. Combien y a-t-il d'élèves dans la classe de madame Ndiaye. | Savoirs en jeu : | Procédures susceptibles d'être mobilisées |
| Résolution primitive Par comptage :
à partir d'un dessin
Ma classe : .....- 3 = 23 élèves ? ....+ 5 = 26 élèves ? à partir d'un graphique
Solutions expertes :
| |
Phase 3 - Réinvestissement pour la conception de nouvelles pratiques⚓
Performances et productions d'élèves de Casamance
Mise en œuvre de la démarche
Méthode : Consigne
Lire les performances et productions d'élèves de Casamance à un test de résolution de problèmes élémentaires (élémentaire et moyen). Résumer les principaux résultats concernant les pourcentages de réussites, liés à chaque type de problèmes, les erreurs éventuellement décrites et les explications apportées.
Condition de passation
Afin de tester les performances et productions des élèves lors de la résolution de problèmes élémentaires du type de ceux étudiés dans les trois modules consacrés à la résolution de problèmes. Deux séries de tests ont été élaborées respectivement pour l'élémentaire et le moyen comportant chacun 12 problèmes. La passation s'est effectuée en deux temps de 30 minutes. Les élèves doivent lire les six énoncés figurant sur une feuille photocopiée et choisir au moins 4 problèmes à résoudre. Ils doivent écrire leur solution sur la feuille. Aucune aide à la résolution ne doit être apportée par le professeur.
Les niveaux de classes concernés sont sauf exception le CM1 et la 6e.
Nous présentons ci-dessous un échantillon portant sur un échantillon d'élèves de l'élémentaire et du moyen.
Analyse des tests de l'élémentaire⚓
Test 1 élémentaire⚓
Taux de réussite des exercices
L'échantillon porte sur un effectif de 164 élèves. Les exercices suivants, présentés dans l'ordre de leur choix, leur ont été soumis.
Exercices | Énoncé | Types | Taux de réussite |
Ex 1 | Pendant 21 jours, Madani doit prendre 2 ampoules de médicament à chaque repas. Il prend 3 repas par jour. Combien d'ampoules exactement va-t-il acheter ? | Proportionnalité composée (deux multiplications : 21 x 2 x 3 = 126) ; addition réitérée, domaine des nombres entiers naturels ; contexte de la mesure de grandeurs diverses | 2,9% |
Ex 4 | Un livreur de pain dépose dans un kiosque 35 petits pains et récupère les 43 petits qui n'ont pas été vendus la veille. A-t-il plus ou moins de petits pains quand il repart ? Combien en plus ou en moins ? | Comparaison additive d'états, évaluation de la comparaison (43 – 35 = 18 ; 18 petits pains en plus), domaine des entiers naturels | 5,9% |
Ex 2 | Un commerçant dispose de 508m de tissu à vendre. Après une semaine de vente, il mesure son tissu et trouve 219m. Trouve la longueur de tissu vendue. | Partie-partie-tout, recherche d'une partie connaissant le tout et l'autre partie (soustraction : (508 – 219 = 289), domaine des nombres entiers naturels. Contexte de la mesure de longueurs | 32% |
Ex 3 | On estime qu'un litre d'eau de mer permet d'obtenir 35 grammes de sel. Combien de litres d'eau de mer faut-il pour obtenir 43750 grammes de sel. | Proportionnalité simple avec connaissance du coefficient de proportionnalité, division (recherche du nombre de parts : 43750 : 35 = 1250), domaine des nombres entiers naturels (grands nombres), contexte de la mesure de grandeurs (masse, capacité) | 1,4% |
Ex 6 | En vue de prévenir les coupures d'eau courante dans son quartier, Henriette remplit une citerne avec un seau de 12 litres et un autre seau de 7,5 litres. Elle a versé 18 fois les contenus de ces deux seaux. Quel est, en litres, la capacité de la citerne ? | Multiplication (addition réitérée, proportionnalité simple) avec recherche d'une donnée intermédiaire ((12 + 7,5) x 18) = 19,5 x 18 = 351), domaine des nombres décimaux ; contexte de la mesure de grandeurs (capacité) | 0% |
Ex 5 | Dans ma valise, je remplace 17kg de livres par 13,9kg de vêtements. Ma valise est-elle alors plus lourde ou plus légère qu'avant ? De combien ? | Comparaison additive d'états, évaluation de la comparaison (17 – 13,9 = 3,1 ; 3,1 kg en moins) ; contexte de la mesure de grandeurs (masse) | 9,5% |
Rappel :
Les exercices 1 et 2 ont été massivement choisis et ont eu les meilleurs scores. Ce sont des exercices qui mobilisent des nombres d'un ordre de grandeur très faible dans un contexte familier. En principe le contrôle syntaxique aiderait à trouver les solutions.
Par contre l'exercice 4, qui de prime abord est simple d'après le choix des apprenants, a été échoué par environ 94% des élèves. Ici la difficulté majeure réside dans le fait que ni l'état initial, ni l'état final auxquels il faut se référer pour faire la comparaison, ne peuvent ni ne doivent être calculés. Les états seront comparés à partir de la résultante des transformations, ce qui n'est pas un type de problèmes couramment traité dans les classes. Il faut aussi noter que le non recours à des procédures primitives constitue un obstacle à la résolution de cet exercice. En effet, un schéma permettrait de trouver rapidement les solutions ou du moins de se représenter le problème.
Quant à l'exercice 6, il n'a été résolu par aucun élève. Il peut poser une difficulté de compréhension du contexte. Les élèves doivent comprendre qu'il faut verser en même temps les contenus des deux seaux. La question est de savoir s'il faut multiplier la somme par 18 ou multiplier chacun des contenus par 18 et faire la somme ensuite. Dès lors, le contrôle sémantique devient difficile.
Complément :
Les tableaux ci-dessous présentent les pourcentages d'élèves ayant choisi chaque exercice et le pourcentage de bonnes réponses.
Le meilleur pourcentage de réussite est enregistré à l'exercice1 ; il n'atteint même pas 33%, il est suivi par l'exercice 2 avec 32%. Ce qui prouve que les résultats de ce test sont faibles dans l'ensemble.
Il semble que la procédure experte est la plus fréquemment employée, mais il faut dire que cette variable est difficile à renseigner car nous ne disposons pas de suffisamment d'indice pour décider. En effet, les élèves essaient de résoudre le problème au brouillon jusqu'à la validation de leur procédure avant de « mettre au propre » leur production. Cette démarche fait disparaître toutes les traces de la recherche de l'élève.
Les deux graphiques montrent que le taux réussite d'un exercice ne dépend pas du pourcentage d'élèves l'ayant choisi. Il semble donc que les élèves éprouvent des difficultés à reconnaître les exercices qu'ils sont capables de traiter.
Les types d'erreurs
Le tableau ci-dessous présente le pourcentage d'élèves ayant produit les différents types d'erreurs par exercice
Nous avons pris en compte et codé plusieurs types d'erreurs :
AS : confusion entre addition et soustraction
MD : confusion entre multiplication et division
AM : confusion entre structures additives et structures multiplicatives
ECALC : erreur de calcul (mauvaise maîtrise de la technique opératoire)
Autres : Autre type d'erreurs
Les erreurs les plus fréquentes sont les erreurs relevant d'une confusion entre structures additives (addition/soustraction) et structures multiplicatives (multiplication/division) comme le montre le fort pourcentage d'erreurs codé AM aux exercices 2 à 6. Notons aussi un fort pourcentage d'erreurs codées « autres » et codées erreurs de calculs (ECALC) et enfin des erreurs internes à la structure additive : confusion entre l'addition et la soustraction. Les nombreuses erreurs peuvent aussi expliquer la faiblesse des résultats.
Ce test montre que ces problèmes élémentaires se révèlent tous difficiles pour les élèves de l'élémentaire qui ne savent pas encore, pour une grande partie d'entre eux, reconnaître l'opération en jeu.
Test 2 élémentaire⚓
Le tableau ci-dessous présente les énoncés des exercices, leur type ainsi que le pourcentage d'élèves ayant réussi chaque exercice. Le graphique 4 présente les pourcentages d'élèves ayant choisi chaque type d'exercices et de bonnes réponses.
Les élèves dans une très grande majorité ont choisi de traiter les quatre premiers exercices. Cela peut s'expliquer par un manque d'habitude de ce type de choix ou par le fait qu'ils se sont laissé guider par l'ordre de présentation. Notons aussi qu'il peut être difficile à la suite d'une simple lecture des énoncés de reconnaître et de trier les exercices les plus faciles et ceux qui sont plus difficiles, à moins que la difficulté ne soit trop flagrante. Notons que les élèves ayant choisi l'exercice 5 le réussissent mieux (relativement) que les exercices 2, 3 et 4 qui sont majoritairement choisis. Cela renforce l'idée que les élèves ne sont pas habitués à faire le bon choix.
Exercices | Énoncé | Types | Niveau réussite |
|---|---|---|---|
Ex 1 | Une course comprend deux étapes : une de 127 km et une autre de 230 km. Trouve la longueur totale de la course ? | Partie-partie-tout, recherche du tout connaissant les parties, domaine des entiers naturels, contexte de grandeurs (longueur), addition (127 + 230 = 357) | 0,1% |
Ex 2 | Sur le plan d'une maison, la longueur de la façade principale est de 22,5cm. Pour obtenir les longueurs réelles à partir du plan, il faut multiplier les dimensions par 50. Quelle est la longueur réelle de la façade ? | Proportionnalité simple, multiplication (connaissance du coefficient de proportionnalité), domaine des décimaux, contexte : problème d'échelle (22,5 x 50 = 450) | 3,8% |
Ex 3 | Dans une boucherie, on propose le gigot de vache à 3000Fcfa le kilogramme et l'épaule du mouton à 4500Fcfa le kilogramme. Pour un kilogramme, calcule l'écart entre les deux prix. | Comparaison additive d'états, évaluation de l'écart, domaine des entiers naturels, contexte prix, soustraction (4500-3000 = 1500) | 2,4% |
Ex 4 | Dans une localité, la population est estimée à 3000 habitants. La consommation annuelle de cette population est de 60000 kilogrammes de sucre. Calcule la consommation moyenne de sucre par habitant. | Proportionnalité simple, division (60000 : 3000 = 20), calcul de la valeur d'une part (ou du coefficient de proportionnalité), domaine des nombres entiers naturels | 7,5% |
Ex 5 | Pour paver sa terrasse rectangulaire, Mansour achète des pavés de 120 grammes pièce. Il doit en mettre 12 dans le sens de la largeur et 23 dans le sens de la longueur. Quelle masse de pavés utilise-t-il ? | Multiplication (120 x 12 x 23 = 333120), mesure produit, contexte : calcul d'aire et masse ; domaine des nombres entiers naturels | 29,3% |
Ex 6 | Deux avions volent l'un au-dessus de l'autre en conservant entre eux une différence d'altitude de 250m. Le plus bas vole à une altitude de 1730m. Trouve à quelle altitude l'autre avion vole-t-il ? | Comparaison additive d'états, détermination d'un état connaissant l'autre et la comparaison, domaine des entiers naturels ; addition (1730 + 250 = 1980), contexte : grandeur (longueur) | 0,7% |
Hypothèse : Qu'est-ce-qui pourrait justifier l'échec patent au niveau de certains exercices ?
Concernant l'exercice 6 (moins de 1% de réussite), la situation n'est pas familière, ce qui peut rendre plus difficile la compréhension de l'énoncé. Il faut ajouter à cela qu'il s'agit d'une comparaison additive d'états qui se révèle être un type de problèmes posant d'énormes difficultés aux élèves. Il en est de même de l'exercice 3 (2,4% de réussite) qui porte lui aussi sur une comparaison additive d'états mais dans un contexte toutefois peut-être plus familier aux élèves. L'exercice 2 repose sur la notion d'échelle que les élèves semblent méconnaître (3,8% de réussite) ou avoir oublié. Il s'agit d'un problème de proportionnalité, notion que les élèves ne maîtrisent pas comme l'atteste aussi le taux de réussite très faible (7,5%) à l'exercice 4 portant sur la même notion de proportionnalité mais dans un contexte numérique.
Notons le faible pourcentage de réussite à l'exercice 1 pourtant relevant pourtant d'un contexte et d'une opération familiers aux élèves (l'addition de deux longueurs)
Notons enfin qu'environ plus de 70% des élèves de l'élémentaire ont échoué à tous les exercices du test et plus de 90% ont échoué aux exercices 2, 3, 4 et 6. Nous retrouvons les conclusions du test 1. Très peu d'élèves pensent ou s'autorisent à utiliser des procédures plus primitives que celles habituellement attendues institutionnellement. Ils ne semblent pas disposer ou mettre en œuvre des outils de contrôle de leur production notamment d'ordre syntaxique. Ils éprouvent de très grandes difficultés face aux problèmes de types : proportionnalité et de comparaison d'état faisant intervenir des transformations successives. Il faut aussi signaler que les exercices qui ont trait à la géométrie sont souvent mal maîtrisés.
Rappel : Conclusion
Plus de 63 % des élèves de l'élémentaire ont échoué à tous les exercices des tests 1 et 2 , ils n'ont mobilisé que la procédure experte ; d'autres procédures plutôt plus primitives (voir modules sur la résolution de problèmes) ne sont quasiment jamais mises en œuvre à l'élémentaire. Cela montre que ces élèves se révèlent très limité en matière de choix de stratégies de résolution et de moyens de contrôle de leurs productions. Cela dénote aussi des limites en matière de raisonnement (formulation et validation de stratégies de résolution). Le calcul posé est la règle générale car souvent imposé par les enseignants ; le recours au calcul mental étant plus ou moins réprimé (refus lié sans doute à un soupçon de tricherie potentielle).
Analyse des tests du collège⚓
Test 1 collège⚓
Le tableau ci-dessous présentent les énoncés des exercices et le pourcentage d'élèves ayant choisi chaque exercice. Le graphique 5 précisent la répartition des choix et le graphique 6 les pourcentages de réussite.
L'exercice1 est le seul exercice que les élèves ont choisi de faire (94,9%) et qu'ils ont plus ou moins réussi (30% de réussite). En effet, seuls les exercices 1 et 5 ont été réussis par un peu moins de 30% des élèves mais l'exercice 5 est moins choisi (64%). Tous les autres exercices connaissent un taux d'échec supérieur à 90% (Cf. graphique 6).
Nous pouvons penser que les élèves choisissent les exercices qui sont plus abordables pour eux et évitent de choisir les exercices les plus difficiles. Le classement des exercices selon les choix des élèves des plus faciles aux plus difficiles s'établit comme le présente le graphique 5.
Notons que l'exercice 6 pourrait être jugé, à juste titre, plus difficile par les élèves car il porte sur successivement plusieurs relations de proportionnalité faisant intervenir deux grandeurs. En effet, il s'agit de calculer le nombre total de carreaux à partir des masses unitaires des carreaux, puis d'imaginer le pavage d'un rectangle implicite pour calculer sa longueur à partir de son aire (en carreaux) et de sa largeur. C'est un exercice de proportionnalité composée ; malgré sa simplicité, il semble être atypique et n'entre pas dans la mémoire de problèmes des élèves du collège. Très faiblement réussi (0,7% de réussite,) il a été toutefois choisi par une faible majorité d'élèves.
Concernant l'exercice 5, on peut dire que la taille des nombres et son contexte significatif et familier ont favorablement joué sur son semblant de réussite (29,3), malgré le fait qu'il porte sur des transformations successives.
A l'exception de l'exercice1, tous les exercices massivement choisis par les élèves ont été échoués.
En conclusion, les critères de choix ne sont pas déterminants dans la réussite de l'exercice. Nous retrouvons le résultat fait pour l'école élémentaire : les élèves n'ont pas le recul et la pratique suffisante pour identifier les exercices qu'ils sont en mesure de traiter, et ce d'autant plus que cette pratique leur est étrangère.
Exercices | Énoncés | Types | Pourcentage des choix |
|---|---|---|---|
Exercice 1 | Le journal du soir d'une télévision commence à 21 h 30 mn. Il dure 1 h 30 mn. A quelle heure ce journal se termine-t-il ? | Transformation d'états, recherche de l'état final, contexte des durées, domaine des nombres complexes, addition (21 h 30 + 1 h 30 = 23 h 00) | 94,9% |
Exercice 2 | Nicolas a payé une facture de 160 398 FCFA pour une location d'une voiture pendant trois jours. Après avoir rendu la voiture, Nicolas a calculé que cette location lui revenait à 325 FCFA par jour et par kilomètre. Combien Nicolas a-t-il parcouru de kilomètre ? | Proportionnalité composée, division (160398 : 3 = 53466 ; 53466 : 325 = 164,51), recherche du nombre de parts), domaine des nombres décimaux, contexte des grandeurs (prix, vitesse, durée), | 79,1% |
Exercice 3 | Ngor et Lamarana ont repeint chacun un mur de leur maison. Ngor a utilisé 14, 5 kg de peinture et Lamarana en a utilisé 29 kg. La quantité utilisée par Ngor représente combien de fois moins que celle utilisée par Lamarana? | Comparaison multiplicative d'états, évaluation de la comparaison, domaine des décimaux, division (29 : 14,5 = 2 ; deux fois moins), contexte de grandeurs (masse) | 71,7% |
Exercice 4 | Un champ rectangulaire mesure 250 m de périmètre. Sa longueur mesure 96 m. Quelle est sa largeur ? | Division et soustraction (250 : 2 = 125 ; 125 – 96 = 29), recherche d'une dimension connaissant le périmètre et une dimension, domaine des nombres entiers. | 85,2% |
Exercice 5 | Mamadou a obtenu une bonne moyenne générale au premier trimestre, mais au deuxième trimestre il a perdu 3 points. Au troisième trimestre, il a encore perdu 2 points et a obtenu une moyenne de 12 points. Quelle était sa moyenne au premier trimestre ? | Composition de transformations additives (négatives), recherche de l'état initial, domaine des entiers, additions ( 12 + 2 + 3 = 17) | 64% |
Exercice 6 | Pour carreler son salon, Ndiégane a acheté 45 360 g de carreaux. Chaque carreau pèse 120 g. Il met 14 carreaux dans le sens de la largeur. Combien doit –il en mettre dans le sens de la longueur pour utiliser tous les carreaux ? | Divisions successives dans un contexte de calcul d'aire et de masse (45 360 : 120 = 378 ; 378 : 14 = 27), domaine des entiers (grands nombres) | 51,2% |
Test 2 collège⚓
Présentation des énoncés, des choix des élèves et des pourcentages de réussite
Comme précédemment nous présentons dans le tableau ci-dessous et dans les graphiques 7 et 8 ci-dessous les énoncés des problèmes, les choix effectués par les élèves et les pourcentages de réussites à chaque exercice.
L'analyse porte sur un échantillon de 98 élèves du moyen. Nous avons fait l'hypothèse que le choix de l'exercice par un élève est fondé sur l'estimation de ses chances de le réussir. Dans ce cas les élèves pensent que les exercices sont plus accessibles dans l'ordre suivant : exercice1, exercice2, exercice3, exercice4, exercice 6 et exercice5 (Cf. graphique N°7). Mais il ne faut exclure, comme nous l'avons déjà souligné, le fait que les élèves ne sont pas habitués à faire des choix d'exercices sur une liste proposée par le professeur. En fait, ils ont l'habitude de traiter les exercices dans leur ordre de présentation. Toutefois, le niveau de réussite des exercices qui semble en relation avec les choix effectués nous laissent penser que les élèves ont reconnu pour une part au moins les exercices les plus faciles selon eux à résoudre. Ainsi les exercices les plus choisis sont les mieux réussis, sauf pour les exercices 3 et 4.
Exercices | Énoncé | Types | Taux de réussite |
|---|---|---|---|
Exercice 1 | Il y a 5 fois plus de chaises à la cantine que dans la classe. Il y en a 25 dans la classe. Combien y a-t-il de chaises dans la cantine ? | Comparaison multiplicative d'états, recherche d'un état connaissant l'autre et la comparaison, multiplication (25 x 5 = 125), domaine des entiers | 82,7% |
Exercice 2 | Pour visiter le parc de Niokolocoba, un touriste a parcouru 57 km. Il lui reste 215 km à faire avant d'arriver. Quelle distance totale doit-t-il parcourir ? | Partie-partie-tout, détermination du tout connaissant les parties, domaine de entiers naturels, contexte de la mesure de grandeurs (longueur), addition : (57 + 215 = 272) | 72,9% |
Exercice 3 | Une mère de famille est revenue du marché avec un sac qui pèse 15 kg. Le sac vide pèse 1 kg et il y a dedans 5 kg de pommes de terre, 3 kg de carottes, 2kg de navets, 2 kg de choux et aussi des oranges. Combien les oranges pèsent- elles ? | Partie-partie-tout, recherche d'une parties connaissant le tout et les 5 autres parties, domaine des entiers, addition et/ou soustraction ( 15 – 1 – 5 – 3 – 2 – 2 = 2) | 1,4 % |
Exercice 4 | On estime qu'un sénégalais consomme en moyenne 94 g de sucre par jour. La population sénégalaise est environ de 14 millions d'habitants (14 000 000 d'habitants). Quelle est la consommation annuelle de sucre en kg de toute la population ? | Multiplication (proportionnalité simple), domaine des entiers naturels (grands nombres), contexte de la mesure des masses avec conversion, multiplication (14 000 000 x 94 = 1 316 000 000 ; 1 316 000) | 3,5% |
Exercice 5 | Un élève parcourt 3 km en 20 minutes pour se rendre à son école. Combien mettra-t-il de temps pour parcourir 4,5 km ? | Proportionnalité simple, contexte de la mesure des grandeurs (distance, durée, vitesse) (3 km en 20 min ; 1,5 km en 10 min et 4,5 km en 30 min) | 1% |
Exercice 6 | Dans mon école, il y a 5 élèves de plus dans la classe de Monsieur Bâ que dans celle de Madame Ndiaye. Il y a 23 élèves dans notre classe ; cela fait 3 élèves de moins que dans la classe de Monsieur Bâ. Combien y a-t-il d'élèves dans la classe de Madame Ndiaye ? | Composée de comparaison additives d'états ; recherche d'un état connaissant les comparaisons (classe de Mme Ndiaye, à voir selon la lecture), 23 + 3 - 5 = 21, domaine des entiers naturels | 47% |
Plus de la moitié des élèves ont échoué aux exercices 3, 4, 5 et 6. Les exercices les moins réussis sont les exercices 5 et 4.
L'exercice 5 porte sur la composition de transformations additives (négatives), recherche de l'état initial, domaine des entiers. Or selon Vergnaud[*], les problèmes de transformation sont plus difficiles lorsque la question porte sur l'état initial qu'il qualifie de "donnée abstraite à produire". Il faut ajouter à cette difficulté la recherche de la composition des transformations qui est un autre type encore plus difficile.
L'exercice 4 quant à lui porte sur la division et soustraction, recherche d'une dimension connaissant le périmètre et une dimension, domaine des nombres entiers mais du type de partie/tout avec une première recherche du tout qui est le demi-périmètre. La plupart des élèves s'engagent directement dans la recherche de la largeur.
Les exercices réussis sont les exercices :
Exercice 1 : comparaison multiplicative d'états, recherche d'un état connaissant l'autre et la comparaison, multiplication (25 x 5 = 125), domaine des entiers
Exercice2 : partie-partie-tout, détermination du tout connaissant les parties, domaine de entiers naturels, contexte de la mesure de grandeurs (longueur), addition : (57 + 215 = 272)
Ces exercices sont des exercices classiques dont les contextes sont très familiers aux élèves et l'ordre de grandeur des nombres est faible. Ces exercices portant aussi sur des nombres entiers naturels qui sont abordés dès le CE1 à ne devrait pas poser de difficulté à un élève de 6e.
Rappel : Les erreurs commises
Le graphique 10 ci-dessous présente les pourcentages d'erreurs effectués par les élèves .
Nous avons pris en compte et codé plusieurs types d'erreurs :
AS : confusion entre addition et soustraction
MD : confusion entre multiplication et division
AM : confusion entre structures additives et structures multiplicatives
ECALC : erreur de calcul (mauvaise maîtrise de la technique opératoire)
Autres : Autre type d'erreurs
Les élèves commettent le plus souvent des erreurs relevant d'une confusion entre structures additives et multiplicatives. Ce type d'erreurs représente plus de 79% des erreurs commises dans chaque exercice. Il est à noter qu'il existe beaucoup d'erreurs de calculs au niveau de l'exercice 2 (addition de nombres entiers : nombre à 2 chiffres et 3 chiffres). La difficulté des élèves semble être d'effectuer un calcul posé en additionnant avec le nombre ayant moins de chiffres (au-dessus) celui comportant le moins de chiffres (en-dessous).
Quelques confusions entre la multiplication et la division sont commises au niveau de l'exercice 5 portant sur la proportionnalité et au niveau de l'exercice 3 qui est un exercice de partie/partie/tout, dont la difficulté majeure est la spécification des parties et leur nombre (données parasitant la compréhension).
La plupart des opérations sont posées et le seul contrôle est le contrôle sémantique.
synthèse
Dans l'ensemble, les élèves du moyen n'ont pas réussi les deux tests. Seuls les exercices 1 et 2 du test 2 sont réussis par plus de la moitié des élèves (resp. 82,7% et 72,7 %), l’exercice 6 par 47% des élèves. Les neuf autres exercices sont échoués par plus de 70% des élèves.
Ces exercices font intervenir pour la plupart deux opérations, Il semble donc que les élèves de 6e et 5e du collège ne savent pas résoudre des problèmes élémentaires à deux opérations. Par ailleurs, les exercices les plus mal réussis : l'exercice 5 du test 2 et l'exercice 6 du test 1 portent sur la proportionnalité. Cela peut s'expliquer par le fait que l'enseignement/apprentissage de cette notion met plus l'accent sur la mécanique opératoire que sur la compréhension de la notion elle-même, à l'élémentaire. C'est au niveau du moyen que la proportionnalité est vue comme objet d'enseignement mais là aussi, l'arbre cache la forêt car les professeurs mettent davantage l'accent sur l'algorithme permettant le remplissage de tableaux de proportionnalité que sur la notion proprement dite.
En conclusion, il nous semble qu'il est temps de revoir notre façon d'accompagner les élèves dans la résolution de problèmes car si les élèves ne savent pas résoudre les problèmes élémentaires, il leur sera impossible de résoudre des problèmes complexes. Voilà, entre autres arguments, ce qui pourrait être à la base des difficultés rencontrées par nos enseignants dans la gestion des activités de résolution de problèmes.
Bibliographie et sitographie⚓
Bibliographie
BUTLEN D (2007), Glossaire, In Butlen D. Le calcul mental, entre sens et techniques, Presses universitaires de Franche Comté, Besançon.
CHOQUET, C. (2016) Quels problèmes à l'école et au collège pour développer des compétences mathématiques ? Repères IREM, 105.
COPPE S. & HOUDEMENT C. (2002), Réflexions sur les activités concernant la résolution de problèmes à l'école primaire, Grand N, 69, 53-63.
COPPE S. & HOUDEMENT C. (2010) Résolution de problèmes à l'école primaire : perspectives curriculaire et didactique. In Actes du 36ème Colloque des formateurs d'enseignants du premier degré en mathématiques. Auch 2009 (pp.48-71). ARPEME.
HOUDEMENT C. (2003), La résolution de problèmes en question. Grand N, 71, 7-23.
HOUDEMENT C. (2015) Problèmes arithmétiques de réinvestissement - Une synthèse, des pistes, In COPIRELEM, Actes du XLIIème colloque COPIRELEM Besançon 2015, ARPEME, Paris
JULO J., (1995), Représentation des problèmes et réussite en mathématiques, un apport de la psychologie cognitive à l'enseignement, Rennes, Presses universitaires de Rennes
JULO J, CAUZINILLE-MARINECHE E., (1996), « L'effet de multiprésentation : mise en évidence dans la résolution d'un problème de proportionnalité », Revue de Psychologie de l'Éducation, 1, 49-77.
RICHARD J.F., (1982), « Mémoire et résolution de problèmes », Revue Française de Pédagogie, n° 60, 9-17, Paris, INRP
VERGNAUD G., (1981), L'enfant, la mathématique et la réalité, Berne, Éditions Peter Lang VERGNAUD G. (1986) Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques. Un exemple : les structures additives. Grand N, 38, 21-40, IREM de Grenoble
VERGNAUD G. (dir. 1997 ; 2001) Le Moniteur de Mathématiques cycle 3. Résolution de problèmes. Paris : Nathan.
Sitographie
BROUSSEAU G. (2010), Glossaire de didactique des mathématiques, à consulter en ligne sur le site http://guy-brousseau.com/biographie/glossaires/,
Site de l'ARPEME/ COPIRELEM, http://www.arpeme.fr/,
Site de ressources pour l'enseignement du Ministère de l'Enseignement Et de la Recherche (français), https://eduscol.education.fr/,
Site des Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques, Le portail des IREM, http://www.univ-irem.fr/,
Site de BROUSSEAU Guy, http://guy-brousseau.com/,
Remerciements⚓
Le projet remercie tout particulièrement :
L'expert international : David Butlen, Didacticien des mathématiques - professeur d'Université à Cergy-Pontoise
L'expert national : Mangary Ka, FASTEF UCAD
L'expert local : Landing Diemé, CRFPE Ziguinchor
Et toutes les personnes qui ont participé à la conception de ce module notamment :
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