1.Mise en évidence expérimentale⚓
Consigne
Clique sur la vidéo et observe le mouvement du solide accroché sur l'extrémité inférieure du ressort et immergé dans un fluide, lorsqu'il est écarté de sa position d'équilibre puis abandonné à lui même.
Question⚓
Quelle observation fais-tu sur le mouvement du solide?
Écrire la réponse dans la zone de saisie ci-dessous.
2.Définition⚓
Les oscillations mécaniques sont dites libres et amorties lorsque le solide, écarté de sa position d'équilibre stable puis abandonné à lui même, effectue un mouvement de va et vient dont l'amplitude diminue au cours du temps.
Attention :
En réalité, la présence des frottements dissipe l'énergie initialement fournie à l'oscillateur.
La modélisation des forces de frottement est plus ou moins complexe. Ainsi pour des frottements fluides (de type visqueux), on choisit généralement, en première approximation, un modèle de frottement linéaire en vitesse : \(\color{blue}{\vec{f}=-\alpha\vec{v}}\); \(\alpha\) le coefficient de frottement est une constante positive.
3.Equation différentielle du mouvement par la méthode énergétique⚓
Il existe des frottements, l'énergie mécanique varie et \(\frac{dE}{dt}=P(\vec{f})=\vec{f}.\vec{v}\)
\(\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2)=-\alpha\dot{x}^2\)
\(\Longrightarrow\) \(m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x}=-α\dot{x}^2\)
\(\Longrightarrow\) \(m\ddot{x}+kx=-α\dot{x}\)
\(\Longrightarrow\)\(m\ddot{x}+α\dot{x}+kx=0\) ou \(\color{blue}{\ddot{x}+\frac{α}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0}\)
Les oscillations mécaniques libres amorties par frottement fluide sont régies par l'équation différentielle précédente.
Attention :
On pose généralement \(\color{blue}\frac{\alpha}{m}=2\lambda\) avec \(\lambda\) coefficient d'amortissement.
4.Régimes de l'oscillateur⚓
Régime pseudo-périodique
\(\color{blue}{\ddot{x}+\frac{α}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0}\) ou \(\color{blue}{\ddot{x}+2\lambda\dot{x}+\frac{k}{m}x=0}\)
Le régime pseudo-périodique est observé si le coefficient de frottement \(\alpha\) est faible, c'est-à-dire \(\alpha<2\sqrt{km}=\alpha_c\) ou \(\lambda<\omega_0 =\sqrt{\frac{k}{m}}\)
La pseudo-période des oscillations T est sensiblement égale à la période propre de l'oscillateur \(T_0\) \((T\simeq 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}})\)
Régime critique et régime apériodique
\(\color{blue}{\ddot{x}+\frac{α}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0}\) ou \(\color{blue}{\ddot{x}+2\lambda\dot{x}+\frac{k}{m}x=0}\)
Le régime critique est observé si le coefficient de frottement \(\alpha\) est grand, c'est-à-dire \(\alpha=2\sqrt{km}=\alpha_c\) ou \(\lambda=\omega_0 =\sqrt{\frac{k}{m}}\). Le solide atteint le plus rapidement l'équilibre sans osciller.
Le régime apériodique est observé si le coefficient de frottement \(\alpha\) est très grand, soit \(\alpha>2\sqrt{km}=\alpha_c\) ou \(\lambda>\omega_0 =\sqrt{\frac{k}{m}}\). Le solide atteint l'équilibre sans osciller et d'autant plus lentement que le coefficient de frottement est élevé.
5.Situation de vie courante : la suspension automobile⚓
La suspension d'une automobile est expliquée sous deux versions :
une version vidéo et
une version texte
Version vidéo⚓
Le pendule élastique vertical une modélisation d'une automobile
Version texte⚓
Le pendule élastique vertical une modélisation d'une automobile
La suspension d'une automobile se compose au niveau de chaque roue d'un ressort et d'un amortisseur(généralement à huile)
La suspension est représentée par un ressort.
La particularité est que la caisse repose sur l'extrémité supérieure du ressort ; elle est mise en oscillation si la roue passe sur une bosse ou dos-d'âne.
La suspension d'une automobile permet d'atténuer les oscillations verticales, inconfortables et dangereuses pour les passagers, se produisant dans un trou ou sur une bosse.
Le confort des passagers est optimal si la caisse retrouve sa position initiale sans osciller.
Le confort des passagers est minimal si les amortisseurs sont "usés"
6.Applications⚓
Application 1 : Equation différentielle et énergie dissipée
Question⚓
Un solide S de masse m est attaché à l'une des extrémités d'un ressort horizontal de raideur k = 20 N.,l'autre extrémité étant fixé (figure 1).
On étudie le mouvement du solide relativement à un repère (\(O, \vec{i}\)), d'origine O coïncidant avec le centre d'inertie du solide à l'équilibre.
On écarte (S) de sa position d'équilibre, puis on le lâche sans vitesse initiale. Il est alors soumis à une force de frottement visqueux \(\vec{f} =-α\vec{v}\). Un dispositif approprié a permis d'enregistrer les variations de l'élongation en fonction du temps (figure2)
1.Etablir l'équation différentielle du mouvement de S, par la méthode dynamique, régissant les variations de son élongation x(t).
2. Quelle est la nature des oscillations ?
3. Calculer l'énergie dissipée par la force de frottement entre les instants \(t_1 et t_2\)
Solution⚓
1.Equation différentielle du mouvement
Théorème du centre d'inertie \(\vec{P}+\vec{R}+\vec{T}+\vec{f}=m\vec{a}\)
Projection sur \((O,\vec{i})\)
\(-T+f=ma\)
Equation différentielle \(-kx-α\dot{x}=m\ddot{x}\longrightarrow\)\(\color{blue}m\ddot{x}+α\dot{x}+kx=0\)
2. Nature des oscillations
Les oscillations sont pseudo-périodiques au regard de la figure 2 qui représente les variations de l'élongation x(t)
3.Calcul de l'énergie dissipée entre les dates \(t_1 et t_2\)
\(\Delta E=E_2-E_1=E_{p2}-E_{p1}\)
A ces instants on constate que l'énergie est nulle et l'énergie potentielle est maximale
\(\Delta E=\frac{1}{2}kx_2^2-\frac{1}{2}kx_1^2=\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)\)
\(\Delta E=\frac{1}{2}\times20((0,015)^2-(-0,02)^2)\)
\(\color{blue}\Delta E=-1,75.10^{-3} J=-1,75mJ\)
Application 2 : détermination de masse et de pseudo-période ; identification de graphe
Question⚓
On considère deux automobiles \(A_1 et A_2\) assimilables chacune à un solide de même masse m reposant sur un ressort de raideur \(k=6,0.10^5 N.m^{-1}\). La figure ci-dessous présente les courbes y(t) des positions du centre d'inertie G du solide modélisant chaque automobile lors du passage sur une bosse.
1. Donner les noms des régimes associés aux courbes 1 et 2.
2. L'une des courbes présente une pseudo-période. Déterminer graphiquement sa valeur.
3. Calculer la masse commune de chaque automobile.
4. Les allures différentes des courbes sont dues au coefficient d'amortissement \(\lambda\). Quelle courbe correspond à la plus grande valeur de \(\lambda\)? Justifier.
5. Quelle automobile possède la meilleure suspension ?
Solution⚓
1.Régimes associés aux courbes 1 et 2
A la courbe 1 on associe le régime critique.
A la courbe 2 on associe le régime pseudo-périodique.
2. Détermination graphique de la pseudo-période.
D'après le graphique \(T\simeq0,3 s\)
3. Masse commune de chaque automobile.
\(T\simeq T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) donc \( T^2=4\pi^2\frac{m}{k}\)
soit \(\color{blue}m=\frac{kT^2}{4\pi^2}\)
\(m=\frac{6.10^5\times0,3^2}{4\pi^2}\simeq1,4.10^3 kg\)
4. Courbe correspondant à la plus grande valeur \(\lambda\). Justification
Le régime critique correspond à un coefficient d'amortissement alors que le régime pseudo-périodique correspond à un coefficient d'amortissement élevé. Ainsi, la courbe 1 correspond à la plus grande valeur de \(\lambda\)
5. Automobile qui correspond à la meilleur suspension.
L'automobile \(A_1\) à la meilleur suspension car elle revient rapidement à sa position initiale sa osciller : les passagers ont un confort optimal avec l'automobile \(A_1\)