Applications⚓
Application 1 : Stabilité des noyaux
Question⚓
L'énergie de liaison du nucléide\(\ _{92}^{238}U\) est \(E_{L1}=1802 MeV\); celle du nucléide \(\ _{58}^{142}Ce\) est \(E_{L2}=1199,9 MeV\).
Lequel de ces deux nucléides est plus stables ? Justifier.
Solution⚓
Pour comparer la stabilité des noyaux on utilise l'énergie de liaison par nucléon. Un nucléide est d'autant plus stable que son énergie de liaison par nucléon est élevée.
\(\frac{E_{L1}}{A_1}=\frac{1802}{238}=7,57 MeV/nucléon\)
\(\frac{E_{L2}}{A_2}=\frac{1199,9}{142}=8,45 MeV/nucléon\)
\(\frac{E_{L1}}{A_1}<\frac{E_{L2}}{A_2}\): le césium 142 (\(\ _{58}^{142}Ce)\) est plus stable que l'uranium 238.
Application 2 : Réaction nucléaire - Énergie libérée
Question⚓
On donne la réaction \(^{210}_{84}Po\rightarrow\ ^4He +\ _{82}Pb\).
1. Compléter l'équation nucléaire.
2. Calculer en MeV puis en joule l'énergie libérée au cours de cette réaction.
On donne les masses de certains noyaux : \(m_1 = m(Po)= 210,0857 u\); \(m_2=m(He)=4,00387 u\); \(m_3=m(Pb)=206,03854 u\); \(1 u=931,5 MeV/c^2\)
Solution⚓
1.Équation nucléaire
Pour compléter l'équation nous appliquons les lois de conservation du nombre de masse et du nombre de charge.
\(210 =4+x \Longrightarrow x = 206\); \(84=y+82 \Longrightarrow y=2\)
\(\ ^{210}_{84}Po \rightarrow \ ^4_2He + \ ^{206}_{82}Pb\)
2. Énergie libérée au cours de cette réaction nucléaire
\(E=\Delta m c^2 = (m_1 -(m_2 +m_3))c^2\)
En MeV : \(E = (210,0857 - (4,00387 + 206,03854)\times 931,5 =40,3 MeV\)
En joule : \(E =40,3\times 1,6.10^{-13}= 6,45.10^{-12} j\)
Application 3 : Nombre de noyaux désintégrés et activité d'une source radioactive
Question⚓
L'azote \(\ ^{13}_7N\) est radioactif émetteur \(\beta^+\). Il se désintègre pour donner le carbone
\(\ ^{A}_{Z}C\). Sa période ou demi-vie vaut T = 10 min.
1. Écrire l'équation de la désintégration.
2. Un échantillon d'azote contenait initialement 16000 noyaux.
2.1 calculer le nombre de noyaux désintégrés à la date t = 30 min.
2.2 Calculer l'activité de la source radioactive à cette date.
Solution⚓
1. Équation de la désintégration
\(\ ^{13}_7N \rightarrow \ ^0_{+1}e + \ ^{A}_{Z}C\)
Les lois de conservation du nombre de masse et du nombre de charge \(\Longrightarrow\) A = 13 et Z = 6
soit donc \(\color{blue}\ ^{13}_7N \rightarrow \ ^0_{+1}e + \ ^{13}_{6}C\)
2.1 Nombre noyaux désintégrés
soient : \(N_0\) le nombre initial de noyaux d'azote, N le nombre de noyaux d'azote restants et x le nombre de noyaux d'azote désintégrés.
Loi de décroissance radioactive : \(N=N_0e^{\lambda t}=\frac{N_0}{2^n}\)
Ici, t = 3T \(\Longrightarrow\) n = 3 et \(N = \frac{N_0}{2^3} = \frac{16000}{8} =2000 noyaux\)
Loi de conservation de la quantité de matière : \(x = N_0 - N = 16000-2000 = 14000 noyaux\)
2.2 Activité de la source radioactive
Par définition \(A = \lambda N = \frac{ln2}{T}\times N = \frac{ln2}{600}\times 2000 = 2,31 Bq\)
Application 4 : Âge de la lune.
Question⚓
L'isotope potassium \(\ ^{40}_{19}K\) pour donner de l'argon \(\ ^{40}_{18}Ar\). La période du potassium est \(T=1,5.10^9\)ans.
1. Écrire l'équation de désintégration.
2. Calculer la constante radioactive \(\lambda\).
3. Pour déterminer l'âge de la lune, on procède à l'analyse de cailloux rapportés de cet astre.
L'analyse d'un échantillon montre que celui-ci renferme \(8,2.10^{-4} cm^3\) d'argon 40 (emprisonné dans le caillou) et \(1,66.10^{-6}\) g de potassium 40.
Trouver l'âge des cailloux.
On suppose que lors de sa formation le caillou ne renfermait que du potassium. Les volumes sont mesurés dans les C.N.T.P.
Solution⚓
1. Équation de désintégration
\(\ ^{40}_{19}K \rightarrow \ ^{40}_{18}Ar + \ ^a_zX\)
Lois de conservation : \(40=40+a \rightarrow a=0\) et \(19=18+z \rightarrow z=1\) soit donc \(X=\ ^0_{+1}e\)
\(\color{blue}\ ^{40}_{19}K \rightarrow \ ^{40}_{18}Ar + \ ^0_{+1}e\)
2. Constante radioactive \(\lambda\)
\(\color{blue}\lambda=\frac{ln2}{T}=\frac{ln2}{1,5.10^9}=462.10^{-12} an^{-1}\)
3. Âge de la lune.
soient
\(n=\frac{m_K}{M_K}=\frac{1,66.10^{-6}}{40}=4,15.10^{-8} mol\) le nombre de mol de potassium présent.
\(x=\frac{V}{V_M}=\frac{8,2.10^{-7}}{22,4}=3,661.10^{-8} mol\) le nombre de mol d'argon présent mais aussi le nombre de mol de potassium désintégré.
\(n_0=n+x=4,15.10^{-8} +3,661.10^{-8}=7,811.10^{-8} mol\) le nombre mol initial de potassium.
Loi de décroissance radioactive : \(n=n_0e^{-\lambda t}\) \(\Longrightarrow\)\(-\lambda t=ln\frac{n}{n_0}\) soit donc \(\color{blue}{t=-\frac{1}{\lambda}\times ln\frac{n}{n_0}=-\frac{1}{462.10^{-12}}\times ln\frac{4,15.10^{-8}}{7,811.10^{-8}}=1,37.10^9 ans}\)