INTRODUCTION⚓
DEFINITION DU PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS⚓
Définition :
Soient \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) trois vecteurs de l'espace vectoriel, le produit mixte de ces trois vecteurs est défini par : \(\vec u. (\vec v \wedge {\vec w})\)
Remarque
Le produit mixte de trois vecteurs est un scalaire.
CALCUL DU PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS⚓
Méthode :
Dans l'espace vectoriel muni d'une base orthonormée directe, on considère les vecteurs
\(\vec u (u_1 ; u_2 ; u_3)\), \(\vec v (v_1, v_2, v_3)\) et \(\vec w (w_1, w_2, w_3)\).
Le produit mixte des trois vecteurs est égal à :
\(u_1 \times \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix} - u_2 \times \begin{vmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{vmatrix} + u_3 \times \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix}\)
Exemple :
\(\vec u (1 ; 3 ; 4)\), \(\vec v (-1 ; 2 ; 1)\) et \(\vec w (0 ; 3 ; -1)\)
\(\vec u. (\vec v \wedge {\vec w}) = 1 \times (-5) -3 \times (1) + 4 \times (-3) = -27\)
Attention :
\(\vec u. (\vec v \wedge {\vec w}) = (\vec u \wedge {\vec v}). \vec w\)
\(\vec u. (\vec v \wedge {\vec w}) = det (\vec u, \vec v, \vec w)\)
Complément :
Le produit mixte est nul si les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont coplanaires.
EXERCICES RÉSOLUS⚓
Exercice 1
Question⚓
On donne les vecteurs suivants :\(\vec u (1 ; 3 ; 4)\), \(\vec v (-2 ; 2 ; 3)\) et \(\vec w (0 ; 3 ; 2)\).
Calculer le produit mixte de ces trois vecteurs.
Solution⚓
On a :
\(\vec u. (\vec v \wedge {\vec w}) = \begin{vmatrix} 1 &3 &4 \\ -2 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 4 \times \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}\).
D’où :
\(\vec u. (\vec v \wedge {\vec w}) = -5 -3 \times (-4) +4 \times (-6) = -17\)
Exercice 2
Question⚓
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \((O ; \vec i ; \vec j ; \vec k)\).
On considère le tétraèdre \(ABCD\) avec \(A(-1, 2, 3)\), \(B(-2, 0, 0)\), \(C( 0, 3, 0)\) et \(D(0, 0, -4)\).
Calculer le volume du tétraèdre .
Solution⚓
Le volume du tétraèdre est : \(V = \dfrac{1}{6} \times \arrowvert( \overrightarrow{AB} \wedge {\overrightarrow {AC}}). \overrightarrow {AD} \arrowvert\).
On a : \(\overrightarrow {AB} (-3, -2, -3)\), \( \overrightarrow {AC} (-1, 1, -3)\) et \(\overrightarrow {AD} (-1, -2, -7)\).
Ainsi : \( \dfrac{1}{6} \times \begin{vmatrix} -3 & -2 & -3 \\ -1 & 1 & -3 \\ -1 & -2 & -7 \end{vmatrix} = \dfrac{38}{6}\).
Donc on a : \(V = \dfrac{38}{6} ( \textrm{unités de volume}).\)