INTRODUCTION⚓
DÉFINITION DU PRODUIT VECTORIEL DE DEUX VECTEURS⚓
Définition :
On appelle produit vectoriel d'un vecteur \(\vec u\) par un vecteur \(\vec v\), le vecteur \(\vec w\) ainsi défini :
Lorsque \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, \(\vec w = \vec 0\) .
Lorsque \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non colinéaires, considérons trois points \(A\), \(B\), \(C\) tels que \(\vec {AB} = \vec u\) et \(\vec{AC} = \vec v\) . Sur la droite passant par \(A\) et orthogonale au plan \((ABC)\) il existe un point \(P\), et un seul, tel que \(AP = AB\times AC\times sin\widehat{BAC}\) et tel que la base \((\vec {AP}, \vec {AB}, \vec {AC})\) soit directe.
Le vecteur \(\vec w\) est alors égal à \(\vec {AP}\).
Notation
Le produit vectoriel de \(\vec u\) par \(\vec v\) est noté, soit \(\vec u \wedge{\vec v}\), soit \(\vec u \times {\vec v}\)
PROPRIÉTÉS⚓
Le produit vectoriel de \(\vec u\) par \(\vec v\) est un vecteur orthogonal à chacun des deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\).
Pour tout couple \((\vec u, \vec v)\) de vecteurs non nuls, d'angle \(θ\) (en radians):
\(\Arrowvert {\vec u \wedge {\vec v}}\Arrowvert =\Arrowvert \vec u \Arrowvert \times \Arrowvert \vec v \Arrowvert \times \sin θ\).
Etant donnés deux vecteurs non colinéaires \(\vec u\) et \(\vec v\) et leur produit vectoriel \(\vec w ={\vec u \wedge {\vec v}}\) , le triplet \((\vec w, \vec u, \vec v)\) est une base directe de l'espace vectoriel \(W\).
Le produit vectoriel \(\vec u \wedge {\vec v}\) est nul si, et seulement si, les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
En particulier : \(\vec u \wedge {\vec 0} = \vec 0 \wedge {\vec u} =\vec 0\) et \(\vec u \wedge {\vec u} = \vec 0\), pour tout vecteur \(\vec u .\)
Pour tout couple \((\vec u, \vec v)\) de vecteurs, \(\vec u \wedge {\vec v}= -\vec v \wedge {\vec u}\).
Application
l'aire du triangle ABC est :\(\dfrac{1}{2}\times \Arrowvert {\vec {AB}\wedge{\vec AC} \Arrowvert}\)
CONSÉQUENCES⚓
Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) et \(a\) et\( b\) deux réels.
\(({\vec u }+ {\vec v}) \wedge {\vec w} = {\vec u \wedge {\vec w}} + {\vec v \wedge {\vec w}}\)
\((a \vec u) \wedge {\vec v} = a (\vec u \wedge {\vec v})\)
\(\vec u \wedge {(\vec v +\vec w)} ={\vec u \wedge {\vec v}} + {\vec u \wedge {\vec w}}\) .
\(\vec u \wedge {(b\vec v)} = b(\vec u\wedge {\vec v})\)
Question⚓
\((\vec i, \vec j, \vec k)\) base orthonormée directe de l'espace.
Exprimer :
\(\vec i \wedge {\vec j}\);
\(\vec j \wedge{\vec k}\);
\(\vec k \wedge{\vec i}\);
\(\vec i \wedge{\vec i}\);
\(\vec j \wedge{\vec j}\);
\(\vec k \wedge{\vec k}\);
\((2\vec i) \wedge{(3\vec j)}\).
COORDONNÉES DU PRODUIT VECTORIEL⚓
Méthode :
L'espace vectoriel \(W\) est muni dune base orthonormée directe \(( \vec i, \vec j, \vec k).\)
si \(\vec u (a ;b ; c)\) et \(\vec v(a' ; b' ; c')\) alors les coordonnées de \(\vec u \wedge{\vec v}\) sont : \((X ; Y; Z)\)
avec \(X= \begin{vmatrix} b & b' \\ c & c' \end{vmatrix}\) ; \(Y= \begin{vmatrix} c & c'\\ a & a' \end{vmatrix}\); \(Z = \begin{vmatrix} a & a'\\ b & b' \end{vmatrix}\).
EXERCICES RÉSOLUS⚓
Question⚓
Dans l'espace muni d'une base orthonormée directe, on considère les vecteurs \(\vec u (1 ;3 ; -2)\) et \(\vec v(2 ; -2 ; 1)\)
Calculer \(\vec u \wedge{\vec v}\).
Question⚓
On considère l'espace muni d'un repère orthonormal direct \((O ; \vec i ; \vec j ; \vec k)\).
Soit \((\mathcal D)\) la droite de repère \((A ; \vec u)\), avec : \(A (1 ;-2 ; 1)\) et \(\vec u {(1 ; 2 ; 3)}\)
Soit \((\mathcal P)\) le plan d'équation : \(x + y + z -4 = 0\).
Déterminer une équation du plan \((\mathcal Q)\) qui contient \((\mathcal D)\) et qui est perpendiculaire à \((\mathcal P)\) .
Solution⚓
Le plan \((\mathcal P)\) admettant pour équation \(x + y + z -4 = 0\), le vecteur \(\vec v {(1 ;1 ;1 )}\) est un vecteur normal de \(( \mathcal P)\) .
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) n'étant pas colinéaires, il existe un plan et un seul perpendiculaire à \((\mathcal P)\) et contenant la droite \((\mathcal D)\) : c'est le plan \((\mathcal Q)\) de repère \((A ; \vec u ; \vec v)\).
On pose \(\vec w = \vec u \wedge{\vec v}\);
\(\vec w\) est un vecteur normal à \((\mathcal Q)\), de coordonnées \((-1 ;2 ;-1)\).
Soit \(M(x ;y ;z)\) un point de l'espace.
\(M\) appartient à \((\mathcal Q)\) signifie : les vecteurs \(\overrightarrow {AM} {(x -1 ; y +2; z -1)}\) et \(\vec w {(-1 ; 2 ; -1)}\) sont orthogonaux, c'est-à-dire \(\overrightarrow {AM}.{\vec w} = 0\),
Soit \(–(x -1) +2(y+2) – (z – 1) = 0\) ou \(x -2y + z -6 = 0\)
Conclusion
le plan \((\mathcal Q)\) admet pour équation : \(x -2y + z -6 = 0\).
Question⚓
On considère dans l'espace muni d'un repère orthonormal direct \((O ; \vec i ; \vec j ; \vec k)\), les points \(A(-1 :2 ;3)\), \(B(0 ;4 ;4)\) et \(C(2 ;0 ;2)\).
Calculer l'aire du triangle \(ABC\) et \(\sin(\widehat {BAC})\).
Solution⚓
Le repère étant orthonormal direct, nous pouvons calculer les coordonnées de \(\overrightarrow {AB} \wedge{\overrightarrow {AC}}\) à l'aide de celles de \(\overrightarrow {AB}\) et \(\overrightarrow {AC}\) :
\(\overrightarrow {AB}(1 ; 2 ;1)\) , \(\overrightarrow {AC}(3 ; -2 ;-1)\) et \(\overrightarrow {AB} \wedge{\overrightarrow {AC}} {(0 ; 4 ; -8)}\).
Ainsi, l'aire est égale à : \(\dfrac{1}{2} \times \Arrowvert{\overrightarrow{AB} \wedge{\overrightarrow {AC}}\Arrowvert} = \dfrac{1}{2}\sqrt{4^2 +8^2} =\dfrac{1}{2}\sqrt{80} = 2\sqrt{5}\)
On sait que : \( \Arrowvert{\overrightarrow{AB} \wedge{\overrightarrow {AC}}\Arrowvert} = AB \times AC sin(\widehat{BAC})\).
Donc \(\sin \widehat ({BAC})= \dfrac {\Arrowvert{\overrightarrow{AB} \bigwedge{\overrightarrow {AC}}}\Arrowvert}{AB \times AC} = \dfrac {\sqrt{80}}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} =\dfrac{2\sqrt{5}}{ \sqrt{21}}\)