DÉFINITION D'UNE SUITE NUMÉRIQUE⚓
Définition :
Une suite numérique définie à partir de l’indice \(n_0\) (où \(n_0\) est un entier naturel) est une fonction de l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à \(n_0\) dans \(\mathbb R\).
On notera \((U)_{n\geq{n_0}}\) ou simplement \((U_n)\)
Exemple :
Soit la suite \((U_n)\) définie par \(U_n = \ln(n-3)\).
La suite \((U_n)\) existe si \(n\geq4\)
SUITES ARITHMETIQUES⚓
Définition :
On dit que \((U_n)_{n\in{\mathbb N}}\) est une suite arithmétique de raison \(r\), \({r\in{\mathbb R}}\), si \(U_{n+1} -U_n = r \) ou \(U_{n+1} = U_n +r\) pour tout entier naturel n.
Méthode :
Si \(U_0\) est le premier terme d'une suite arithmétique de raison r alors on a :
\(U_1 = U_0 +r\);
\( U_2 = U_1 + r\) ;
\(U_3 = U_2 + r\) ;
..............
Exemple :
Soit la suite \((U_n)\) définie par \(U_0 = -2\) et \(U_{n+1} = U_n +5\).
On a :
\(U_1 = U_0 + 5 = 3\).
\(U_2 = U_1 +5 = 8.\)
\(U_4 = U_3 + 5= 13\).
....
Expression du terme général en fonction de n⚓
Méthode :
Si \((U_n)\) est une suite arithmétique de raison r alors :
\(U_n = U_0 + nr,\) pour tout \(n\in{\mathbb N}\)
\(U_n = U_1 + (n -1)r,\) pour tout \(n\in{\mathbb N^*}\)
\(U_n = U_a + (n - a)r\), pour tout \(n\geq{a>1}\).
Exemple :
Soit la suite \((U_n)\) définie par \(U_0 = -4\) et \(U_{n+1} = U_n +5\).
On a : \(U_{n+1} - U_n = 5\), pour tout entier naturel.
Ainsi \((U_n)\) est une suite arithmétique de raison \(5\) et de premier terme \({U_0 }.\)
Donc : \(U_n = U_0 + nr = -4 +5n\)
Somme de termes consécutifs⚓
Méthode :
Soit \((U_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\).
\(U_0 +U_1 +U_2 +....+U_n =(n +1)\dfrac{U_0 +U_n}{2} =(n+1)\dfrac{2U_0 + nr}{2}\)
\(U_p + U_{p+1} + U_{p+2} +.... +U_n = (n- p +1)\dfrac{U_p + U_n}{2} = (n - p +1)\dfrac{2U_p +(n- p)r}{2}\), pour \(n\geq{p\geq1}\)
Complément :
Si \(U_0 = 1\) et \(r = 1\) alors on a : \(1 +2 +3 + .... +n = \dfrac{n(n +1)}{2}\)
Notation
La somme \(U_0 + U_1 + U_2+ ...+ U_n\) est notée \(\displaystyle\sum _{k=0} ^{n} {U_k} \)et se lit « somme des \(U_k,\) k allant de 0 à n»
Exemple :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{U_k }\)= \(U_1 + U_2+ ...+ U_n\)
Complément :
Somme = \(\displaystyle\frac{\textrm{nombre de termes}}{2}(\textrm{premier terme + dernier terme})\)
La somme \(U_p + U_{p+1} + U_{p+2}+ ...+ U_k \) contient \((k - p +1)\) termes.
Sens de variation et convergence⚓
Méthode :
Soit \((U_n)_{n\in{\mathbb N}}\), une suite arithmétique de premier terme \(U_0\) et de raison \(r\):
si \(r > 0\) alors la suite est croissante;
si \(r < 0\) alors la suite est décroissante;
si \(r = 0\) alors la suite est constante.
Méthode :
Soit \((U_n)_{n\in{\mathbb N}}\) est une suite arithmétique de raison \(r\).
Si \(r\neq 0\) alors elle est divergente et de limite \( +\infty\) si \(r > 0\) et de limite \( - \infty\) si \( r < 0\).
Si \(r = 0\) alors elle est convergente et de limite égale à son premier terme.
Exemple :
Soit \((U_n)\) une suite numérique telle que \(U_n = -3n +5\).
La suite \((U_n)\) est une suite arithmétique de raison \(-3\).
En effet, on a : \(U_{n+1} - U_n = -3(n+1) +5 -(-3n + 5)\)
ou encore \(U_{n+1} - U_n = -3\).
La raison étant égale à \(-3\), donc la limite est égale à –∞.
Donc elle est divergente.
SUITES GÉOMÉTRIQUES⚓
Définition :
On dit que \((U_n)_{n\in{\mathbb N}}\) est une suite géométrique de raison \(q\), \(n\in{\mathbb N}\), si \(\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = q\) ou \(U_{n+1} = qU_n\), pour tout entier naturel \(n.\)
Méthode :
Si \(U_0\) est le premier terme d'une suite géométrique de raison \(q\) alors on a :
\(U_1 = qU_0\);
\(U_2 = qU_1\) ;
\(U_3 = q U_2\);
..............
Exemple :
On considère une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 3.
si \(U_0 = 3\) alors \(U_1 =2\times3 = 6\) , \(U_2 = 2\times6 =12\), \(U_3 = 2\times12 = 24\) et \(U_4 = 2\times24 = 48\).
Expression du terme général en fonction de n⚓
Méthode :
Si \((U_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\) alors :
\(U_n = U_0q^n,\) pour tout \(n\in\mathbb N\);
\(U_n = U_1q^{n-1}\), pour tout \(n\in\mathbb N^*\);
\(U_n = U_aq^{n-a}\), pour tout \(n\geq{a>1}\).
Exemple :
Si \((U_n)\) est la suite géométrique telle que \(U_0 = 3\) et la raison \(q= \frac{ 1}{2}\), alors : \(U_6= ( \dfrac{1}{2})^6 \times 3 = \dfrac{3}{64}\)
Somme de termes consécutifs⚓
Méthode :
Soit \((U_n)\) une suite géométrique de raison \(q\).
Si \(q = 1\) alors \(U_0 + U_1 + U_2+ ...+ U_n = (n + 1) U_0\)
Si \(q \neq 1\) alors \(U_0 + U_1 + U_2+ ...+ U_n =U_0\dfrac{1 - q^{n +1}}{1 -q} =\dfrac{U_0 - qU_n}{1 - q}\)
\(U_p + U_(p+1) + U_(p+2)+ ...+ U_n = U_p\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q} = \dfrac{U_p - qU_n}{1 - q}\), pour \(n\geq{p\geq1}\).
Complément :
Si \(U_0 = 1\) et \(q\neq 1\) alors on a : \(1 + q + q^2 + ....+q^n =\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}\) pour tout entier naturel non nul \(n\).
Attention :
\(q \neq1\) \(Somme = \textrm{premier terme} \times \dfrac{1 - q^{\textrm{Nombre de termes}}}{1 - q}\)
Question⚓
Soit la suite \((U_n)\) définie par \(U_0 = 6\) et pour tout entier naturel \(n \geq 0, \) \(U_{n+1} = 3U_n + 4\).
La suite \((V_n)\) est définie par \(V_n = U_n + 2\).
Prouvez que \((V_n)\) est une suite géométrique.
Exprimez \(V_n\) en fonction de \(n\).
Calculez la somme \(V_0 + V_1 +... + V_n\).
Solution⚓
1. Pour tout entier \(n\), \(V_n = U_n +2\), donc \(V_{n+1} = U_{n+1} + 2\),
en remplaçant \(U_n\) par \(3U_n + 4\) dans cette égalité, \(V_{n+1} = 3U_n + 4 +2= 3U_n + 6 =3(U_n + 2) = 3 \times V_n\).
On obtient alors \(V_{n+1} =3 \times V_n\)
Conclusion : la suite \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 3\) et de premier terme \(V_0 = 8\).
2. Exprimons \(V_n\) en fonction de \(n\).
On a : \(V_n = V_0 q^n = 8 \times 3^n\).
3. Calculons \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{V_k } = V_0 + V_1 + ...+ V_n = 8 \times \frac{1 - 3^{n+1}}{1 - 3}\).
Donc la somme est égale à : \((-4) \times (1 - 3^{n + 1})\).
Sens de variation et convergence⚓
Méthode :
\((U_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme non nul \(U_0\).
Pour \(U_0 > 0\):
- Si \(q> 1\) alors la suite \((U_n)\) est croissante.
- Si \(0 < q< 1\) alors la suite \((U_n)\) est décroissante.
Pour \(U_0 < 0\) :
- Si \(q > 1\) alors la suite \((U_n)\) est décroissante.
- Si \(0 < q < 1\) alors la suite \((U_n)\)est croissante.
Méthode :
Si \(0 < \vert q\vert <1\) alors la suite géométrique est convergente et de limite zéro.
Si \(\vert q\vert>1\) alors la suite géométrique est divergente.
si \(q = 1\) alors alors la suite est constante.
Si \(q = -1\) alors la suite est divergente.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES POUR LES SUITES⚓
Méthode :
Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Méthode :
Si la suite \((U_n)\) définie par \(U_{n+1} = f(U_n)\) est convergente et de limite \(L\), et \(f\) est continue en \(L\), alors \(L\) est solution de l'équation \(f(x) = x\).
Question⚓
Soit la suite \((U_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par : \(U_0 = 1\) et \(U_{n +1} = \sqrt{2 + U_n}\).
Montrer que l'on a : pour tout \(n\) de \(\mathbb N\), \(1 \leq{U_n < 2}\).
Montrer que \((U_n)\) est croissante.
En déduire que \((U_n)\) est convergente.
Solution⚓
On a : \(U_0 = 1\) et \(U_{n + 1}= \sqrt{2 + U_n}\)
1. Démontrons par récurrence : que pour tout entier naturel n, \(1 \leq{U_n < 2}\).
\(U_0 = 1,\) donc \(1 \leq{U_0 < 2}\).
Soit \(p\) un entier nature.
On suppose : \(1 \leq{U_p < 2}\).
On veut démontrer : \(1 \leq{U_{p+1} < 2}\), sachant que l'on a \(U_{p+1} = \sqrt{2 + U_n}\).
D'après l'hypothèse de récurrence : \(3 \leq{{2 + U_n}< 4}\)
donc : \(\sqrt{3} \leq{ \sqrt{2 +U_p} < \sqrt{4}}\).
D'où : \(1 \leq{U_{p+1} < 2}\).
On a alors montré que \(1 \leq{U_n < 2}\) pour tout entier naturel n.
Montrons que \(U_{n+1} - U_n > 0\)
\(U_{n+1} - U_n = \sqrt{2 + U_n} - \sqrt{2 + U_{n-1}}\)
\(U_{n+1} -U_n = \frac{U_n - U_{n-1}}{ \sqrt{2 + U_n} + \sqrt{2 + U_{n-1}}}\)
Le dénominateur étant positif, donc le signe de \(U_{n+1} - U_n\) est celui de \(U_n - U_{n -1} \)
De plus : \(U_1 = \sqrt{3}\) et \(U_0 = 1\)
Donc \(U_1 > U_0\) c'est-à-dire \(U_1 - U_0 > 0\).
Il vient que :
\(U_1 - U_0 > 0\).
pour tout entier naturel n de \(\mathbb N^*\), \(U_{n+1} - U_n\) et \(U_n - U_{n -1}\) sont de même signe.
D'après le principe de récurrence , on montre que \(U_{n+1} - U_n > 0\), c'est-à-dire que la suite \((U_n)\) est croissante.
Conclusion :
\((U_n)\) est bornée et croissante, donc elle est convergente et converge vers l tel que \(l = \sqrt{2 + l}\).