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Questions de connaissance

?Question

On considère une série statistique à 13 éléments décrite par la courbe de ses fréquences cumulées croissantes :

Courbe des fréquences cumulées croissantes

Lequel des dessins suivants peut correspondre à son diagramme en boîte ?

Diagrammes en boîte

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère une série statistique à 13 éléments décrite par sa courbe des fréquences cumulées croissantes :

Courbe des fréquences cumulées croissantes

Lequel des dessins suivants peut correspondre à son diagramme en boîte ?

Diagrammes en boîte

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère une série statistique à 13 éléments décrite par sa courbe des fréquences cumulées croissantes :

Courbe des fréquences cumulées croissantes

Lequel des dessins suivants peut correspondre à son histogramme (en fréquence) ?

Histogrammes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère une série statistique à 13 éléments décrite par sa courbe des fréquences cumulées croissantes :

Courbe des fréquences cumulées croissantes

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à son histogramme (en fréquence) ?

Histogrammes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère une série statistique à 13 éléments décrite par son histogramme (en fréquence) :

Histogramme

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à sa courbe des fréquences cumulées croissantes ?

Courbes des fréquences cumulées croissantes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère une série statistique à 13 éléments décrite par son histogramme (en fréquence) :

Histogramme

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à sa courbe des fréquences cumulées croissantes ?

Courbes des fréquences cumulées croissantes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère la série statistique à 13 éléments suivante :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline6.2&4.9&6.6&7.1&6.2&9.2&3.0&5.7&9.1&0.1&7.3&4.9&4.7\\\hline\end{array}$

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à son histogramme (en fréquence) ?

Histogrammes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

Trois élèves $\textstyle{x, y}$ et $\textstyle{z}$ attendent dans la file d'attente de la cantine. On considère les événements $\textstyle{A=}$ « $\textstyle{y}$ attend derrière $\textstyle{x}$ » et $\textstyle{B=}$ « $\textstyle{z}$ attend derrière $\textstyle{x}$ » . On suppose qu'il y a équiprobabilité sur l'ordre des arrivées des élèves dans la file d'attente. Les événements $\textstyle{A}$ et $\textstyle{B}$ sont-ils indépendants ?

Vrai
Faux

?Question

La densité d'une variable uniforme sur l'intervalle $\textstyle{[-1, 3]}$ vaut :

$\textstyle{4}$
$\textstyle{\frac{1}{2}}$
$\textstyle{\frac{1}{4}}$
$\textstyle{2}$

?Question

Soit $\textstyle{X}$ une variable normale centrée réduite. Alors la variance de la variable $\textstyle{Y=2X+5}$ est strictement plus grande que la variance de la variable $\textstyle{Z=2X+3}$

Vrai
Faux

?Question

La fonction exponentielle $x \mapsto \exp(x)$ vérifie

$ \exp(0)=0$
$\exp(0)=1$
$\exp(ab)=\exp(a)+\exp(b)$ pour tous réels a et b
$\exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)}$ pour tous réels a et b

?Question

La fonction $f:x \mapsto \frac{\ln(x)}{x}$

admet un maximum sur $ ]0,+\infty[ $
n'est pas monotone sur $]0,+\infty[ $
admet un minimum sur $ ]0,+\infty[ $
est strictement croissante sur $]0,+\infty[ $

?Question

La fonction dérivée de $\ln |u(x)|$

$\frac{u'}{u}$
$-\frac{u'}{u}$
$\frac{1}{|u|}$
$\frac{1}{u}$

?Question

Le nombre complexe $e^{i\frac{\pi}{2}}$ est égal à :

$i$
$-i$
$0$
$1$

?Question

Le nombre complexe $e^{2i\pi}$ est égal à :

1
-1
$0$
$i$

?Question

Le nombre complexe $e^{i\pi}$ est égal à :

1
-1
$0$
$i$

?Question

Calculer le module du nombre complexe $x + \imath y$, x et y étant tout deux des réels

$x^2 - y^2$
$\sqrt{x^2+y^2}$
$x^2+y^2$
$x^2-y^2+2\imath x y$

?Question

Pour tout nombre complexe $z$,

$|z|=z$, si, et seulement si $z$ est un nombre réel positif
$|z^2|=|z|^2$
$|z^2|=z^2$ si, et seulement si $z$ est un nombre réel
$|z^2|=|z|^2$ si, et seulement si $z$ est un nombre réel.

?Fonction croissante/décroissante (1)

Quels arguments sont valides pour justifier que la fonction $x \mapsto \sin(x)$ n'est pas une fonction croissante sur $\mathbb{R} ?$

$\sin(\pi) = \sin(0)$ et pourtant $\pi \neq 0$.
$\sin(\frac\pi2) > \sin(0)$ et pourtant $0 < \frac\pi2$.
$\sin(\frac{3\pi}{4}) > \sin(\pi)$ et pourtant $\frac{3\pi}{4} < \pi$.
On a $|\sin x| \le |x|$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

?Fonction croissante/décroissante (3)

Quelles sont les assertions vraies ?

La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante car sa dérivée $x \mapsto -\frac{1}{x^2}$ est partout négative.
Une fonction périodique et croissante est constante.
Si $f : \mathbb{R} \to ]0,+\infty[$ est croissante, alors $1/f$ est décroissante.
Si $f$ et $g$ sont croissantes, alors $f-g$ est croissante.

?Fonctions - continuité en un point (1)

Quelles fonctions sont continues en $x=0$ ?

$x \mapsto |x|$ (valeur absolue).
$x \mapsto E(x)$ (partie entière).
$x \mapsto \frac 1x$ (inverse).
$x \mapsto \sqrt{x}$ (racine carrée).

?Fonctions - continuité sur un intervalle (2)

Quelles sont les propriétés vraies ?

La somme de deux fonctions continues est continue.
Le produit de deux fonctions continues est continue.
Le quotient de deux fonctions continues est continue.
L'inverse d'une fonction continue ne s'annulant pas est continue.

?Fonction bijective (2)

Soit $f : [a,b] \to [c,d]$ continue avec $a < b$, $c < d$, $f(a)=c$, $f(b)=d$. Quelles propriétés impliquent $f$ bijective ?

$f$ injective.
$f$ surjective.
$f$ croissante.
$f$ strictement croissante.

?Fonctions réelles - dérivée en un point (4)

Soit $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\displaystyle x+x^2\sin \frac{1}{x}&\mbox{si }x\neq 0\\ \\ 0&\mbox{si }x=0.\end{array}\right.$ Quelles sont les bonnes réponses ?

$f$ n'est pas dérivable en $0$.
$f$ est dérivable en $0$ est $f'(0)=0$.
$f$ est dérivable en $0$ est $f'(0)=1$.
Pour $x\neq 0$, $\displaystyle f'(x)=1+2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$.

?Polynômes -polynôme dérivé

Soit $P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, les $a_i$ sont des réels ou des complexes.

On associe le polynôme dérivé : $P'(X) = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1}$. Quelles sont les affirmations vraies ?

Le polynôme dérivé de $P(X) = X^5-2X^2+1$ est $P'(X)=5X^4-2X$.
Le seul polynôme qui vérifie $P'(X)=0$ est $P(X)=1$.
Si $P'(X)$ est de degré $7$, alors $P(X)$ est de degré $8$.
Si le coefficient constant de $P$ est nul, alors c'est aussi le cas pour $P'$.

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini d'une fraction rationnelle (1)

Soit $f(x)= \frac{x^2+2x+1}{x^2-x-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=-1$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=1$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-1$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $a\in \mathbf{R}$, $I$ un intervalle contenant $a$ et $f$ une fonction définie sur $I \setminus\{a\}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to a} f(x)=l \, (l\in \mathbf{R})$ si et seulement si $\forall \epsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in I\setminus\{a\}, |x-a| < \alpha \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon$
$\lim_{x\to a} f(x)=l \, (l\in \mathbf{R})$ si et seulement si $\forall \epsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in I\setminus\{a\}, |x-a| < \epsilon \Rightarrow |f(x)-l| < \alpha $
$\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ si et seulement si $\forall A > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in I\setminus\{a\}, f(x) > A \Rightarrow |x-a| < \alpha$
$\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$ si et seulement si $\forall A < 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in I\setminus\{a\}, |x-a| < \alpha \Rightarrow f(x) < A$

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbf{R}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=l \, (l\in \mathbf{R})$ si et seulement si $ \forall \epsilon > 0, \exists A > 0, \forall x \in \mathbf{R}, |f(x)-l| < \epsilon \Rightarrow x > A$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=l \, (l\in \mathbf{R})$ si et seulement si $\forall \epsilon > 0, \exists A > 0, \forall x \in \mathbf{R}, x\ge A \Rightarrow |f(x)-l|\le \epsilon$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$ si et seulement si $ \forall A > 0, \exists B < 0, \forall x \in \mathbf{R}, x\le B \Rightarrow f(x)\ge A$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ si et seulement si $ \exists B < 0, \forall A < 0, \forall x \in \mathbf{R}, x < B \Rightarrow f(x) < A$

?Limites des fonctions réelles - fonction sinus

Soit $f(x)= \sin x$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$
$f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-1$
$f$ n'admet pas de limite en $-\infty$.

?Nombres complexes - module/argument

Soit $\theta \in \mathbf{R}$. $e^{i\theta}\in \mathbf{R}$ si et seulement si :

$\theta =0$
$\theta =2\pi$
$\theta = 2k\pi$, $k \in \mathbf{Z}$
$\theta =k\pi$, $k \in \mathbf{Z}$

?Nombres complexes - trigonométrie

Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?

$\cos^2\theta= \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$
$\cos^2\theta= \frac{1-\cos(2\theta)}{2}$
$\sin^2\theta= \frac{1-\cos(2\theta)}{2}$
$\sin^2\theta= \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$

?Nombres complexes - trigonométrie

Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?

$\cos(2\theta)= 2\cos\theta \sin \theta$
$\cos(2\theta)= \cos^2\theta -\sin^2 \theta$
$\sin(2\theta)= 2\cos\theta \sin \theta$
$\sin(2\theta)= \cos^2\theta -\sin^2 \theta$

?Divisibilité

L'énoncé suivant est-il correct ?

Soient $a,b$ et $c$ des entiers, avec $b$ et $c$ premiers entre eux. On suppose que $a$ divise le produit $bc$.

Alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.

Vrai.
Faux.

?Divisibilité

L'énoncé suivant est-il correct ?

Soient $a,b$ des entiers, et $p$ un nombre premier. On suppose que $p$ divise le produit $ab$.

Alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.

Vrai.
Faux.

?Congruences

A quel entier est congru $25$ modulo $4$ ?

$1$.
$3$.
$0$.
$2$.

?Fonctions usuelles

La fonction exponentielle vérifie l'équation fonctionnelle :

$f(x+y)=f(x)+f(y)$.
$f(x+y)=f(x)f(y)$.
$f(xy)= f(x)+f(y)$.

?Limite d'une suite

La suite $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ converge vers le nombre réel $\ell$ si :

$\forall \varepsilon >0, \; \exists N \in\mathbb N, \; \forall n \geq N, \; \lvert u_n -\ell \rvert \leq \varepsilon$.
$\exists N \in \mathbb N, \forall n \geq N, \; \forall \varepsilon >0, \; \lvert u_{n} - \ell \rvert \leq \varepsilon$.
$\exists \varepsilon >0, \; \exists N \in\mathbb N, \; \forall n \geq N, \; \lvert u_n -\ell \rvert \leq \varepsilon$.
$\forall \varepsilon >0, \; \forall n \in\mathbb N, \; \exists N \in \mathbf N, \; \lvert u_n -\ell \rvert \leq \varepsilon$.

?Suites bornées

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels positifs. L'affirmation suivante est-elle vraie :

``Si $(u_n)$ n'est pas bornée, alors $u_n\xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. "

Vrai.
Faux.

?Suites adjacentes

Soient $(u_n), (v_n)$ deux suites de réels telles que l'on ait :

$\forall n \in \mathbf N,\, u_n \leq v_n \quad \text{ et } \quad v_n-u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{}0$.

Que peut-on en déduire?

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont bornées.
$(u_n)$ et $(v_n)$ ont une même limite réelle.
Aucune de ces affirmations.

?Dérivée-Fonction puissance

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;8]$ par $f(x)=(4- x^{\frac{2}{3}} )^{\frac{3}{2}}$.

Cocher les affirmations vraies.

La fonction $f$ est dérivable en $0$
La fonction$ f$ n'est pas dérivable en $0$
$ f(0) = 8$
$f'(x)=x^{\frac{-1}{3}}(4-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$

?Dérivée-Fonction puissance

Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = e^x 2^{x+1}$

Cocher les affirmations vraies.

$h' (x) = (ln2+1) e^x 2^{x+1}$
$h' (x) = 2(ln2+1) e^x 2^{x+1}$
$h' (x) = 2(ln2+1) e^x 2^x$
$h' (x) = (ln2+1) e^x e^{(x+1)ln2}$

?Transformation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\sin (4x)=-4 \sin (x) \cos(x) -8 \sin ^3(x) \cos(x)$
$\sin (4x)=4 \sin (x) \cos(x) +8 \sin ^3(x) \cos(x)$
$\sin (4x)=4 \sin (x) \cos(x) -8 \sin ^3(x) \cos(x)$

?Divisibilité

Soit l'entier naturel $N = 5^6\,n + 1 + 2^3\,n + 1$ où $n$ est un entier naturel.

$N$ est divisible par 3
$N$ est divisible par 5 si $n$ congru à 1 modulo 5
$N$ est divisible par 7

?Divisibilité

Le nombre $1785^{2012}$

a pour reste 1 dans la division par 7
est divisible par 7
est un nombre premier

?Divisibilité

Si $n$ est un entier pair, alors $7^{n+ 1}$ est divisible par 8.

VRAI
FAUX
NI VRAI NI FAUX

?Divisibilité

Soit $x \in \mathbb{Z}$, si $x^2 \equiv -1 \pmod{5}$, alors

$x^2 \equiv 1 \pmod{5}$
$x^2 \equiv 4 \pmod{5}$
$x^2 \equiv -6 \pmod{5}$

?Divisibilité

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

La relation de congruence est réflexive
La relation de congruence est symétrique
La relation de congruence est transitive
La relation de congruence est antisymétrique

?Equations dans Z

Combien y-a -t-il de couples $(x,y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation :$ x^2-y^2 = 10$ ?

2
aucun
4

?Equations dans Z

Le couple $(3 ; -1)$ est solution particulière de l'équation : $12x + 35y = 1.$

On a :

12 divise $y + 1$
12 divise $y – 1$
12 divise$ x -3$

?Equations dans Z

Laquelle des propositions suivantes est exacte?

Si $10a-4b = 4$ alors $pgcd(a,b) =4$
L'équation $10a −4b = 3$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$
Si $10a−4b = 2$ alors $pgcd(a,b) = 2$

?Equations dans Z

L'équation $6x – 8y = 1$ dans $\mathbb{Z}^2$ admet :

Une infinité de solutions
3 couples solutions
Aucun couple solution

?Equations dans Z

L'équation $37x + 23y = 1$ dans $\mathbb{Z}^2$ admet :

Une infinité de solutions
2 couples solutions
Aucun couple solution
les couples $(5-23k, -8+37k)$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.
les couples $(5+23k, 8-37k)$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.

?Equations dans Z

L'équation $1665x + 1035y = 45$ dans $\mathbb{Z}^2$ admet :

Un nombre fini de solutions
1 couple solutions unique
Aucun couple solution
les couples $(5-23k, -8+37k)$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.
les couples $(28-23k, -45+37k)$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.

?Equations dans Z

Cochez les bonnes réponses

Toute nombre pair $x$ vérifie $x^2=0\pmod 8$ ou $x^2=4\pmod 8$
Toute nombre pair $x$ vérifie $x^2=2\pmod 8$ ou $x^2=4\pmod 8$
Toute nombre impair $x$ vérifie $x^2=1\pmod 8$ ou $x^2=2\pmod 8$

?Equations dans Z

L'équation $12x + 7y = 2$ dans $\mathbb{Z}^2$ admet :

Une infinité de solutions
2 couples solutions
Aucun couple solution
les couples $(6+7k, -10-12k)$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.
les couples $(6-7k, -10+12k)$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.

?Equations dans Z

L'équation $3x + 5y = 4\pmod{7}$ dans $\mathbb{Z}$ admet :

Une infinité de solutions
4 solutions entières
$7$ solutions entières
les couples $2+7k$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.
les couples $9+7k$, $k$ parcourant $\mathbf{Z}$.

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

Un nombre entier premier est premier avec tous les entiers.
Un nombre entier premier est premier avec tous les entiers qui lui sont inférieurs.
Un nombre entier premier est premier avec tous les entiers qu'il ne divise pas.

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

Tout entier naturel $\geqslant 2$ admet un diviseur premier
Tout entier naturel pair n'est pas un nombre premier.
Tout nombre premier est un nombre impair.

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

L'ensemble des nombres premiers est fini.
L'ensemble des nombres premiers est infini.
L'ensemble des nombres composés est infini
L'ensemble des nombres composés est fini

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

$8$ et $42$ sont premiers entre eux
$15$ et $24$ sont premiers entre eux
$143$ et $63$ sont premiers entre eux

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

$111$ et $115$ sont premiers entre eux
$111$ et $150$ sont premiers entre eux
$77$ et $121$ sont premiers entre eux
$111$ et $121$ sont premiers entre eux

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

Si un nombre entier positif est divisible par $6$ et par $4$ alors il est divisible par $24$
Si un nombre entier positif est divisible par $6$ et par $5$ alors il est divisible par $30$
Si un nombre entier positif est divisible par $3$ et par $12$ alors il est divisible par $24$

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

La décomposition de 231 en produits de facteurs premiers est donnée par $3\times 7\times 31$
La décomposition de 231 en produits de facteurs premiers est donnée par $3\times 7\times 11$
La décomposition de 231 en produits de facteurs premiers est donnée par $3\times 11\times 13$
La décomposition de $600$ en produits de facteurs premiers est donnée par $2^3\times 3^2\times 5$
La décomposition de $600$ en produits de facteurs premiers est donnée par $2^3\times 3\times 5^2$
La décomposition de $600$ en produits de facteurs premiers est donnée par $2^2\times 3\times 5^2$

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

$600$ n'admet pas d'autres diviseurs premiers que $2$ et $3$
$600$ n'admet pas d'autres diviseurs premiers que $2$, $3$ et $5$
La décomposition de 231 en produits de facteurs premiers est donnée par $3\times 11\times 13$
$600$ n'admet pas d'autres diviseurs que $2$, $4$, $8$, $3$ et $5$
$600$ n'admet pas d'autres diviseurs que $2$, $4$, $8$, $3$, $5$, $25$ et $600$

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

$24$ n'admet pas d'autres diviseurs premiers que $2$ et $3$
Les diviseurs premiers de $24$ sont $1$, $2$, et $3$
Les diviseurs de $24$ sont exactement $1$, $2$, $3$, $4, 8, 12$ et $24$
Les diviseurs de $24$ sont exactement $1$, $2$, $3$, $4, 6, 8$, et $12$
Les diviseurs de $24$ sont exactement $1$, $2$, $3$, $4, 6, 8$, $12$ et $24$

?Divisibilité - nombres premiers

Cochez les bonnes réponses

La somme de deux nombres premiers est premier
La multiplication de deux nombres premiers est n'est pas premier
La somme de deux nombres pairs n'est jamais premier
La somme de deux nombres impairs peut être premier
La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair peut être premier

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $D=\int_2^0(x-2)^2e^x~dx$

$10+2e^2$
$-10-2e^2$
$10-2e^2$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $E=\int_0^\pi e^t\sin t~dt$

$\frac{1}{2}(e^\pi+1)$
$\frac{1}{2}(e^\pi-1)$
$-\frac{1}{2}(e^\pi-1)$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $F=\int_0^{\frac{\pi}{3}}x\frac{\sin x}{\cos^3(x)}~dx$

$F=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$F=-\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$F=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $G=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(x)\cos^5(x)~dx$

$G=\frac{16}{105}$
$G=-\frac{8}{105}$
$G=\frac{8}{105}$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $G=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\cos^3(x)~dx$

$G=\frac{17}{105}$
$G=-\frac{11}{105}$
$G=\frac 14$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $G=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\cos(x)~dx$

$G=2$
$G=\ln e$
$G=\frac 14$
$G=1$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $G=\int_1^e\ln x~dx$

$G=\frac12$
$G=-\frac13$
$G=\frac 14$

?Intégration par parties

$(D)$ est l'ensemble des points $M(x , y)$ du plan tels que : $\left \{\begin{array}{rcl} 1 \leq x \leq e \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{x} \end{array}\right.$. L'unité graphique est $3$ cm. L'aire de $(D)$ en $cm^2$ est :

1 $cm^2$
9 $cm^2$
9

?Intégrales et aires

$(D)$ est l'ensemble des points $M(x , y)$ du plan tels que : $\left \{\begin{array}{rcl} 1 \leq x \leq e \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{x} \end{array}\right.$. L'aire de $(D)$ en unités d'aires est :

L'unité d'aire
9
3

?Intégrales et aires

$(D)$ est l'ensemble des points $M(x , y)$ du plan tels que : $\left \{\begin{array}{rcl} 1 \leq x \leq e \\ 0 \leq y \leq \frac{1}{x}ln(x) \end{array}\right.$. L'unité graphique est 3 $cm$. L'aire de $(D)$ en unités d'aire est :

4,5 $cm^2$
9 $cm^2$
0,5 $cm^2$

?Intégrales et aires

$(D)$ est l'ensemble des points $M(x , y)$ du plan tels que : $\left \{\begin{array}{rcl} -2 \leq x \leq 0 \\ 0 \leq y \leq x^3+2x^2+2x+4 \end{array}\right.$. L'aire de $(D)$ en unités d'aire est :

$\frac{16}{3}$ unités d'aire
$\frac{32}{3}$ unités d'aire
$\frac{7}{3}$ unités d'aire

?Intégrales et aires

Considérons les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[1 ;5]$ par : $f(x)=x^2+\frac{4}{x^2}$ et $g(x)=x^2$. $(C_f)$ et $(C_g)$ les courbes respectives de $f$ et $g$ dans un repère orthonormal du plan. L'unité graphique est 1 $cm$. L'aire en $cm^2$ comprise entre $(C_f)$ et $(C_g)$ sur $[1 ;5]$ est :

$\frac{16}{5}$ $cm^2$
$\frac{8}{5}$ $cm^2$
$\frac{4}{5}$ $cm^2$

?Intégrales et aires

Considérons la fonction $f$ définie sur $[-3 ;-2]$ par : $f(x)=\frac{x^2-7x+10}{2(1-x)}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. L'unité graphique est 2 $cm$. L'aire en $cm^2$ comprise entre $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x=-3$ et $x=-2$ est :

$(2+ln\frac{16}{9})$ $cm^2$
$ln \frac{16}{9}$ $cm^2$
$4(\frac{17}{4}+ln\frac{16}{9})$ $cm^2$

?Intégrales et aires

Considérons la fonction $f$ définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $f(x)=\frac{x^2}{2}(lnx-\frac{3}{2})$ si $x >0$ et $f(0)=0$. $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormal du plan. L'unité graphique est $2~cm$. L'aire en $cm^2$ comprise entre $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha$, $\alpha >0$ et $x=e$ est :

$(-\frac{5e^3}{36}+11\frac{\alpha^3}{36}-\frac{\alpha^3}{6}ln(\alpha)$ $cm^2$
$4\left(-\frac{5e^3}{36}+11\frac{\alpha^3}{36}-\frac{\alpha^3}{6}ln(\alpha)\right)$ $cm^2$
$4(\frac{5e^3}{36}+11\frac{\alpha^3}{36}-\frac{\alpha^3}{6}ln(\alpha)$ $cm^2$

?Intégrales et aires

Considérons la fonction $f$ définie sur $[0 ;+\infty[$ par $f(x)=\frac{x^2}{2}(lnx-\frac{3}{2})$ si $x>0$ et $f(0)=0$. $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormal du plan. L'unité graphique est $2$ $cm$. L'aire en $cm^2$ comprise entre $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=e$ est :

$-\frac{5e^3}{36}$ $cm^2$
$4(-\frac{5e^3}{36})$ $cm^2$
$4(\frac{5e^3}{36})$ $cm^2$

?Intégrales de fonctions puissances

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $A=\int_1^2x^6~dx$

$A=\frac{127}{7}$
$A=\frac{128}{7}$
$A=\frac{129}{7}$

?Intégrales de fonctions puissances

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $A=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin^3 (2x)~dx$

$\frac{4}{48}$
$\frac{10}{48}$
$\frac{5}{48}$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction f définie sur $[0 ; \pi]$ par : $f(x) = sin^2(x)$ . La valeur moyenne de f sur $[0 ; \pi]$ est :

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction $f$ définie sur $[1 ; 4]$ par : $f(x) = x^2 - 1$. La valeur moyenne de$ f$ sur $[1 ; 4$] est :

$\frac{28}{9}$
$\frac{28}{3}$
$\frac{48}{3}$
$6$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ; \pi]$ par : $f(x) = x - sinx$. La valeur moyenne de $f$ sur $[0 ; \pi]$ est :

$\frac{\pi^2}{2}$
$\frac{\pi}{2}-\frac{2}{\pi}$
$\pi$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction f définie sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ par : $f(x) = sin^2 (x) cos^5(x)$. La valeur moyenne de$ f$ sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ est :

$\frac{8}{105}$
$\frac{16}{105\pi}$
$\frac{16}{105}$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ;1]$ par :$ f(x) = x^2 e^x$. La valeur moyenne de $f$ sur $[0 ; 1]$ est :

$e-2$
$e+2$
$e$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ; \pi]$ par : $f(x) = e^x sinx$. La valeur moyenne de $f$ sur $[0 ; \pi]$ est :

$\frac{1}{2\pi}(e^\pi+1)$
$\frac{1}{2}(e^\pi+1)$
$\frac{1}{\pi}(e^\pi+1)$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $C=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos (x)\sin^4{(x)} dx$

$C=\frac{9\sqrt{3}}{160}$
$C=\frac{\sqrt{3}}{160}$
$C=\frac{9\sqrt{3}}{32}$

?Intégration par parties

Soit $\int_0^1x^2e^x ~dx$. Coche la bonne réponse

$e-2$
$e+2$
$e$

?Intégration par parties

Soit $\int_{-1}^0(2x+1)e^{-x}~ dx$. Coche la bonne réponse.

$e-3$
$e+3$
$3$

?Produit mixte

Le produit mixte est antisymétrique

VRAI
FAUX

?Produit mixte

Le réel$\| (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}\| $ est le volume du parallélépipède $ABCDEFGH$

FAUX
VRAI

?Produit mixte

Le réel $\|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \|$ est l'aire du triangle ABC

FAUX
VRAI

?Produit vectoriel

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls alors ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{u}$∧$\overrightarrow{v}$) est une base directe de l'espace des vecteurs

VRAI
FAUX

?Produit vectoriel

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls orthogonaux alors ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{u}$∧$\overrightarrow{v}$) est une base orthonormale directe de l'espace des vecteurs.

FAUX
VRAI

?Produit vectoriel

Le produit vectoriel est commutatif

VRAI
FAUX

?Produit vectoriel

Soient $A, B, C$ trois points non alignés. Le vecteur$ \overrightarrow{AB}$ $\wedge$ $\overrightarrow{AC}$ est un vecteur directeur du plan$ (ABC)$

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $(P)$ un plan de l'espace et $S_P$ la réflexion de plan $(P)$ .

Soit $A$ et $B$ deux points de l'espace.

B= $S_P (A)$ si et seulement si$ (P)$ est le plan médiateur de$ [AB]$

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $(P)$ un plan de l'espace et $S_P$ la réflexion de plan $(P)$ .

Pour tout point $M$ de l'espace, $S_P (M)=M \iff P$ est invariant par $S_P$.

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $(P)$ un plan de l'espace et $S_P$ la réflexion de plan$ (P)$ .

Si $B= S_P (A)$ . alors $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal de $(P).$

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $(P)$ un plan de l'espace et $S_P$ la réflexion de plan$ (P)$ .

Si $B= S_P (A)$ . alors, si B=$ S_P (A)$ . alors $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(P)$.

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

5. Soit $(P)$ un plan de l'espace et $S_P$ la réflexion de plan $(P)$ .

$(S_P)^{-1}= S_P$ où $(S_P)^{-1}$ est la transformation réciproque de la transformation $S_P$

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $(P)$ et $(P')$ deux plans de l'espace,$ S_P$ et $S_{P'}$ les réflexions de plan respectifs $(P)$ et $(P')$.

Si les plans $(P)$ et $(P'$) sont parallèles alors la composée $S_{P'} \circ S_P$ est une translation de vecteur normal aux plans$ (P)$ et$ (P')$

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $(P)$ et $(P')$ deux plans de l'espace,$ S_P$ et $S_{P'}$ les réflexions de plan respectifs $(P)$ et $(P')$.

Si les plans $(P)$ et $(P'$) sont sécants suivant une droite $(\Delta)$ alors la composée $S_{P'} \circ S_P$ est une rotation autour de $(\Delta)$

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $(P)$ et $(P')$ deux plans de l'espace,$ S_P$ et $S_{P'}$ les réflexions de plan respectifs $(P)$ et $(P')$. $(S_{P'} \circ S_{P})^{-1}=(S_{P'})^{-1} \circ (S_{P})^{-1}$

VRAI
FAUX

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $h$ l'homothétie de centre$ A(0 ;1 ;-1)$ et de rapport $-4$, $t$ la translation de vecteur$ \overrightarrow{u}(-2 ;1 ;1).$

L'expression analytique de hot est : $\left \{\begin{array}{rcl}x'&=&-4x+8 \\y'&=&-4y+1 \\z'&=&-4z-9 \end{array}\right.$, le centre de l'homothétie est le point $I(8 ; 1 ; -9)$
L'expression analytique de hot est : $\left \{\begin{array}{rcl}x'&=&-4x+8 \\y'&=&-4y+1 \\z'&=&-4z-9 \end{array}\right.$, le centre de l'homothétie est le point $I(\frac{8}{5} ; \frac{1}{5} ;\frac{9}{5})$
L'expression analytique de hot est : $\left \{\begin{array}{rcl}x'&=&-4x+8 \\y'&=&-4y+1 \\z'&=&-4z-9 \end{array}\right.$, le centre de l'homothétie est le point $I(\frac{8}{5} ; \frac{1}{5} ;-\frac{9}{5})$

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Soit $h$ l'homothétie de centre$ A(0 ;1 ;-1)$ et de rapport $-4$, $t$ la translation de vecteur$ \overrightarrow{u}(-2 ;1 ;1).$

L'expression analytique de toh est : : $\left \{\begin{array}{rcl}x'&=&-4x+8 \\y'&=&-4y+1 \\z'&=&-4z-9 \end{array}\right.$, le centre de l'homothétie est le point $I(8 ; 1 ; -9)$
L'expression analytique de toh est : : $\left \{\begin{array}{rcl}x'&=&-4x-2 \\y'&=&-4y+6 \\z'&=&-4z-9 \end{array}\right.$, le centre de l'homothétie est le point $I(\frac{-8}{5} ; \frac{6}{5} ;\frac{-4}{5})$
L'expression analytique de toh est : : $\left \{\begin{array}{rcl}x'&=&-4x-2 \\y'&=&-4y+1 \\z'&=&-4z-4 \end{array}\right.$, le centre de l'homothétie est le point $I(\frac{-8}{5} ; \frac{6}{5} ;\frac{-4}{5})$

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Cpche la ou les bonne(s) réponse(s)

Une homothétie est une isométrie
Une homothétie transforme une droite en une droite
Une homothétie transforme une figure plane en une figure de même nature
Une homothétie transforme un solide en un solide même nature

?TRANSFORMATIONS ELEMENTAIRES DE L'ESPACE

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

Une translation est une isométrie
Une translation transforme une droite en une
Une translation transforme une figure plane en une figure de même nature
Une translation transforme un solide en un solide même nature

?Calcul barycentrique

On considere un triangle $ABC$ tel que $AB = 7$,$ BC = 4$ et $AC = 5$. $I$ est le milieu de $[BC]$. L'ensemble des points $M$ tels que : $-2 MA^2+ MB^2+ MC^2=-58$ est :

La médiatrice du segment $[AI]$
La droite perpendiculaire à $(AI)$ passant par $A$
La droite perpendiculaire à $(AI)$ passant par $I$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $ \overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ dans l'espace, de coordonnées respectives $(v_{1,x}, v_{1,y}, v_{1,z})$ et $(v_{2,x}, v_{2,y}, v_{2,z})$.

Comment s'exprime le produit scalaire $\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}$ ?

$v_{1,x} v_{2,x} + v_{1,y} v_{2,y} + v_{1,z} v_{2,z}$
$\sqrt{v_{1,x} v_{2,x} + v_{1,y} v_{2,y} + v_{1,z} v_{2,z} }$
$\sqrt{v_{1,x} v_{2,x}} + \sqrt{ v_{1,y} v_{2,y}} + \sqrt{ v_{1,z} v_{2,z} }$
$v_{1,x} v_{2,x} * v_{1,y} v_{2,y} * v_{1,z} v_{2,z}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ de norme non nulle.

Quelles propositions permettent de compléter de manière juste la phrase suivante "Un produit scalaire entre deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC} ...$" ?

... est toujours positif ou nul.
... n'est jamais nul.
... est égal à un autre vecteur.
... est égal à un nombre réel.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de norme non nulle. On appelle angle $\alpha$ l'angle non orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Dans quel(s) cas a-t-on le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ égal à 0 ?

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont la même direction et le même sens.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont la même direction mais sont de sens opposés.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont perpendiculaires.
$\overrightarrow{u}=- \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{v}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ de coordonnées respectives $\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}w_x\\w_y\\w_z\end{pmatrix}$ dans $R^3$.

Quelles sont, par définition, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}$ ?

$\begin{pmatrix}v_x + w_x\\v_y+w_y\\v_z + w_z\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}v_x - w_x\\ v_y - w_y\\v_z - w_z\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}v_y w_z - v_z w_y\\v_z w_x - v_x w_z\\v_x w_y - v_y w_x\end{pmatrix}$
$v_x \times w_x + v_y \times w_y + v_z \times w_z$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelles sont, par définition de la différence de deux vecteurs, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}= \overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}$ ?

$\begin{pmatrix}v_x - w_x\\ v_y - w_y\\v_z - w_z\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}w_x - v_x\\ w_y - v_y\\w_z - v_z\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}v_y w_z - v_z w_y\\v_z w_x - v_x w_z\\v_x w_y - v_y w_x\end{pmatrix}$
$v_x * w_x + v_y *w_y + v_z * w_z$

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Dans un repère orthonormé $(O ;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on donne les points $A(x_A;y_A)$ et de $B(x_B;y_B)$.

Donner l'expression de la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

$\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$
${(x_B-x_A)+(y_B-y_A)}$
$(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2$
$\frac{ y_B-y_A}{x_B-x_A}$

?Isométries du plan

Toute isométrie est une transformation qui conserve les distances.

VRAI
FAUX

?Isometries du plan

Toute isométrie conserve les alignements, les milieux, les intersections.

VRAI
FAUX

?Isométries du plan

Toute transformation est une isométrie

VRAI
FAUX

?Isometries du plan

Toute isométrie conserve le parallélisme et l'orthogonalité.

VRAI
FAUX

?Isométries du plan

Toute isométrie transforme un segment en un segment.

VRAI
FAUX

?Isométries du plan

Toute isométrie conserve le barycentre d'un système de points pondérés.

VRAI
FAUX

?Isométries du plan

Toute isométrie transforme une droite en une droite.

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport $k ( k > 0 )$ transforme une droite en une droite.

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport $k ( k > 0 )$ multiplie les distances par $k.$

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport $k ( k > 0 )$ multiplie les aires par$ k$

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport k ( k > 0 ) multiplie les aires par k2

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport $k ( k > 0 )$ conserve les angles géométriques donc le parallélisme et l'orthogonalité.

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport $k ( k > 0 )$ conserve les alignements, les milieux, les intersections.

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport$ k ( k > 0$ ) transforme un segment en un segment.

VRAI
FAUX

?Similitudes Plaanes Directes

Toute similitude de rapport$ k ( k > 0 )$ conserve le barycentre d'un système de points pondérés.

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport $k ( k > 0 )$ transforme un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ en un cercle de centre l'image de $O$ par la similitude et de rapport$ k × R$.

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude de rapport $k ( k > 0$ ) transforme un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ en un cercle de centre l'image de $O$ par la similitude et de rapport $R$.

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Toute similitude plane directe a une écriture complexe de la forme$ z \to az + b$, où $a$ et $b$ sont des complexes tels que $|a| = k.$

VRAI
FAUX

?Similitudes Planes Directes

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}),$ on considère l'application$ f$, du plan dans lui –même, qui à tout point $M$ daffixe $z$ associe le point$ M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' =(1+i\sqrt{3})z - i\sqrt{3}.$

Coche la bonne réponse

$f$ est une translation
$f$ est la similitude directe de centre le point $A(1 ; 0),$ de rapport $2$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$
La rotation de centre le point$ A(1 ; 0)$

?Similitudes Planes Directes

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}),$ on considère l'application $f$, du plan dans lui –même, qui à tout point M d4affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' =(1+i\sqrt{3} ))z - i\sqrt{3} ).$

L'image par$ f$ de la droite $(D)$ , d'équation : $\sqrt{3}x + y = 0$ est :

Un segment
La droite (D') d'équation : $y = \sqrt{3}$
La droite (D') d'équation : $y =- \sqrt{3}$

?Similitudes Planes Directes

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}),$, on considère l'application $f$, du plan dans lui –même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z' =(1+i\sqrt{3})z - i\sqrt{3}$.

L'image par $f$ du cercle$ (C)$ de centre $O$ et de rayon 2 est :

Coche la bonne réponse

Le cercle $(C')$ de centre $O'(0 ; \sqrt{3})$ et de rayon 4.
Le cercle $(C')$ de centre $O'(0 ; \sqrt{3})$ et de rayon 2
Le cercle $(C')$ de centre $O'(0 ; -\sqrt{3})$ et de rayon 4.

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

$ABCD$ est un carré direct de centre $O$.

La transformation f définie par : $f=S_{(AC)} \circ S_{(AB)}$ est :

Une symétrie orthogonale
Une translation
la rotation de centre $A$ , d'angle $ 2(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} )$

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

$ABCD$ est un carré direct de centre $O$.

La transformation f définie par : $f=S_{(DC)} \circ S_{(AB)}$ est :

Une homothétie
La translation de vecteur $2\overrightarrow{AD}$
Une symétrie centrale

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j} )$, on note $s$ la symétrie orthogonale d'axe la droite$ (D)$ d'équation: $x + y\sqrt{3} - 2 = 0$ et $s'$ la symétrie orthogonale d'axe la droite$ (D')$ d'équation: $ x \sqrt{3}- y+ 2 \sqrt{3}= 0$ .

$s\circ s'$ est :

Une symétrie orthogonale
Une translation
La symétrie centrale de centre le point de coordonnée$ (-1 ; \sqrt{3} )$

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

$ABCD$ est un carré direct de centre $O$.

La transformation f définie par : $f=S_{(AB)} \circ S_{(BC)} \circ S_{(CD)} \circ S_{(DA)}$ est :

La translation de vecteur $2\overrightarrow{DB}$
b. La rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$
La symétrie centrale de centre $D$

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

$ABCD$ est un carré direct de centre$ O$.

La transformation$ f$ définie par :$ f= r_{(C ;-\frac{\pi}{2})} \circ r_{(A ;\frac{\pi}{2})}$) est :

La translation de vecteur $2\overrightarrow{AD}$
Une symétrie centrale
Une symétrie orthogonale

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

$ABCD$ est un carré direct de centre$ O$.

La transformation$ f$ définie par :$ f= r_{(A ;\frac{\pi}{2})} \circ r_{(C ;\frac{\pi}{2})}$) est :

La symétrie centrale de centre D
La symétrie orthogonale d'axe (AB)
La translation

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

$ABCD$ est un carré de centre $O$. La transformation $f$ définie par : $f=t_{2\overrightarrow{AD}} \circ r_{(A ;-\frac{\pi}{2})}$

La rotation de centre C, d'angle $-\frac{\pi}{2}$.
Une symétrie centrale
Une symétrie orthogonale

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

ABCD est un carré direct de centre O.

La transformation $f$ définie par : $f= s_{(AC)} \circ r_{(A ;\frac{\pi}{2})}$ est :

La symétrie centrale de centre $D$
La symétrie orthogonale d'axe $(AB)$
La translation

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

ABCD est un carré direct de centre O.

La transformation f définie par :$ f=S_{(AB)} \circ S_{(CD)} \circ S_{(BC)} \circ S_{(AD)}$ est :

La rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$
b. La symétrie centrale de centre$ A$
c. La translation de vecteur $2\overrightarrow{DB}$

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

Une similitude directe de centre$ I$ et d'angle nulle est une homothétie de centre $I$

VRAI
FAUX

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

Une similitude directe de rapport $1$ est une rotation

VRAI
FAUX

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

Une symétrie centrale est une similitude directe.

VRAI
FAUX

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

Une homothétie de rapport $– 2$ est une similitude d'angle nul

VRAI
FAUX

?SYMETRIES ORTHOGONALES- ROTATIONS- TRANSLATIONS

Une similitude directe de rapport $3$ a un seul point invariant

VRAI
FAUX

?Points cocycliques

4 points $A, B, C$ et $D$ d'affixes respectifs, $a b, c$ et $d$, 2 à 2 distincts sont cocycliques ou alignés si, et seulement si

$arg(\frac{c-a}{c-b})-arg(\frac{d-a}{d-b})=\frac{\pi}{2}$
$arg(\frac{c-a}{c-b})=arg(\frac{d-a}{d-b}) \pmod \pi$
$arg(\frac{c-a}{c-b})=k \pi$

?Points cocycliques

4 points $A, B, C$ et $D$ distincts et non alignés sont cocycliques ou alignés si, et seulement si :

$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}) \pmod \pi$
$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA}) \pmod \pi$
$(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}) \pmod \pi$

?Points cocycliques

Soient $A$ et $B$ 2 points distincts, l'ensemble des points $M$ du plan tells que : $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=0 \pmod {2\pi}$ est :

La droite $(AB)$
La droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$
Le segment $[AB]$

?Applications dans l'ensemble des nombres complexes

On considère le repère $(O,\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v})$ du plan complexe. L'application qui à tout point $M(z)$ associe le point

$M'( z')$ tel que : $z'=(1+i)z+4+4i$ est :

Une homothétie
Une rotation
La similitude plane directe de centre $A(- 4 +4i)$, d'angle $\frac{\pi}{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$

?Applications dans l'ensemble des nombres complexes

On considère le repère $(O,\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v})$ du plan complexe. L'application qui à tout point $M(z)$ associe le point $M'( z')$ tel que :$ z'= z-3+4i$ est :

La translation de vecteur $\overrightarrow{W}(-3 + 4i)$
Une homothétie
Une symétrie centrale

?Applications dans l'ensemble des nombres complexes

On considère le repère $(O,\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v})$ du plan complexe. L'application qui à tout point $M(z)$ associe le point$ M'( z')$ tel que : $z'=\overline{z}$ est:

Une rotation
Une symétrie centrale
La réflexion d'axe la droite des abscisses

?Applications dans l'ensemble des nombres complexes

On considère le repère $(O,\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}) $du plan complexe. L'application qui à tout point $M(z)$ associe le point $M'( z')$ tel que : $z'= -iz+i+3i$ est :

Une translation
La rotation de centre $A(2 + i)$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ et de rapport 1.
La similitude plane directe de centre$ A( 2 + i)$, d'angle $-\frac{\pi}{2}$ et de rapport 1

?Applications dans l'ensemble des nombres complexes

On considère le repère $(O,\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}) $ du plan complexe. L'application qui à tout point$ M(z)$ associe le point $M'( z')$ tel que : $z'= -2z$ est :

L'homothétie de centre $O$ et de rapport $– 2$
La rotation de centre $O$
Une translation

?Equations du second degré dans l'ensemble des nombres complexes

L'ensemble solution de l'équation $ z^2 = - 5 +12i$ est

$S=\{2+3i ;-2-3i\}$
$S=\{2+3i\}$
$S=\{-2-3i\}$

?Equations du second degré dans l'ensemble des nombres complexes

L'ensemble solution de l'équation : $z^2+ 4 z+5=0$ est :

$ S=\{ – 2 – i\}$
$S=\{ – 2 +i\}$
$S=\{-2-i ;-2+i\}$

?Equations du second degré dans l'ensemble des nombres complexes

L'équation : $z^2- 2z$$cos(\alpha)+1=0$, $ \alpha \in ]0 ; \pi[$ , a pour solutions :

$ -\cos (\alpha)+i \sin (\alpha)$ et $\cos (\alpha)-i \sin (\alpha)$
$ \cos (\alpha)+i \sin (\alpha)$ et $-\cos (\alpha)-i \sin (\alpha)$
$\cos (\alpha)+i \sin (\alpha)$ et $ \cos (\alpha)-i \sin (\alpha)$

?Equations du second degré dans l'ensemble des nombres complexes

L'ensemble solution de l'équation $z^2=-9$ est:

$S=\{-3i\}$
$S=\{3i\}$
$S=\{-3i ;3i\}$

?Equations du second degré dans l'ensemble des nombres complexes

L'équation : $z^2=3$ a pour solutions :

$\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$
$-\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$

?Evènements indépendants

Soit $ A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. Si $B$ n'est pas l'événement impossible alors $A$ et $B$ sont indépendants si :

$P(A \cap B)=P_A(B)$
$P(A \cap B)=P_B(A)$
$P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$

?Evènements indépendants

On lance deux pièces de monnaie et on note la face supérieure. Soit $A$ : « la première donne FACE » et $B$ ; « les deux pièces donnent le même résultat

» . La probabilité de « $A$ et $B$ » est :

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}$

?Evènements indépendants

Une enquête a révèle que dans un village :

$20%$ des ménages possèdent au moins un mouton.

$25%$ des ménages possèdent au moins une chèvre et $10%$ possèdent au moins un mouton et une chèvre.

La probabilité de « $A$ et $B$ » est :

$0.20$
$0.25$
$0.10$

?Evènements indépendants

On lance une pièce de monnaie non truquée et un dé à 6 faces non pipé.

La probabilité que la pièce tombe sur FACE et que le dé tombe sur 2 est :

$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{6}$

?Evènements indépendants

Un sac contient 5 boules rouges et 3 boules noires. On tire au hasard une boule du sac. Si cette boule est noire, on arrête le jeu ; si cette boule est rouge, on la remet dans le sac, on ajoute deux boules rouges et on procède alors à un deuxième tirage.

La probabilité de tirer deux boules rouges est :

$\frac{5}{8}$
$\frac{7}{10}$
$\frac{35}{80}$

?Variables aléatoires

On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note $X$ la variable aléatoire donnée par le numéro de la face du dessus. On suppose que le dé est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro inscrit sur cette face.

$E(X)$ est égal à :

$\frac{13}{3}$
$\frac{13}{6}$
$\frac{13}{9}$

?Variables aléatoires

On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus. $P(X=4)$ est égale à :

$\frac{4}{36}$
$\frac{7}{36}$
$\frac{4}{6}$

?Variables aléatoires

$P(X = 3)$ est égal à :

$\frac{3}{21}$
$\frac{3}{6}$
$\frac{1}{3}$

?Variables aléatoires

On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus.

$P(X=6)=\frac{11}{36}$
$P(X=4)=\frac{6}{36}$
$P(X=4)=\frac{5}{6}$

?Variables aléatoires

On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus.

$P(X=1)=\frac{2}{36}$
$P(X=1)=\frac{1}{6}$
$P(X=1)=\frac{1}{36}$

?Variables aléatoires

On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus.

$E(X)=\frac{161}{36}$
$E(X)=\frac{161}{6}$
$E(X)=\frac{161}{9}$

?Variables aléatoires

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme discrète sur ${0,1,...,k},$ où a$ k \in \mathbb{N}$. On suppose que$ E(X) = 6$.

$k=12$
$k=6$
$k=4$

?Variables aléatoires

Dix cyclistes, numérotés de 1 à 10, prennent le départ d'une course. Tous arrivent, il n'y a pas d'ex aequo. Le nombre de classements possibles est :

$100$
$ 3 628 800$
$10^{10}$

?Variables aléatoires

A lance 6 fois un dé parfait et gagne s'il obtient au moins une fois 1.

B lance 12 fois un dé parfait et gagne s'il obtient au moins deux fois 1

Répondre par vrai ou faux :

A a plus de chances de gagner que B
B a plus de chances de gagner que A.
A et B ont les mêmes chances de gagner

?Variables aléatoires

On admet que la probabilité pour qu'un individu pris au hasard soit né sous le signe du Capricorne est égale à $\frac{1}{12}$.

On considère un groupe de six personnes prises au hasard indépendamment les unes des autres et on note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d'individus de ce groupe qui sont nés sous le signe du Capricorne.

La probabilité d'avoir 5 individus qui sont nés sous le signe du Capricorne. Est :

$\frac{11}{12^6}$
$\frac{66}{12^6}$
$\frac{5}{12^6}$

?Variables aléatoires

On admet que la probabilité pour qu'un individu pris au hasard soit né sous le signe du Capricorne est égale à $\frac{1}{12}$.

$E(X)=\frac{1}{12}$
$E(X)=\frac{1}{2}$
$E(X)=6$

?Encadrement d'une suite numérique

La suite numérique définie par : $U_{n+1} = 1 + \frac{1}{U_n}$ et $U_0 = 2$ pour tout entier naturel $n$ est :

minorée par $1$ et majorée par $\frac{3}{2}$
minorée par $2$ et majorée par $\frac{3}{2}$
minorée par $1$ et majorée par $\frac{3}{4}$

?Encadrement d'une suite numérique

Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies

Toute suite décroissante et minorée par 0 a pour limite 0
Toute suite positive et non majorée a pour limite $+\infty$.
Toute suite croissante et majorée est bornée.
Toute suite décroissante et minorée est bornée

?Encadrement d'une suite numérique

Soit la suite$ (U_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $U_0=1$ et $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$

Pour tout entier naturel $n$:$2 \leq U_n \leq 3$
Pour tout entier nature $n$:
$-1 \leq U_n \leq 1$
Pour tout entier nature $n$:
$1 \leq U_n \leq 2$

Questions nécessitant un changement de langue

?Question

On considère une série statistique à 13 éléments décrite par le diagramme en boîte suivant :

Diagramme en boîte

Lequel des graphiques suivants peut correspondre à la courbe de ses fréquences cumulées croissantes ?

Courbes des fréquences cumulées croissantes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère la série statistique à 13 éléments suivante :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline3.4&2.4&4.9&4.7&7.1&2.9&7.0&0.9&3.6&2.3&6.1&0.1&2.3\\\hline\end{array}$

Lequel des dessins suivants correspond à sa courbe des fréquences cumulées croissantes ?

Courbes des fréquences cumulées croissantes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère la série statistique à 13 éléments suivante :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline6.7&3.3&2.3&4.6&6.2&3.4&5.7&5.2&7.8&4.9&3.1&4.5&9.2\\\hline\end{array}$

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à sa courbe des fréquences cumulées croissantes ?

Courbes des fréquences cumulées croissantes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère la série statistique à 13 éléments suivante :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline0.5&4.5&0.1&8.2&0.5&8.7&3.1&6.4&0.5&6.2&9.2&7.0&7.1\\\hline\end{array}$

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à son diagramme en boîte ?

Diagrammes en boîte

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

Soit un univers muni d'une probabilité $\textstyle{\mathbb P}$ et $\textstyle{A}$ et $\textstyle{B}$ deux événements tels que $\textstyle{{\mathbb P(A\cap B)=\dfrac13}}$ et $\textstyle{\mathbb P(A)=\dfrac12}$. Donner la ou les bonnes réponses.

$\textstyle{\mathbb P_A(B)=\dfrac23}$
$\textstyle{\mathbb P(A\cap \overline{B})=\dfrac16}$
$\textstyle{\mathbb P(B)=\dfrac23}$

?Question

Soit un univers muni d'une probabilité $\textstyle{\mathbb P}$ et $\textstyle{A}$ et $\textstyle{B}$ deux événements tels que $\textstyle{\mathbb P(A)=\dfrac12}$ , $\textstyle{\mathbb P(B)=\dfrac13}$ et $\textstyle{\mathbb P(A\cap B)=\dfrac16}$ . Déterminer la ou les bonnes réponses.

$\textstyle{\mathbb P(A\cup B)=\dfrac56}$
$\textstyle{A}$ et $\textstyle{B}$ sont incompatibles
$\textstyle{A}$ et $\textstyle{B}$ sont indépendants

?Question

On lance deux fois un dé non pipé.

Les événements $\textstyle{A}$ : « $\textstyle{2}$ sort lors du premier lancer » et $\textstyle{B}$ : « $\textstyle{3}$ sort lors du deuxième lancer" sont indépendants.
Les événements $\textstyle{E}$ : « $\textstyle{5}$ sort lors du premier lancer » et $\textstyle{F}$ : « $\textstyle{5}$ sort lors des 2 lancers" sont indépendants
Les événements $\textstyle{G}$ : « un nombre impair sort lors du premier lancer » et $\textstyle{H}$ : « la somme est $\textstyle{5}$" sont indépendants.

?Question

Si $\textstyle{A}$ et $\textstyle{B}$ sont deux événements disjoints alors ils sont toujours indépendants.

Vrai
Faux

?Question

Le nombre complexe $ \frac{i-2}{1+i}$ est égal à

$\frac{1}{2}-\frac{3i}{2}$
$-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$
$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$
$1-2i\,$

?Question

On note $\alpha$ le nombre complexe $\alpha=-\sqrt{3}+i$. On a

$ \alpha= -2e^{\frac{5\pi}{6} i}$
$ \alpha= - 2e^{-\frac{\pi}{6} i}$
$\alpha= 2e^{-\frac{\pi}{3} i}$
$\alpha= 2e^{\frac{5\pi}{6} i}$

?Question

La courbe représentative de la fonction $f:x \mapsto \frac{\ln(x)}{x}$ a l'allure

?Question

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. Que signifie "$f(x)$ tend vers + l'infini lorsque $x$ tend vers + l'infini" :

La fonction $f$ n'est pas majorée.
La fonction $f$ est strictement croissante.
Pour tout $A\in\mathbb{R}$, on dispose de $x_A\in\mathbb{R}$ tel que pour tout $x\geq x_A$, $f(x) \geq A$ (autrement dit $f(x)\geq A$ pour $x$ assez grand).
Pour $x$ assez grand, on a $f(x)=+\infty $.

?Question

Soit $f$ une fonction. La bonne définition de la propriété "La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[a,b]$" est

$\it f(a) \leq f(b)$
La courbe de f monte
Pour tous réels $x \in [a,b]$ et $x' \in [a,b]$ avec $x < x'$, on a $f(x) \leq f(x') $
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est positif

?Question

Complétez l'assertion suivante afin de former un théorème.

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb{R}$.

Pour tout $c \in [a,b]$, il existe un réel $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ tel que $f(c)=y $
Pour tout réel $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un réel $c \in [a,b]$ tel que $ f(y)=c $
Pour tout réel $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un réel $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=y $
La fonction $f$ est définie et dérivable sur $ [a,b] $

?Question

Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires indiscernables au toucher. On extrait simultanément 3 boules de celle-ci. La probabilité d'avoir exactement 3 boules blanches vaut :

$\dfrac{\binom{5}{3}}{\binom{9}{3}}$
$\dfrac{3}{9}$
$\dfrac{3^3}{9^3}$
$\dfrac{3}{5}$

?Question

Le nombre complexe $-2e^{-i\frac{\pi}{3}}$ a pour

module $2$ et argument $\frac{2\pi}{3}$
module $2$ et argument $-\frac{\pi}{3}$
module $-2$ et argument $-\frac{\pi}{3}$

?Question

Soient A,B et C les trois points d'affixes respectives : $z_A=1+i$, $z_B=1-i$ et $z_C=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$ . Ces points sont :

situés sur un même cercle de centre $O$
alignés
situés sur un même cercle de rayon $\sqrt{2}$

?Question

Dans un plan complexe muni du repère orthonormé $(O ;\vec u ; \vec v)$, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nul, si $arg(z)$ est une mesure en radian de $(\vec u, \overrightarrow{OM})$, alors :

$z$ est un nombre réel si, et seulement si $arg(z)$ est un multiple de $2\pi$
$z$ est un nombre réel si, et seulement si $arg(z)$ est un multiple entier de $\pi$
$z$ est un nombre imaginaire pur si, et seulement si $arg(z)$ est un multiple entier de $\frac{\pi}{2}$
z est un nombre imaginaire pur si, et seulement s'il existe un nombre entier k tel que $arg(z)=(2k+1)\frac{\pi}{2}$

?Question

Soit $A$ le point d'affixe $2i$ et $B$ le point d'affixe $-5$ . L'ensemble de tous les points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z − 2i| = |z + 5|$ est :

La médiatrice de $[AB]$.
la médiane de $[AB]$.
le cercle de diamètre $[AB]$.
la droite $(AB)$.

?Question

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb R$. Soit $a<b$ deux réels.

Pour tout $x\geq b$, on a $\int_a^x f(t)dt\geq \int_a^b f(t)dt$.
La fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)dt-\int_b^xf(t)dt$ est constante sur $\mathbb R$.
La primitive de $f$ qui s'annule en $a$ est la fonction $x\mapsto \int_x^bf(t)dt -\int_a^bf(t)dt$
La fonction $x\mapsto \int_a^bf(t)dt -\int_x^af(t)dt$ est une primitive de $f$.

?Question

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb R$, et $a$, $b$, $c$ trois réels.

On a $3\int_a^bf(t)dt=\int_{3a}^{3b}f(t)dt$.
On a $3\int_a^b f(t)dt-\int_a^c g(t)dt = \int _a^b(3f(t)-g(t))dt+\int_c^bg(t)dt$.
On a $3\int_a^b f(t)dt+\int_{-a}^{-b}(t)dt=\int_a^b(3f(t)-g(t))dt$.
On a $\int_a^b f(t)g(t)dt=\Bigg(\int_a^bf(t)dt \Bigg) \Bigg( \int_a^bg(t)dt\Bigg)$

?Question

On note $I=\displaystyle\int_x^y 2te^{-kt}dt-2\int_{x/2}^yte^{-kt}dt$. Après calculs, l'intégrale $I$ dépendra uniquement de

$x$ et $y$
$k$, $y$ et $t$
$x$ et $k$
$k$, $y$ et $t$

?Question

Soit la proposition "La probabilité de tout événement est inférieur ou égale à $1$". La négation de cette proposition est

"Il y a des événements de probabilité inférieure ou égale à $1$."
"La probabilité de tous les événements est supérieure ou égale à $1$".
"Il y a un événement de probabilité strictement supérieure que $1$".
"La probabilité de tout événement est strictement inférieure que $1$.

?Question

Soit l'assertion "La probabilité de tout événement est inférieure ou égale à $1$". La négation de cette assertion est :

"Il y a des événements de probabilité inférieure ou égale à $1$".
"La probabilité de tous les événements est supérieure ou égale à $1$".
"Il y a un événement de probabilité strictement supérieure à $1$".
"La probabilité de tout événement est strictement inférieure à $1$".

?Espaces vectoriels

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel non nul et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\nsubseteq G$ et $G\nsubseteq F$. Quelles sont les assertions vraies ?

$F+G =\{x+y\, ; \, x\in F \,\mbox {et}\, y \in G \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
$F\cap G $ est sous-espace vectoriel de $E$.
$F\cup G $ est sous-espace vectoriel de $E$.
$F\times G = \{(x,y) \, ; \, x \in F\,\mbox {et}\, y \in G \}$ est un sous-espace vectoriel de $E\times E$.

?Applications linéaires

On note $\mathbb{R}_n[X]$ l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le n$, $n\in \mathbb{N}$. On considère les deux applications suivantes : $\begin{array}{rccc}f:&\mathbb{R}_3[X]&\to&\mathbf{R}\\& P&\to &P(0)+P'(0)\, \end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\mathbb{R}_3[X]&\to&\mathbb{R}_2[X]\\& P&\to &1+P'+XP''\end{array}$

où $P'$ (resp. $P''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f(0)=1$.
$f$ est une application linéaire.
$g(0)=1$.
$g$ est une application linéaire.

?Applications linéaires

On considère les applications suivantes : $\begin{array}{rccc}f:&\mathbb{C}&\to&\mathbb{C}\\& z&\to& \Re (z)\end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\mathbb{C}&\to&\mathbb{C}\\& z&\to& \Im (z), \end{array}$ où $\Re (z)$ (resp. $\Im (z)$) est la partie réelle (resp. imaginaire) de $z$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f$ est $\mathbb{C}$-linéaire.
$f$ est $\mathbb{R}$-linéaire.
$g$ est $\mathbb{R}$-linéaire.
$g$ est $\mathbb{C}$-linéaire.

?Applications linéaires

On considère les applications suivantes : $\begin{array}{rccc}f:&\mathbb{C}&\to&\mathbb{C}\\& z&\to& |z|\end{array} \quad \mbox{et} \quad \begin{array}{rccc}g:&\mathbb{C}&\to&\mathbb{C}\\& z&\to& \overline{z},\end{array} $ où $|z|$ (resp. $\overline{z}$) est le module (resp. le conjugué) de $z$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f$ est $\mathbb{C}$-linéaire.
$f$ est $\mathbb{R}$-linéaire.
$g$ est $\mathbb{R}$-linéaire.
$g$ est $\mathbb{C}$-linéaire.

?Fonction majorée/minorée (1)

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\forall M > 0 \quad \exists x \in \mathbb{R} \quad f(x) \le M$ implique $f$ majorée.
$\forall x \in \mathbb{R} \quad \exists M > 0 \quad f(x) \ge M$ implique $f$ majorée.
$\exists M > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad f(x) \le M$ implique $f$ majorée.
$\exists M > 0 \quad \exists x \in \mathbb{R} \quad f(x) \ge M$ implique $f$ majorée.

?Fonctions - continuité sur R (1)

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues sur $\mathbf{R}$ ?

$x \mapsto \cos(x)-\sin(x)$
$x \tan(x)$
$x \mapsto \frac{1}{\exp(x)}$
$x \mapsto \ln(\exp(3x))$

?Fonctions - continuité en un point (2)

Parmi les propriétés suivantes, quelles sont celles qui signifient que $f$ est continue en $x_ 0$ ?

$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$
$(\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0\qquad |x-x_0| \le \delta \implies |f(x)-f(x_0)| \le \epsilon) $
$(\exists \delta > 0 \quad \forall \epsilon > 0 \qquad |x-x_0| < \delta \implies |f(x)-f(x_0)| < \epsilon)$
$\big| f(x) - f(x_0) \big| \to 0$ lorsque $x \to x_0$

?Fonctions - continuité sur R (2)

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont continues sur $\mathbb{R}$ ?

$x \mapsto P(x)$, où $P$ est un polynôme.
$x \mapsto |f(x)|$, où $f$ est une fonction continue.
$x \mapsto \frac{1}{f(x)}$, où $f$ est une fonction continue ne s'annulant pas.
La fonction $f$ définie par $f(x) = 0$, si $x\in \mathbb{Q}$ et par $f(x)=1$ sinon.

?Fonctions - continuité sur R (3)

Pour toutes les fonctions notées f qui suivent on pose $f(0)=0$. Quelles sont alors les fonctions f continues lorsque pour tout $x$ réel et différent de 0 on pose :

$f(x) = \frac 1x$
$f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$
$f(x) = x \ln( |x|)$
$f(x) = e^{1/x}$

?Fonctions : maximum/minimum (1)

Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue sur l'intervalle $[a,b]$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f$ admet un maximum sur $]a,b[$.
$f$ admet un maximum en $a$ ou en $b$.
$f$ est bornée sur $]a,b[$.
$f$ admet un maximum ou un minimum sur $[a,b]$ mais pas les deux.

?Fonctions réelles - dérivée en un point (2)

Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{(x-2)^2}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$f$ est continue et dérivable en $2$.
$f$ est continue et non dérivable en $2$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $2$ est une droite verticale.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $2$ est une droite horizontale.

?Fonctions réelles : calcul de dérivée (4)

Soit $x\in\mathbb R$, soit $\displaystyle f(x)=x^2-\mathrm{e}^{x^2-1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$f$ admet un minimum local en $0$.
$f$ admet un maximum local en $0$.
$f$ admet un point d'inflexion en $0$.
la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ est une droite verticale.

?Fonctions réelles : calcul de dérivée (5)

Soit $x\in\mathbb R$, soit $\displaystyle f(x)=x^4-x^3+1$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$f$ admet un minimum local en $x= \frac{3}{4}$.
$f$ admet un maximum local en $x=0$.
$f$ admet un minimum local en $x=0$.
La courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$.

?Dérivabilité des fonctions réelles - tangente (1)

Soit $x\in\mathbb R$, soit $\displaystyle f(x)=x^4-3x^3+3x^2-x$. Quelles sont les bonnes réponses ?

Il existe $a\in ]0,1[$ tel que $f'(a)=0$.
Il existe $a\in ]0,1[$ où la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est une droite horizontale.
Il existe $a\in ]0,1[$ où la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ est une droite verticale.
La courbe représentative de $f$ admet un point d'inflexion en $0$.

?Dérivée seconde ou plus - maximum/minimum

Soit $x\in\mathbb R$, soit $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{3x^4-4x^3}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\forall x\in \mathbf{R}$, $f''(x) > 0$
$f$ admet un minimum en $1$.
$f$ admet un maximum en $1$.
Il existe $a\in ]0,1[$ tel que $f''(a)=0$.

?Développements limités

Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle\lim _{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\sqrt{1+x}-1}=2$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x}-\sqrt{1+2x}}{\ln(1+x)}=1$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\sin ^2x}=\frac{1}{2}$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-\cos x-x}{x^2}=2$.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x^2-1}$ et $\displaystyle g(x)=\frac{\ln (1+x)}{2x+x^2}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_1(0)g(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+o(x)$.
$f(1+x)=g(x)$ et $\displaystyle DL_1(1)f(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}+o(x)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)$ n'existe pas.
$\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\frac{1}{2}$.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+2x+2}$ et $g(x)=f(x-1)$. On note $T$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $-1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_3(0)g(x)=1-2x+2x^3+o(x^3)$.
$T$ est la droite d'équation $y=1-2x$ et le graphe de $f$ est au dessus de $T$ au voisinage de $-1$.
$T$ est la droite d'équation $y=1-2x$ et le graphe de $f$ est en dessous de $T$ au voisinage de $-1$.
$T$ est la droite d'équation $y=1-2x$ et le point d'abscisse $-1$ est un point d'inflexion.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=x-\sin x$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_3(0)f(x)=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$.
$T_0$ est la droite d'équation $y=0$ et $f$ admet un extremum en $0$.
Le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}$ n'existe pas.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=x^2\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et on pose $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0)g(x)=1-\frac{x}{2}+o(x^2)$.
Au voisinage de $+\infty$, on a : $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{3x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$.
$\Gamma$ admet la droite d'équation $\displaystyle y=x-\frac{1}{2}$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.
$\Gamma$ est au dessus de la droite d'équation $\displaystyle y=x-\frac{1}{2}$ au voisinage de $-\infty$.

?Développements limités

Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1/x}=1$.
$\displaystyle\lim _{x\to 0}\left(\cos x\right)^{1/\sin ^2x}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin ^2x}-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{3}$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{\cos x-\sqrt{1-x^2}}{x^2\sin ^2x}$ n'existe pas.

?Équations différentielles du premier ordre

On considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; y'-2y=0\quad \mbox{ et }\quad (E_2)\; :\; y'+2xy=0$.

Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :

La solution générale de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$ est : $\displaystyle y=k\mathrm{e}^{-2x}$, $k\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$ est : $\displaystyle y=k\mathrm{e}^{2x}$, $k\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$ est : $\displaystyle y=k\mathrm{e}^{-x^2}$, $k\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$ est : $\displaystyle y=k\mathrm{e}^{x^2}$, $k\in \mathbb{R}$.

?Équations différentielles du premier ordre

On considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; (1+x^2)y'-y=0\quad\mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y'-\frac{y}{1+x^2}=0$.

Parmi les affirmations suivantes cocher celles qui sont vraies :

Si $y$ est une solution de $(E_1)$, alors $\displaystyle z=\frac{y}{1+x^2}$ est une solution de $(E_2)$.
$(E_1)$ est $(E_2)$ ont les mêmes solutions.
La solution générale de $(E_1)$ sur $\mathbb{R}$ est : $\displaystyle y=k\mathrm{e}^{arctan (x)}$, $k\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$ est : $\displaystyle y=k\arctan (x)$, $k\in \mathbb{R}$.

?Équations différentielles du second ordre

On considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; y''-4y=4x\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''+2y'+y=x+2$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

La solution générale de $(E_1)$ est : $\displaystyle y=-x+k_1\mathrm{e}^{2x}+k_2\mathrm{e}^{-2x}$, $k_1,k_2\in \mathbb{R}$.
Les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions $\displaystyle y=-x+\mathrm{e}^{2x}$ et $y_2=-x+\mathrm{e}^{-2x}$.
La solution générale de $(E_2)$ est : $\displaystyle y=x+k\mathrm{e}^{-x}$, $k\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ est $\displaystyle y=x+(k_1x+k_2)\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\in \mathbb{R}$.

?Équations différentielles du second ordre

Sur $\mathbb{R}$, on considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; y''-y'-2y=2\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''+y=x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions $\displaystyle y=-1+k_1\mathrm{e}^{2x}+k_2\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\in \mathbf{R}$.
Les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions $\displaystyle y_1=-1+\mathrm{e}^{2x}$ et $y_2=-1+\mathrm{e}^{-x}$.
Les solutions de $(E_2)$ sont les fonctions $\displaystyle y=x+k_1\cos (x)+k_2\sin (x)$, $k_1,k_2\in \mathbb{R}$.
Les solutions de $(E_2)$ sont les fonctions $\displaystyle y=x+\cos (x)$ et $y_2=x+\sin (x)$.

?Intégration par parties

On note par $F$ une primitive de $f(x)=\ln x$ sur $]0,+\infty[$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle F(x)=\mathrm{e}^{x}+k$, $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=x\ln x-\int \mathrm{d}x$.
$\displaystyle F(x)=x\ln x-x+k$, $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=\frac{1}{x}+k$, $k\in \mathbb{R}$.

?Intégration par parties

On note par $F$ une primitive de $f(x)=x\ln x$ sur $]0,+\infty[$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}\ln x+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\mathrm{d}x$.
$\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x}{2}+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+k$, où $k\in \mathbb{R}$.

?Intégration par parties

On note par $F$ une primitive de $f(x)=x\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle F(x)=x\ln x+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2}\mathrm{e}^x+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=x\mathrm{e}^x-\int \mathrm{e}^x\mathrm{d}x$.
$\displaystyle F(x)=(x-1)\mathrm{e}^x+k$, où $k\in \mathbb{R}$.

?Intégrale définie

L'intégrale $\displaystyle \int _{-\pi/6}^{\pi/3}\tan x\, \mathrm{d}x$ est égale à :

$\displaystyle \frac{4}{3}$.
$\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
$\displaystyle \int _{\pi/6}^{\pi/3}\tan x\, \mathrm{d}x$.
$\displaystyle \frac{1}{2}\ln 3$.

?Limites des fonctions réelles - limite en un point d'une fraction rationnelle (1)

Soit $f(x)= \frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$. Quelles sont les assertions (ou proposition) vraies ?

$\lim_{x\to 1} f(x)=0$
$\lim_{x\to 1} f(x)=\frac{2}{3}$
$\lim_{x\to -\frac{1}{2}} f(x) = +\infty$
$\lim_{x\to (-\frac{1}{2})^+} f(x)=+\infty$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point d'une fraction rationnelle (2)

Soit $f(x)= \frac{1}{x+1}+ \frac{3x}{(x+1)(x^2-x+1)}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to -1^+} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to -1^-} f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to -1} f(x)=0$
$\lim_{x\to -1} f(x)=-2$

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini (1)

Soit $f(x)= \sqrt{x^2+x+1}+x$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\frac{1}{2}$
$f$ n'admet pas de limite en $-\infty$.

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini (3)

Soit $f(x)= (x^5-x^3+1)e^{-x}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$

?Limites des fonctions réelles - fonctions trigonométriques

Soit $f(x)= \sin x \cdot \sin\frac{1}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f$ n'admet pas de limite en $0$.
$\lim_{x\to 0} f(x)=0$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini (4)

Soit $f(x)= e^{-x}\cos(e^{2x})$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
$f$ n'admet pas de limite en $-\infty$.
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $f(x)= \frac{\ln(1+x)}{x}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$\lim_{x\to 0} f(x)=0$
$\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty$
$f$ n'admet pas de limite en $0$.
$\lim_{x\to 0} f(x)=1$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $f(x)= \frac{\sin x}{x}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$f$ n'admet pas de limite en $0$.
$\lim_{x\to 0} f(x)=1$
$\lim_{x\to 0} f(x)=0$
$\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty$

?Nombres complexes - module/argument

Soit $z=\frac{\cos \theta + i \sin \theta}{\cos \phi - i \sin \phi}$, $\theta, \phi \in \mathbf{R}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$|z|=2$
$\arg z = \theta + \phi \, [2\pi]$
$z = \cos (\theta+\phi) + i \sin (\theta + \phi)$
$|z|=1$

?Nombres complexes - module/argument

Soit $E$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $|\frac{z-1}{1+iz}|=\sqrt 2$. Quelles sont les assertions vraies ?

$E$ est une droite.
$E$ est un cercle.
$E=\emptyset$
$E$ est le cercle de rayon $2$ et de centre le point d'affixe $-1+2i$.

?Suites réelles - limite

Soit $n$ un entier naturel et soit $\displaystyle u_n=\frac{\cos n}{2n+1}$ et $\displaystyle v_n=\frac{2n+\cos n}{2n+1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n$ n'existent pas
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=+\infty$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$

?Congruences

Soient $a_1,a_2, b_1, b_2$ et $c_1,c_2$ des entiers.

On suppose que l'on a les congruences $a_1\equiv b_1 \,[c_1]$ et $a_2\equiv b_2 \,[c_2]$.

Que peut-on en déduire ?

$a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \,[c_1+c_2]$.
$a_1\cdot a_2 \equiv b_1\cdot b_2 \, [c_1\cdot c_2]$.
Aucun de ces énoncés.

?Congruences

Soient $a_1,a_2, b_1, b_2$ et $d$ des entiers.

On suppose que l'on a les congruences $a_1\equiv b_1 \,[d]$ et $a_2\equiv b_2 \,[d]$.

Que peut-on en déduire ?

$a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \,[d]$.
$a_1\cdot a_2 \equiv b_1\cdot b_2 \, [d]$.
$a_1^{a_2} \equiv b_1^{b_2} \, [d]$.
Aucun de ces énoncés.

?Dérivée d'une fonction composée

Quel est la fonction dérivée de la fonction suivante :

$\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & \cos(x^{2}+2x+3)\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & \sin(x^{2}+2x+3)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & -\sin(x^{2}+2x+3)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & (2x+2)\sin(x^{2}+2x+3)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & -\sin(2x+2)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \mapsto & -2(x+1)\sin(x^{2}+2x+3)\end{array}$

?Dérivée d'une fonction composée

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On note

$\begin{array}{rrcl}g: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\& x & \mapsto & f(x^{2}+1)\end{array}$

Pour $x \in \mathbb{R}$, que vaut $g'(x)$ ?

$f'(x^{2}+1)$.
$(2x+1)f'(x^{2}+1)$.
$2x f'(x^{2}+1)$.
$2xf'(2x)$.
La fonction $g$ n'est pas dérivable sur $\mathbb{R}$.

?Dérivée d'une fonction composée

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On note

$\begin{array}{rrcl}g: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\& x & \mapsto & \sin(f(x))\end{array}$

Pour $x \in \mathbb{R}$, que vaut $g'(x)$ ?

$f'(x) \cos(f'(x))$.
$f'(x) \cos(f(x))$.
$\cos(f(x))$.
$\cos(f'(x))$.
La fonction $g$ n'est pas dérivable sur $\mathbb{R}$.

?Dérivée d'une fonction composée

Sur quel ensemble la fonction $f$ définie par l'expression

$f(x)= \sqrt{x^{2}-1}$

est-elle dérivable ?

$]-\infty,-1[ \cup ]1,+\infty[$
$]-\infty,-1] \cup [1,+\infty[$
$\mathbb{R}$
$\mathbb{R} \setminus \left\{ -1,1 \right\}$
$[-1,1]$

?Dérivée d'une fonction composée

Soit $f$ la fonction définie par l'expression :

$f(x)= \sqrt{x^{2}-1}$.

On fixe un réel $x$. Que vaut $f'(x)$ dans le cas où cette quantité existe ?

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{2}-1}}$.
$\frac{x}{2 \sqrt{x^{2}-1}}$.
$\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
$\frac{x}{\sqrt{2x}}$.
$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$.

?Équations différentielles

Les solutions de $y'' +2y' +y=0$ sont les fonctions définies par :

$y(x)=Ae^{x}+Be^{-x}$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
$y(x)=(A+Bx )e^{-x}$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
$y(x)=(A\cos x +B\sin x )e^{x}$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.

?Équations différentielles

Les solutions de $y'' -y' -2y=0$ sont les fonctions définies par :

$y(x)=Ae^{-x}+Be^{2x}$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
$y(x)=Ae^{x}+Be^{-2x}$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
$y(x)=(A+Bx )e^{x}$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.

?Équations différentielles

Les solutions de $y'' -y' -2y=0$ qui vérifient les conditions initiales $y(0)=0$ et $y' (0)=0$ sont :

la fonction définie par $y(x)=e^{-x}$.
la fonction identiquement nulle.
il y a une infinité de solutions.

?Équations différentielles

Les solutions de $y'' -y' -2y=0$ qui vérifient les conditions initiales $y(0)=0$ et $y' (0)=3$ sont :

la fonction définie par $y(x)=-e^{-x}+e^{2x}$.
il n'y en n'a pas.
il y en a une infinité.

?Limite d'une fonction

Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $\varphi(x)=\exp\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

Laquelle des proposition suivantes est vraie ?

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\varphi(x)=0$.
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\varphi(x)=1$.

?Limite d'une fonction

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3+x+1}{x+ \sqrt{x}+1}$ vaut :

$1$.
$+\infty$.
$-\infty$.
$0$.
Cette limite n'existe pas.

?Limite d'une fonction

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{e^{x}+x}{e^{x}+1}$ vaut :

$1$.
$0$.
$+\infty$.
$-\infty$.
cette limite n'existe pas.

?Limite d'une fonction

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x+\ln(x)}{-x+\ln(x)}$ vaut :

$1$.
$0$.
$-\infty$.
$-1$.
cette limite n'existe pas.

?Limite d'une fonction

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\ln(x)^2}$ vaut :

$1$.
$0$.
$+\infty$.
$-\infty$.
cette limite n'existe pas.

?Limite d'une fonction

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(\sqrt{\frac{x^2+3x+1}{x^{4}+x^2 +10}})$ vaut :

$1$.
$0$.
$+\infty$.
$-\infty$.
Cette limite n'existe pas.

?Limite d'une fonction

Soit $f: \mathbb R\to \mathbb R$ la fonction définie par $f(x)=\frac{(2e^x)x^2+1}{x^2+3}$.

Que penser de l'affirmation suivante : $\lim_{x\to +\infty} f(x)= 2e^x$.

Vrai.
Faux.

?Limite d'une fonction

Soit $f: \mathbb R\to \mathbb R$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x^4+x+1}{4x^4+5}$.

Que penser de l'affirmation suivante : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)= \frac 1 4$.

Vrai.
Faux.

?Limite d'une fonction

Soit $f:\mathbb R \to \mathbb R$ une fonction ayant pour graphe :

Quelle est la valeur $\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)$ ?

$3$.
$1$.
$4$.
Elle n'existe pas.

?Limite d'une suite

La limite de la suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N^*}$ de terme général $\displaystyle u_n = \frac{\cos n}{n^2}$ est :

$0$.
$-1$.
Elle n'admet pas de limite.
$\pi$.

?Limite d'une suite

Soient $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N}$ et $\displaystyle(v_n)_{n \in \mathbb N}$ deux suites telles que : $\forall n \in\mathbb N, \; 0 \leq v_n,$ et $\forall n \in \mathbb N, \; \lvert u_n\rvert \leq v_n$. On suppose que la suite $\displaystyle (v_n)_{n \in \mathbb N}$ est convergente. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes ?

La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N}$ ne converge pas.
La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N}$ tend vers $+\infty$.
La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N}$ tend vers $-\infty$.
La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N}$ est bornée.

?Suites monotones

Soit la suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N^*}$ de terme général $\displaystyle u_n = 1 - \frac1{n^2}.$ Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont correctes ?

La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N^*}$ est croissante.
La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N^*}$ est majorée par $2$.
La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N^*}$ est convergente car elle est croissante et majorée.
La suite $\displaystyle (u_n)_{n \in \mathbb N^*}$ a pour limite $2$.

?Limite d'une suite

Quelle est la limite de la suite définie, pour tout entier $n\geq 2$, par la terme $\displaystyle \ a_n=\frac{2n^3-\ln n}{n-n^3}$ ?

La limite vaut $-\infty$.
La limite vaut $2$.
La limite vaut $-2$.
La limite vaut $1$.
La limite vaut $0$.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Sans faire de calcul, quel produit scalaire a la valeur la plus élevée ?

$\overrightarrow{U}\cdot \overrightarrow{V_1}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_3}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs représentés ci-dessous.

Sans faire de calcul, mais en raisonnant à partir de vos connaissances sur le produit scalaire, dire quel produit scalaire a la valeur la plus élevée dans la liste suivante.

$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_1}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_3}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs représentés ci-dessous.

Sans faire de calcul, mais en raisonnant à partir de vos connaissances sur le produit scalaire, dire quels produits scalaires ont la même valeur.

$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_1}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_1}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_3}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_4}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_3}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs représentés ci-dessous.

Sans faire de calcul, mais en raisonnant à partir de vos connaissances sur le produit scalaire, dire quels produits scalaires ont la même valeur.

$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_1}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_1}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_3}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_4}$
$\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_2}$ et $\overrightarrow{U}. \overrightarrow{V_3}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs représentés ci-dessous. Ils ont tous la même norme.

Parmi les produits scalaires suivants, lequel(s) est (sont) le(s) plus grand(s) ?

$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_4}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_7}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_5}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_2}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Parmi les produits scalaires suivants, lesquels sont positifs ?

$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_2}$
$\overrightarrow{U_5}.\overrightarrow{U_6}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{U_3}.\overrightarrow{U_4}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_5}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs représentés ci-dessous.

Parmi les produits scalaires suivants, lesquels sont négatifs ?

$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_2}$
$\overrightarrow{U_5}.\overrightarrow{U_6}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{U_3}.\overrightarrow{U_4}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_5}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs forces représentés ci-dessous.

Parmi les produits scalaires suivants, lesquels sont négatifs ?

$\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}$
$\overrightarrow{F_5}.\overrightarrow{F_6}$
$\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_3}$
$\overrightarrow{F_3}.\overrightarrow{F_4}$
$\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_5}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs représentés ci-dessous. Ils n'ont pas tous la même norme.

Parmi les produits scalaires suivants, lequel est le plus grand ?

$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_4}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_7}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_5}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_2}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient les vecteurs représentés ci-dessous. Ils ont tous la même norme.

Parmi les produits scalaires suivants, lequel est le plus petit ?

$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_2}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_5}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_6}$
$\overrightarrow{U_1}.\overrightarrow{U_3}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit une masse positionnée en $A$ qui subit une force $\overrightarrow{F}$ et qui se déplace de $A$ vers $B$.

Le travail d'une force $\overrightarrow{F}$ sur un chemin ($AB$) est donné par la formule $W = \overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}$.

Plusieurs déplacements sont possibles (vers le point $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ ou $B_7$) (cf schéma).

Pour quel(s) déplacement(s) le travail de la force$ \overrightarrow{F}$ sera-t-il le plus important ?

$\overrightarrow{AB_1}$
$\overrightarrow{AB_2}$
$\overrightarrow{AB_3}$
$\overrightarrow{AB_4}$
$\overrightarrow{AB_5}$
$\overrightarrow{AB_6}$
$ \overrightarrow{AB_7}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Un hélicoptère peut se déplacer horizontalement ou verticalement dans un plan vertical. On note $\overrightarrow{H}$ son déplacement vertical orienté vers le haut, $\overrightarrow{B}$ son déplacement vertical orienté vers le bas, $\overrightarrow{D}$ son déplacement horizontal orienté à droite et $\overrightarrow{G}$ son déplacement horizontal orienté à gauche.

La gravitation exerce une force $\overrightarrow{P}$ verticale orientée vers le bas.

Le travail d'une force $\overrightarrow{P}$ sur un trajet $\overrightarrow{T}$ est donnée par le produit scalaire $\overrightarrow{P}.\overrightarrow{T}$.

Dans quel(s) cas le travail de la force de gravité est-il nul ?

Dans le cas d'un déplacement vers le haut $\overrightarrow{H}$.
Dans le cas d'un déplacement vers la droite $\overrightarrow{D}$.
Dans le cas d'un déplacement vers la gauche $\overrightarrow{G}$.
Dans le cas d'un déplacement vers le bas$ \overrightarrow{B}$.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient trois vecteurs : $\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$.

Quel schéma correspond à la construction permettant d'obtenir $\overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} + \overrightarrow{V}$ ?

Shéma A
Schéma B
Schéma C
Schéma D

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient trois vecteurs : $\overrightarrow{U}$, $\overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$.

Quel schéma correspond à la construction permettant d'obtenir $\overrightarrow{W} = \overrightarrow{V} - \overrightarrow{U}$ ?

Schéma A
Schéma B
Schéma C
Schéma D
Schéma E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ non nuls et a un nombre réel non nul.

Dans quelle situation on ne peut pas trouver $a$ tel que $\overrightarrow{U}+a.\overrightarrow{V}=\vec 0$ ?

Situation A
Situation B
Situation C
Situation D
Situation E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelles sont la(es) condition(s) pour que la somme de deux vecteurs non nuls et de même norme fasse le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

Les vecteurs doivent être de sens opposé.
Les vecteurs doivent être de même sens.
Les vecteurs ne doivent pas être colinéaires.
Les vecteurs doivent être colinéaires.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelles sont les affirmations correctes parmi les phrases ci-dessous ?

$\overrightarrow{U_1} + \overrightarrow{U_3}$ a une coordonnée positive suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée négative suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_2}$ a une coordonnée nulle suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_2} - \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée négative suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_2} - \overrightarrow{U_1}$ a une coordonnée positive suivant l'axe des abscisses.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelles sont les affirmations correctes parmi les phrases ci-dessous ?

$\overrightarrow{U_1} + \overrightarrow{U_3}$ a une coordonnée négative suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée positive suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_3} - \overrightarrow{U_2}$ a une coordonnée nulle suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_2} - \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée positive suivant l'axe des abscisses.
$\overrightarrow{U_2} - \overrightarrow{U_1}$ a une coordonnée négative suivant l'axe des abscisses.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelles sont les affirmations correctes parmi les phrases ci-dessous ?

$\overrightarrow{U_1} + \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée positive suivant l'axe des ordonnées.
$\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_1}$ a une coordonnée nulle suivant l'axe des ordonnées.
$\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée négative suivant l'axe des ordonnées.
$\overrightarrow{U_4} - \overrightarrow{U_1}$ a une coordonnée positive suivant l'axe des ordonnées.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelles sont les affirmations correctes parmi les phrases ci-dessous ?

$\overrightarrow{U_1} + \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée négative suivant l'axe des ordonnées.
$\overrightarrow{U_3} - \overrightarrow{U_1}$ a une coordonnée nulle suivant l'axe des ordonnées.
$\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_4}$ a une coordonnée positive suivant l'axe des ordonnées.
$\overrightarrow{U_4} - \overrightarrow{U_1}$ a une coordonnée négative suivant l'axe des ordonnées.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient trois vecteurs : $\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$.

Quelle construction correspond à la construction de $\overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}$ ?

Schéma A
Schéma B
Schéma C
Schéma D
Schéma E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Trois forces agissent en un point P comme représenté sur la figure. Ces trois forces sont dans un même plan.

Que peut on dire de la norme du vecteur force $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}+\overrightarrow{T_3}$ ?

Elle est égale à la somme des normes des vecteurs $\overrightarrow{T_1}$, $\overrightarrow{T_2}$, et $\overrightarrow{T_3}$.
Elle est égale à la somme des carrés des normes des vecteurs $\overrightarrow{T_1}$, $\overrightarrow{T_2}$, et $\overrightarrow{T_3}$.
Elle est nulle.
Elle est non nulle.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit $\overrightarrow{S}$= $\overrightarrow{A} +\overrightarrow{B} +\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}+ \overrightarrow{E}+\overrightarrow{F}$.

Quelle construction permet d'obtenir le vecteur $\overrightarrow{S}$ ?

Schéma A
Schéma B
Schéma C
Schéma D

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Un ballon est lancé par un enfant, vers le haut.

Qu'elles sont les affirmations exactes sur le vecteur vitesse du ballon ?

Le vecteur vitesse a pour direction la verticale
Le vecteur vitesse a pour sens la verticale
Le vecteur vitesse a pour sens : vers le haut
Le vecteur vitesse a pour direction : vers le haut

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée

On suit l'évolution de la norme du vecteur vitesse d'un parachutiste qui saute d'un avion et descend vers le sol sur le graphe ci dessous:

Quelles sont les phrases exactes concernant le sens du vecteur vitesse ?

Le vecteur vitesse est vers le haut en phase A, vers le bas en phase C
Le vecteur vitesse est vers la droite pour toutes les phases
Le vecteur vitesse est vers le bas pour toute les phases

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée

Un ballon de foot lors d'un tir est soumis à son poids. Le poids est représenté par un vecteur vertical descendant de norme constante (4 N ). Voici quelques graphes liés à ce problème.

Quelles sont les propositions exactes ?

Sur la chronophotographie A du mouvement, on a tracé le vecteur $\vec P $
Sur la chronophotographie B du mouvement, on a tracé le vecteur $\vec P $
L'évolution de la norme du poids peut être représentée par le graphe C:
L'évolution de la norme du poids peut être représentée par le graphe D.
L'évolution de la norme du poids peut être représentée par le graphe E.

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée

La 3e loi de Newton indique que si deux objets A et B sont en interaction gravitationnelle, les vecteurs $\vec{F}_{A/B}$ force que l'objet A exerce sur l'objet B et $\vec{F}_{B/A}$ force que l'objet B exerce sur l'objet A vérifient la relation

$\vec{F}_{A/B}=-\vec{F}_{B/A}$

Quelles sont les propositions qui sont compatibles avec la 3e loi de Newton ?

Les forces $ \vec{F}_{A/B}$ et $ \vec{F}_{B/A}$ sont égales
Les forces $ \vec{F}_{A/B}$ et $ \vec{F}_{B/A}$ ont même norme.
Les forces $ \vec{F}_{A/B}$ et $ \vec{F}_{B/A}$ ont mêmes sens.
Les forces $ \vec{F}_{A/B}$ et $ \vec{F}_{B/A}$ ont mêmes directions.
Les forces $ \vec{F}_{A/B}$ et $ \vec{F}_{B/A}$ sont représentés par des flèches de mêmes longueurs.

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée.

Le champ de gravité sur la Terre $\vec{g}$ permet de faire le lien entre le poids $\vec{P}$ d'un objet sur Terre et sa masse m selon la relation :$ \vec{P} = m \vec{g}$

Quel est le tableau qui représente les relations exactes entre les différentes caractéristiques des vecteurs $\vec{g}$ et $\vec{P}$ ?

$\vec{g}$
et $\vec{P}$
de même sens
de même direction
de normes différentes
$\vec{g}$
et $\vec{P}$
de même sens
de même direction
de même norme
$\vec{g}$
et $\vec{P}$
de sens différents
de même direction
de normes différentes
$\vec{g}$
et $\vec{P}$
de sens différents
de direction différentes
de normes différentes

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

La force électrostatique $ \vec{F}$ qui s'exerce sur une particule de charge positive q placée dans un champ $ \vec{E}$ vérifie la relation :$ \vec{E} ={ \vec{F}\over q}$

Quelle est l'affirmation exacte sur $\vec{F}$ et $ \vec{E}$ ?

$ \vec{E}$ et $ \vec{F}$ sont de sens identique, de direction identique mais de norme différente.
$ \vec{E}$ et $ \vec{F}$ sont de sens identique, de direction identique et de norme identique.
$ \vec{E}$ et $ \vec{F}$ sont de sens différent, de direction identique et de norme différente.
$ \vec{E}$ et $ \vec{F}$ sont de sens différent, de direction différente et de norme différente.

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

La force électrostatique $ \vec{F}$ qui s'exerce sur une particule de charge q placée dans un champs $ \vec{E}$ vérifie la relation :$ \vec{F} = q \vec{E}$

Le champ électrostatique $\vec{E}$ est constant.

La particule étudiée est

soit un proton de charge positive $q= 1,6,10^ {-19} C$
soit un électron de charge négative $q= -1,6.10^{-19} C$

Quelles sont les caractéristiques de la force $\vec{F}$ qui sont identiques que la particule soit un proton ou un électron ?

la norme de$ \vec{F}$ est la même que la particule soit un proton ou un électron
la direction de $ \vec{F}$ est la même que la particule soit un proton ou un électron
le sens de$ \vec{F}$ est le même que la particule soit un proton ou un électron

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée.

Le poids $ \vec{P}$ qui s'exerce sur une particule de masse m placée dans un champ $\vec{g}$ vérifie la relation :$ \vec{P} = m \vec{g}$

Le champ gravitationnel $\vec{g}$ est constant.

La particule étudiée est

soit un proton de masse $m= 1,6,10^ {-27} kg$
soit un électron de masse $m= 9,1.10^{-31} kg$

Quelles sont les caractéristiques du poids $\vec{P}$ qui sont identiques que la particule soit un proton ou un électron ?

la norme de$ \vec{P}$ est la même que la particule soit un proton ou un électron
la direction de $ \vec{P}$ est la même que la particule soit un proton ou un électron
le sens de $ \vec{P}$ est le même que la particule soit un proton ou un électron

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Le poids $ \vec{P}$ d'un objet de masse m dans dans un repère orthonormé$ (O ;\vec {i} ; \vec{ j} ; \vec {k})$ est donné par la relation $ \vec{P} = m \cdot g \cdot\vec{k}$

Quelles sont les valeurs nécessaires au calcul de la norme du poids ?

les valeurs de $m$, $g$ et $k$
les valeurs de $m$, $g$ et $\vec k$
les valeurs de $m$, $g$

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Une planète A dont le centre de gravité est au point $O_A$ exerce une force d'attraction gravitationnelle sur une planète B dont le centre de gravité est au point $O_B$ . cette force est représentée sur le schéma ci dessous :

Quelles sont les formes d'écriture que l'on peut utiliser pour noter ce vecteur force ?

$\vec F_{A/B}$
$\vec F_{AsurB}$
$\vec F_{B/A}$
$\overrightarrow {AB}$
$\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{O_BO_A}$
$\overrightarrow {O_AO_B}$

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée

L'objet ponctuel A exerce une force attractive sur l'objet ponctuel B. Cette force est notée $ \vec F_{A/B}.$

Le vecteur $ \overrightarrow {AB}$ est noté en utilisant le bipoint $(A , B)$

Que peut on dire de ces 2 grandeurs vectorielles ?

Vecteurs
$\vec F_{A/B}$
$\overrightarrow {AB}$
Sens
de B vers A
de A vers B
Vecteurs
$\vec F_{A/B}$
$\overrightarrow {AB}$
Sens
de A vers B
de A vers B
Vecteurs
$\vec F_{A/B}$
$\overrightarrow {AB}$
Sens
de B vers A
de B vers A
Vecteurs
$\vec F_{A/B}$
$\overrightarrow {AB}$
Sens
de A vers B
de B vers A

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Un ressort exerce une tension $\vec T$ de 0,5 N sur un objet.

Quelles sont les écritures mathématiques cohérentes avec l'énoncé ?

$\vec {T } = 0,5 N$
$\| \vec {T } ||= 0,5 N$
T = 0,5 N
T = 0,5

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée

On suit l'évolution de la norme du vecteur vitesse d'un parachutiste qui saute d'un avion et descend vers le sol sur le graphe ci dessous:

Quelles sont les phrases exactes concernant la coordonnée $V_z$ du vecteur vitesse selon l'axe $Oz$ (axe vertical dirigé vers le haut)?

$V_z$ est positif en phase A, et négatif en phase C
$V_z$ est nul pour toutes les phases
$V_z$ est négatif dans toutes les phases

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_z}\right)$. on définit les vecteurs $\overrightarrow{P}$, $\overrightarrow{R}$, $\overrightarrow{N}$ et $\overrightarrow{OX}$ définis par leurs composantes :

$\overrightarrow{P}=\begin{pmatrix} 0\\-mg\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{N}=\begin{pmatrix} 0\\+mg\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{R}=\begin{pmatrix} -kx\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix} x\\0\end{pmatrix}$

Sans faire de calcul, quels sont les produits scalaires non nuls ?

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{R}$
$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{N}$
$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{OX}$
$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{P}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On peut modéliser les actions agissant sur un avion qui se pose sur le pont d'un porte-avion par 3 forces :

Son poids $\overrightarrow{P}$
La réaction normale de la piste $\overrightarrow{N}$
La force exercée par le filin sur la crosse d’appontage : $\overrightarrow{R}$

La position de l'avion au cours du temps est repérée par sa position $\overrightarrow{OX(t)}$

Dans la base orthonormée $\left( \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_z}\right)$., l'expression de ces vecteurs est :

Quels sont les produits scalaires non nuls ?

$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{R}$
$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{N}$
$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{OX(t)}$
$\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{P}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelles sont les situations dans lesquelles les vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ sont colinéaires ?

Situation A
Situation B
Situation C
Situation D
Situation E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quels sont les vecteurs horizontaux ?

$\overrightarrow{P}$
$\overrightarrow{R}$
$\overrightarrow{OX}$
$\overrightarrow{N}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quels sont les vecteurs verticaux ?

$\overrightarrow{P}$
$\overrightarrow{R}$
$\overrightarrow{OX}$
$\overrightarrow{N}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quels sont les vecteurs colinéaires?

$\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{R}$
$\overrightarrow{R}$ et $\overrightarrow{OX}$
$\overrightarrow{OX}$ et $\overrightarrow{N}$
$\overrightarrow{N}$ et $\overrightarrow{P}$

Questions de compréhension et d'application

?Question

On considère la série statistique à 13 éléments suivante :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline0.1&0.5&7.1&5.1&0.4&6.4&4.9&5.0&1.4&0.2&0.7&6.2&7.1\\\hline\end{array}$

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à son histogramme (en fréquence) ?

Histogrammes

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

On considère la série statistique à 13 éléments suivante :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline6.7&5.2&0.5&5.4&0.5&6.9&7.1&3.0&1.1&0.1&6.2&0.2&4.9\\\hline\end{array}$

Lequel des graphiques suivant peut correspondre à son diagramme en boîte ?

Diagrammes en boîte

Dessin de gauche
Dessin du milieu
Dessin de droite

?Question

À la dernière épreuve de géographie, un groupe de neuf élèves a obtenu 10 de moyenne avec une variance égale à 10. Les rejoint le meilleur élève de la classe qui a obtenu 20. Calculer à une décimale près la variance des notes de ce groupe de dix élèves.

14,1
16,6
18,0

?Question

On considère deux séries statistiques, l'une de 10 éléments, l'autre de 15, ayant le même écart-type égal à 5. On réunit les deux séries en une seule de 25 éléments. A-t-elle encore un écart-type égal à 5 ?

?Question

La publicité pour une lotion capillaire anti-chute annonce 80% de résultats positifs. Après un essai sur un échantillon aléatoire et simple de 100 personnes, 74 ont observé un effet positif. Si l'on suppose l'échantillon aléatoire représentatif, à quel(s) seuil(s) peut-on considérer la publicité comme mensongère ?

Pour le déterminer, on ne considérera que des intervalles de fluctuation symétriques et on pourra s'aider du tableau des fréquences cumulées de la loi normale centrée réduite :

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&0.84&1.28&1.64&1.96\\ \hline\mathbb P(X\leq x)&0.80&0.90&0.95&0.975\\\hline\end{array}$

avec $\textstyle{X\sim\mathcal N(0,1)}$

80%
90%
95%
97.5%

?Question

A l'université, les souris blanches représentent 10% de la population totale de souris. Les étudiants en attrapent 10, toutes grises. Au seuil de 90%, peut-on estimer que ces 10 souris forment un échantillon aléatoire représentatif des souris de l'université ?

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline\mathbb{P}(X=x)&0.349& 0.387& 0.194& 0.057& 0.011& 0.001& 0.000& 0.000& 0.000& 0.000& 0.000\\\hline\end{array}$

avec $\textstyle{X\sim\mathcal{B}(10,0.1)}$

Oui
Non
La question n'a pas de réponse.

?Question

Les personnes de groupe sanguin A+ constituent 38% de la population française. Donner un intervalle de fluctuation au seuil 90% pour le nombre de personnes de ce groupe sanguin parmi 10 français choisis au hasard, en s'aidant de la table de la loi binomiale de paramètres $\textstyle{n=10}$ et $\textstyle{p=0.38}$

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline\mathbb{P}(X=x)&0.008&0.051&0.142&0.232&0.249&0.183&0.093&0.033&0.008&0.001&0.000\\\hline\end{array}$

avec $\textstyle{X\sim\mathcal{B}(10,0.38)}$

$\textstyle{[1 ;6]}$
$\textstyle{[1 ;7]}$
$\textstyle{[1 ;8]}$
$\textstyle{[2 ;6]}$
$\textstyle{[2 ;7]}$
$\textstyle{[2 ;8]}$

?Question

Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique $\textstyle{I}$

au seuil 80% pour la fréquence d'un caractère dans un échantillon de taille 100, tiré au hasard dans une population où 50% des individus présentent ce caractère.

On choisira l'intervalle le plus pertinent et on arrondira à deux décimales. On pourra s'aider du tableau des fréquences cumulées de la loi normale centrée réduite :

$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x&0.52&0.84&1.28&1.64&1.96\\ \hline\mathbb P(X\leq x)&0.70&0.80&0.90&0.95&0.975\\\hline\end{array}$

avec $\textstyle{X\sim\mathcal N(0,1)}$

$\textstyle{[0.49,0.51]}$
$\textstyle{[0.4,0.6]}$
$\textstyle{[0.42,0.58]}$
$\textstyle{[0.44,0.56]}$

?Question

Soit $\textstyle{X}$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous :

$\textstyle{x=}$	1	2	3	4
$\textstyle{\mathbb P(X=x)}$	$\textstyle{\frac16}$	$\textstyle{\frac12}$	$\textstyle{\frac3{10}}$	$\textstyle{\frac1{30}}$

$\textstyle{\mathbb E[X]=2,5}$ et $\textstyle{\sigma(X)=\dfrac{\sqrt3}{2}}$
$\textstyle{\mathbb E[X]=2,2}$ et on ne peut pas trouver $\textstyle{\sigma(X)}$
$\textstyle{\mathbb E[X]=2,2}$ et $\textstyle{\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{14}}{5}}$

?Question

On tire $\textstyle{2}$ cartes dans un paquet de $\textstyle{52}$ cartes. La négation de l'événement « on a tiré au moins un as rouge parmi les $\textstyle{2}$ »

« on n'a pas tiré d'as »
« les deux cartes tirées sont des as noirs »
« les deux cartes tirées sont noires »
« on n'a pas tiré d'as, ou les as tirés sont noirs »

?Question

On tire $\textstyle{2}$ cartes dans un paquet de $\textstyle{52}$

« on a tiré exactement un as noir »
« les deux cartes tirées sont des as noirs »
« les deux cartes tirées sont noires »
« on n'a pas tiré d'as, ou les as tirés sont noirs »
"on a tiré 2 as rouges, ou aucun as rouge"

?Question

On tire une carte parmi $\textstyle{52}$

« on a tiré une figure, qui n'est pas de cœur »
« on a tiré une carte qui n'est pas une figure, ou une figure qui n'est pas un cœur »
« on a tiré une carte noire »
« on a tiré une figure noire »

?Question

En étudiant une population, on a remarqué que $\textstyle{40\%}$ des individus font de la natation, $\textstyle{25\%}$ font du badminton et $\textstyle{12\%}$ et $\textstyle{12\%}$ pratiquent les deux sports.

La probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population fasse de la natation ou du badminton est de $\textstyle{0,53}$
La probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population ne fasse pas de la natation est de $\textstyle{0,75}$
La probabilité qu'un individu choisi au hasard dans cette population ne fasse ni de la natation ni du badminton est de $\textstyle{0,47}$

?Question

On lance un dé non équilibré. On obtient le tableau suivant incomplet :

n° face	1	2	3	4	5	6
probabilité	0,1	0,1		0,4	0,15

Sachant que l'apparition du 6 est 4 fois plus probable que celle du 3 , la probabilité d'apparition du 3 est :

On ne peut pas savoir
0,2
0,05

?Question

Une urne contient $\textstyle{15}$ boules numérotées de $\textstyle{1}$ à $\textstyle{15}$ . On extrait au hasard une boule de l'urne. La probabilité de l'événement $\textstyle{E}$ : « le numéro de la boule est un multiple de $\textstyle{3}$ ou est supérieur ou égal à $\textstyle{10}$ vaut :

$\textstyle{\dfrac{11}{15}}$
$\textstyle{\dfrac35}$
$\textstyle{\dfrac2{15}}$

?Question

Une loterie permet de gagner $\textstyle{5}$ euros , $\textstyle{7}$ euros , $\textstyle{10}$ euros ou $\textstyle{15}$ euros.

gain	5	7	10	15
probabilité	$\textstyle{\frac35}$	$\textstyle{\frac14}$

La probabilité de gagner au moins $\textstyle{10}$ euros est :

On ne peut pas savoir
$\textstyle{\dfrac{17}{20}}$
$\textstyle{\dfrac3{20}}$

?Question

On lance successivement $\textstyle{2}$ dés équilibrés et l'on note la somme obtenue. La probabilité d'obtenir la somme $\textstyle{6}$ est :

égale à celle d'obtenir $\textstyle{8}$
supérieure à celle d'obtenir $\textstyle{7}$
$\textstyle{\dfrac7{36}}$

?Question

On dispose d'un cube en bois de $\textstyle{3}$ cm d'arête, peint en bleu. On le découpe parallèlement aux faces, en $\textstyle{27}$ cubes de $\textstyle{1}$ cm d'arête. On place ces $\textstyle{27}$ cubes dans un sac.

On tire au hasard un cube du sac. La probabilité qu'au moins une de ses faces soit bleue est $\textstyle{\dfrac6{27}}$
On tire au hasard et sans remise deux cubes du sac. La probabilité d'avoir au total $\textstyle{6}$ faces peintes est $\textstyle{\dfrac{28}{351}}$

?Question

On lance cinq fois de suite un dé équilibré. La probabilité d'obtenir deux fois exactement un nombre pair est $\textstyle{\dfrac5{16}}$

VRAI
FAUX

?Question

Une cible circulaire est composée de trois zones numérotées $\textstyle{1}$ , $\textstyle{2}$ , et $\textstyle{3}$ . La probabilité d'atteindre l'une des zones est proportionnelle au numéro de la zone. On admet que les résultats de plusieurs tirs successifs sont indépendants. La probabilité d'atteindre au moins trois fois la zone numéro $\textstyle{2}$ au cours de cinq tirs successifs est $\textstyle{\dfrac{40}{243}}$

VRAI
FAUX

?Question

Un professeur veut montrer à ses $\textstyle{35}$ élèves ( $\textstyle{20}$ filles et $\textstyle{15}$ garçons) le fonctionnement de la commande « random » de son logiciel de statistique. Il attribue à chaque élève un nombre entier compris entre $\textstyle{1}$ et $\textstyle{35}$ . Il interroge durant $\textstyle{20}$ séances un élève de la classe dont le numéro est déterminé aléatoirement et uniformément à chaque séance par le logiciel. L'espérance du nombre de filles interrogées est inférieure à $\textstyle{12}$

VRAI
FAUX

?Question

Un revendeur de matériel informatique veut se fournir en clés usb chez un grossiste, où une clé usb sur $\textstyle{25}$ est défectueuse. Il prélève au hasard, pour les examiner, successivement et avec remise, $\textstyle{10}$ clés usb chez le grossiste. La probabilité que le revendeur trouve au plus une clé usb défectueuse parmi les $\textstyle{10}$ prélevées est $\textstyle{\dfrac1{25}}$

VRAI
FAUX

?Question

$\textstyle{6}$ étudiants sur $\textstyle{10}$ d'une école d'ingénieurs sortent diplômés. On choisit au hasard $\textstyle{7}$ étudiants sortants. Le nombre d'étudiants de cette école est assez important pour pouvoir considérer le choix des étudiants comme des tirages successifs avec remise. La probabilité qu'au moins $\textstyle{3}$ étudiants parmi les $\textstyle{7}$ soient diplômés est supérieure à $\textstyle{0,9}$

VRAI
FAUX

?Question

On place au hasard $\textstyle{10}$ cahiers dans $\textstyle{8}$ tiroirs (tous les cahiers peuvent être dans le même tiroir). La probabilité qu'il y ait exactement $\textstyle{5}$ cahiers dans le premier tiroir est est 0,004 à $10^{-3}$ près

VRAI
FAUX

?Question

Un jeu de fête foraine consiste à lancer des balles dans $\textstyle{2}$ cibles, l'une rouge, la seconde jaune. La probabilité d'atteindre la cible rouge est égale à $\textstyle{\frac{1}{20}}$ , et celle d'atteindre la jaune est $\textstyle{\frac{1}{10}}$ . La probabilité d'atteindre la cible jaune au moins $\textstyle{2}$ fois au cours de 7 lancers est :

$\textstyle{\left(\frac{9}{10}\right)^6 \frac{8}{5}}$
$\textstyle{1-\left(\frac{9}{10}\right)^6 \frac{8}{5}}$
$\textstyle{\left(\frac{8}{5}\right)^6 \frac{9}{10}}$
$\textstyle{1- \left(\frac{8}{5}\right)^6 \frac{9}{10}}$

?Question

Une usine fabrique des disques durs. Chaque disque dur fabriqué a une probabilité $\textstyle{p=\frac{1}{1000}}$ d'être défectueux. On doit inspecter en moyenne $\textstyle{10^5}$ disques pour obtenir en moyenne 10 défectueux.

Vrai
Faux

?Question

Soit un univers muni d'une probabilité $\textstyle{\mathbb P}$ , $\textstyle{A}$ et $\textstyle{B}$ deux événements tels que : $\textstyle{\mathbb P(A)=0,6}$ , $\textstyle{\mathbb P_A(B)=0,8}$ et $\textstyle{\mathbb P_{\overline A}(B)=0,1}$

$\textstyle{\mathbb P_A(\overline B)=0,2}$
$\textstyle{\mathbb P(B)=0,52}$
$\textstyle{\mathbb P_{\overline B}(A)=0,2}$

?Question

On tire successivement et sans remise deux cartes parmi $\textstyle{52}$

Vrai
Faux, la première est plus grande que la deuxième.
Faux, la première est plus petite que la deuxième.

?Question

On tire successivement et sans remise deux cartes parmi $\textstyle{52}$ . La probabilité de tirer deux noires sachant qu'on a tiré au moins une noire est plus grande que $\textstyle{\frac{1}{2}}$

Vrai
Faux

?Question

Un voyageur arrive à un carrefour. Il sait qu'à cet endroit il va trouver deux routes : un cul de sac et la bonne route. Il y a trois frères à ce carrefour : $\textstyle{F_1}$ , $\textstyle{F_2}$ et $\textstyle{F_3}$ . $\textstyle{F_1}$ dit la vérité une fois sur dix. $\textstyle{F_2}$ dit la vérité trois fois sur dix. $\textstyle{F_3}$ dit la vérité neuf fois sur dix. Il n'y a personne d'autre à ce carrefour. Le voyageur s'adresse uniformément au hasard à un et un seul des trois frères. Il lui demande son chemin, et s'aperçoit par la suite que ce chemin est le bon. Quelle est la probabilité qu'il se soit adressé à $\textstyle{F_1}$

$\textstyle{1/10}$
$\textstyle{1/2}$
$\textstyle{1/3}$
$\textstyle{1/13}$

?Question

On jette successivement deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu'on obtienne au moins un $\textstyle{6}$

$\textstyle{1/2}$
$\textstyle{1/4}$
$\textstyle{1/3}$
$\textstyle{1/6}$

?Question

Une épreuve du jeu de Fort Boyard consiste à tenter d'ouvrir la serrure d'un coffre à l'aide de clés qui se ressemblent toutes. Parmi les $\textstyle{10}$ clés disponibles, une seule ouvre le coffre. Un candidat (un peu stupide) tente d'ouvrir le coffre en choisissant l'une des $\textstyle{10}$ clés au hasard et uniformément à chaque essai. La probabilité d'ouvrir le coffre au bout de $\textstyle{3}$ au plus est de

$\textstyle{1-\left(\frac{9}{10}\right)^3}$
$\textstyle{\left(\frac{1}{10}\right)^3}$
$\textstyle{\frac{3}{10}}$
$\textstyle{\left(\frac{3}{10}\right)^3}$

?Question

Une épreuve du jeu de Fort Boyard consiste à tenter d'ouvrir la serrure d'un coffre à l'aide de clés qui se ressemblent toutes. Parmi les $\textstyle{10}$ clés disponibles, une seule ouvre le coffre. Un candidat tente d'ouvrir le coffre en mettant de côté au fur et à mesure les mauvaises clés et en choisissant au hasard et uniformément une clé parmi les clés restantes à chaque essai. La probabilité d'ouvrir le coffre au bout de $\textstyle{3}$ au plus est de

$\textstyle{1-\left(\frac{9}{10}\right)^3}$
$\textstyle{\left(\frac{1}{10}\right)^3}$
$\textstyle{\frac{3}{10}}$
$\textstyle{\left(\frac{3}{10}\right)^3}$

?Question

Aux dés, il est avantageux de parier sur l'apparition d'au moins un $\textstyle{6}$ au cours de $\textstyle{4}$ lancers.

Vrai
Faux

?Question

Aux dés, il est avantageux de parier sur l'apparition d'au moins un double $\textstyle{6}$ en lançant $\textstyle{24}$ fois.

Vrai
Faux

?Question

Trois pêcheurs à la ligne attendent que le poisson morde le long d'une rivière. Les probabilités d'attraper un poisson pour chaque pêcheur sont respectivement de $\textstyle{0,3}$ , $\textstyle{0,8}$ et $\textstyle{0,9}$ Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un poisson d'attrapé ?

$\textstyle{0,986}$
$\textstyle{0,014}$
$\textstyle{0.216}$
$\textstyle{0,784}$

?Question

Soit $\textstyle{X}$ une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $\textstyle{\lambda}$ . La probabilité que $\textstyle{X}$ se situe entre $\textstyle{-1}$ et $\textstyle{5}$

$\textstyle{e^{\lambda}- e^{-5\lambda}}$
$\textstyle{1- e^{-5\lambda}}$
$\textstyle{e^{-5\lambda}- e^{\lambda}}$
$\textstyle{1- e^{\lambda}}$

?Question

Alice joue au tiercé une fois par semaine. Ayant une bonne connaissance du milieu hippique, elle estime qu'elle a à chaque fois une probabilité $\textstyle{p=0.1}$ de gagner. Si Alice gagne, elle empoche $\textstyle{100}$ euros ; dans le cas contraire, elle perd $\textstyle{10}$

Le gain moyen chaque semaine est négatif.
Alice parie sur le fait d'être bénéficiaire au bout de $\textstyle{6}$ tirages.
Alice peut espérer $\textstyle{2}$ succès en $\textstyle{20}$

?Question

Une urne contient $\textstyle{7}$ boules blanches et $\textstyle{10}$ boules noires. On effectue $\textstyle{n}$ tirages

Le nombre moyen de boules blanches tirées est $\textstyle{\frac{7n}{10}}$
La variance du nombre de boules noires tirées est $\textstyle{n \frac{10}{17}\frac{7}{17}}$
La variance du nombre de boules noires est différente de la variance du nombre de boules blanches.

?Question

On lance $\textstyle{10}$ pièces de monnaie de façon indépendante telle que la probabilité de tomber sur pile soit $\textstyle{0,1}$

$\textstyle{0,9}$
$\textstyle{\sqrt{0,9}}$
$\textstyle{0,81}$

?Question

Soit $\textstyle{X}$ suivant une loi binomiale de paramètres $\textstyle{n}$ et $\textstyle{p}$ et $\textstyle{Y}$ suivant une loi binomiale de paramètres $\textstyle{m}$ et $\textstyle{p}$ , indépendante de $\textstyle{X}$ . Alors $\textstyle{X+Y}$ suit une loi binomiale de paramètres :

$\textstyle{n+m}$ et $\textstyle{2p}$
$\textstyle{n+m}$ et $\textstyle{p}$
$\textstyle{np}$ et $\textstyle{mp}$

?Question

Soit $\textstyle{X}$ une variable normale centrée réduite. Alors $\textstyle{Y=2X+1}$ suit une loi normale de moyenne $\textstyle{2}$ et de variance $\textstyle{1}$

Vrai
Faux

?Question

L'intégrale $\displaystyle{\int_0^1 e^{2t} dt}$ est égale à

$-1$
$2(\sqrt{e}-1)$
$e-\frac{1}{2}$
$\frac{e^2-1}{2}$

?Question

On considère un groupe de 10 personnes, constitué de 4 hommes et 6 femmes. Quel est le nombre d'équipes de deux personnes comprenant un homme et une femme que l'on peut former?

?Question

On lance deux dés non pipés. Quelle est la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 2 ?

$1/36$
$1/12$
$1/3$
$1$

?Question

Chaque centrale nucléaire a une probabilité de 1/10 d'avoir un accident grave au cours du siècle à venir. Un pays est équipé de 50 centrales. On suppose que les épreuves sont indépendantes (un accident dans une centrale n’entraîne pas un accident dans une autre). La probabilité qu'il y ait au moins un accident grave pendant le siècle prochain est égale à

$5$
$1$
$0.1^{50}$
$1-0.9^{50}$

?Question

Soit f la fonction définie par $f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2}$ pour tout x réel strictement positif. La fonction $f$ vérifie

$ \lim\limits_{x \to 0+}f(x)=0$
$ \lim\limits_{x \to 0+}f(x)=+\infty$
$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0$
$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

?Question

Soit $f$ la fonction définie par $ f(t)={\ln(t)-4\over (\ln(t))^2+9}$ pour tout t réel strictement positif.

La fonction $f$ vérifie

$ \lim\limits_{t\to0^+} f(t) =0$
$ \lim\limits_{t\to0^+} f(t) =+\infty$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} f(t) =+\infty$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} f(t) =0$

?Question

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln\!\left( {x\over x^2+1}\right)$ pour tout $x$ réel strictement positif. La courbe représentative de la fonction $f$ a l'allure

?Question

Si f est une fonction dérivable sur $ [0,1]$ telle que$ f(0)=0$,$ f(1)=1$ et $f'\left(\frac12\right)=0$ alors nécessairement

la fonction f est croissante
la fonction f admet un extremum sur l'intervalle $[0,1] $
la fonction f n'est pas monotone
la fonction f admet un extremum au point d'abscisse 1

?Question

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)= \frac{x-1}{x^2+3}$ pour tout réel $x$. La fonction $f$ vérifie

$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$
$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$
$ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=0$
$ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=+\infty$

?Question

La courbe représentative de la fonction $f:x \mapsto \frac{x-1}{x^2+3}$ a l'allure

?Question

Si $f$ est une fonction continue sur $\mathbb R$ telle que $f(0)=f(2)=f(4)=1$ et $f(1)=f(3)=-1$, alors l'équation $f(x)=0$

n'a aucune solution réelle positive
admet au plus 2 solutions réelles positives
admet au moins 4 solutions réelles positives
admet au plus 4 solutions réelles positives

?Question

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a \in\ I$. La fonction $F:I \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $F(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t$

est l'unique primitive de f qui s'annule
est une primitive de f
est dérivable et sa dérivée est $f(x)-f(a)$
vérifie $F(a)=0$

?Question

Soient les fonction $f :x\mapsto\cos(x^2+2)$. La dérivée de $f$ est

$-\sin(x^2+2)$
$-2x\sin(x^2+2)$
$2x\sin(x^2+2)$
$-\sin(2x+2)$

?Question

On donne $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $ f(x)=x+1-\frac{\ln x}{x} $ . Sa courbe représentative admet

une asymptote verticale
une asymptote horizontale
une asymptote horizontale et une asymptote verticale

?Question

Le nombre complexe $z=(1-2i)^3+(1+2i)^3$ est :

réel
imaginaire pur
ni réel, ni imaginaire pur

?Question

Dans l'industrie automobile, on décide de connaître la proportion de personnes faisant des heures supplémentaires. Pour cela on constitue un échantillon aléatoire et simple de 25 ouvriers et cadres travaillant dans l'industrie automobile. On constate que 10 d'entre eux font des heures supplémentaires. Peut-on donner un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% ?

Non car les conditions ne sont pas bonnes pour donner l'intervalle de confiance
Non car il ne s'agit que d'un échantillon, et non de toute la population
Oui car on peut se baser sur tout échantillon de la population mère
Oui car toutes les conditions sont validées

?Question

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x>0$ par : $f(x)=x\ln x +2$

La limite en $+\infty$ de $f$ n'existe pas
La limite en $0$ de $f$ n'existe pas
La limite en $0$ de $f$ vaut $0$
La limite en $0$ de $f$ vaut $2$
La limite de $f$ en $+\infty$ vaut $+\infty$

?Question

L'équation d'inconnue complexe $z$ : $z^2+z+1=0$ admet :

deux racines complexes conjuguées
deux racines réelles
deux racines complexes de modules différents

?Question

Déterminer, si elle existe, $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ ?

0
1
2
$+\infty$
la fonction n'a pas de limite

?Question

Sur un échantillon aléatoire et simple de 100 personnes de la ville de Chombier-Ville, on observe que $58$ % ont un salaire inférieur ou égal à 2000 euros par mois.On note $p$ la fréquence des habitants de Chombier-Ville dont le salaire est inférieur ou égal à 2000 euros. L'intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance de $95$ % est :

$[0.48,0.68]$
$[57,9;58,1]$
$[0.579,0.581]$

?Question

Rosette lance une fléchette 15 fois de suite sur une cible circulaire. On admet que les lancers sont indépendants, et que la probabilité pour qu'elle atteigne le centre de la cible sur un lancer est de 0.1. La probabilité qu'elle atteigne au moins une fois le centre dans les 15 tentatives est de :

$(0.1)^{15}$
$(0.9)^{15}$
$1-(0.1)^{15}$
$1-(0.9)^{15}$

?Question

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$. On suppose que $P(A\cap B)=0.8$ , $P(A)=0.4$ et $P(B)=0.2$

$A$ et $B$ sont incompatibles
$A$ et $B$ sont indépendants
$A$ et $B$ ne sont pas indépendants
Cette situation est impossible

?Question

La formule de la somme des termes d'une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r\in\mathbb{R}$ est :

$u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(2u_0+nr)}{2}$
$u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{n(n+1)}{2}$
$u_0+u_1+\cdots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+nr)}{2}$
$u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

?Question

Soit $A$ le point d'affixe $-8$ et $B$ le point d'affixe $4i$ . L'ensemble de tous les points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z +8| = |\overline z + 4i|$ est :

la médiatrice de $[AB]$.
la médiane de $[AB]$.
la médiatrice de $[AC]$, $C$ étant le point d'affixe $-4i$.
la droite $(AB)$.

?Question

Soit $i$ le nombre complexe tel que $i^2=-1$. Et, pour tout nombre complexe $z$, notons par $\overline z$ le conjugué de $z$.

L'équation $(E) : 2i\overline z =3i + 2iz$

a une seule solution imaginaire pure.
a une solution dont la partie imaginaire vaut $1$.
n'a pas de solution.
admet comme solution tous les complexes dont l'image se trouve sur la droite d'équation $y= 1$.

?Question

Soit $i$ le nombre complexe tel que $i^2=-1$. Et, pour tout nombre complexe $z$, notons par $\overline z$ le conjugué de $z$.

L'équation $(E)$ : $2i\overline z=3i-2iz$

a une seule solution imaginaire pure.
a une solution dont la partie réelle vaut $\frac{3}{4}$.
n'a pas de solution.
admet comme solution tous les complexes dont l'image se trouve sur la droite d'équation $x=\frac{3}{4}$.

?Question

Soit $i$ le nombre complexe tel que $i^2=-1$. Et, pour tout nombre complexe $z$, notons par $\overline z$ le conjugué de $z$.

L'équation $(E) : \frac{\overline z}{z-1} =2$

a une seule solution imaginaire pure $z=i$.
a une seule solution réelle $z=1$.
a une seule solution réelle $z=2$.
n'a pas de solution.

?Question

On donne l'intégrale $I=\displaystyle\int_{-1}^3 |x| dx$.

Coup de pouce

Penser à utiliser la relation de Chasles sur l'intervalle $[-1 ;3]$.

$I=4$
$I=\frac92$
$I=5$
On ne peut calculer $I$ car on ne connaît pas de primitive de $|x|$

?Question

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb R$, soir $F$ la primitive de $f$ qui s'annule en $3$ et $G$ la primitive de $f$ qui s'annule en $0$. L'intégrale $\int_0^3f(t)dt$

est égale à $G(3)$.
est égale à $F(0)$
est une primitive de $f$
est égale à $G(x)-F(x)$ pour tout $x \in \mathbb R$.

?Espaces vectoriels

Dans $\mathbb{R}_3[X]$, l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, on considère les polynômes $P_1= X^3+1, P_2= P'_1 $ (la dérivée de $P_1$) et $ P_3 = P''_1$ (la dérivée seconde de $P_1$). Quelles sont les assertions vraies ?

Le rang de la famille $\{P_1, P_3 \}$ est $3$.
$\{P_1,P_2,P_3 \}$ est une famille génératrice de $\mathbb{R}_3[X]$.
$\{P_1,P_2,P_3 \}$ est une famille libre de $\mathbb{R}_3[X]$.
Le rang de la famille $\{P_1, P_2,P_3 \}$ est $3$.

?Espaces vectoriels

Dans $\mathbb{R}_3[X]$, l'espace des polynômes à coefficients réels de degré $\le 3$, on considère les deux sous-espaces vectoriels : $E= \{P \in \mathbb{R}_3[X] \, ; \; P(0)=P(1)=0\}\; \mbox{ et }\; F= \{(P\in \mathbb{R}_3[X] \, ; \; P'(0)=P''(0)=0 \},$ où $P'$ (resp. $P''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\dim E= 3$.
$\dim F = 1$.
$E+F=\mathbb{R}_3[X]$.
$E$ et $F$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}_3[X]$.

?Applications linéaires

On considère l'application linéaire : $\begin{array}{rccc}f:&\mathbb{R}_2[X]&\to&\mathbb{R}_2[X]\\& P&\to &XP'-X^2P'' \end{array}$, où $\mathbb{R}_2[X]$ est l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré $\le 2$ et $P'$ (resp. $P''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $P$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\{1+X^2\}$ est une base de $\ker f$.
$\{1, X^2\}$ est une base de $\ker f$.
$\{1+X\}$ est une base de $\textrm{Im} f$.
$\mbox{rg} (f) =1$.

?Fonctions : domaine de définition (1)

Soient $f,g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f-2g$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
$f^2 \times g$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
$\frac{f}{g^2}$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
$\sqrt{f+g}$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

?Fonctions : domaine de définition (2)

Quelles sont les assertions vraies concernant le domaine de définition des fonctions suivantes ?

Le domaine de définition de $\exp(\frac{1}{x^2+1})$ est $\mathbb{R}$.
Le domaine de définition de $\sqrt{x^2-1}$ est $[1,+\infty[$.
Le domaine de définition de $\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-3)}}$ est $]1,3[$.
Le domaine de définition de $\ln(x^3-8)$ est $[2,+\infty[$.

?Fonction croissante/décroissante (2)

Quels arguments sont valables pour montrer que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est décroissante ?

On a $x \le y$ qui implique $f(x) \le f(y)$.
On a $x \le y$ qui implique $f(x) \ge f(y)$.
On a $x \ge y$ qui implique $f(x) \le f(y)$.
On a $x \ge y$ qui implique $f(x) \ge f(y)$.

?Fonctions : domaine de définition (3)

Soit $f(x) = \ln(x-1)$ et $g(x) = \sqrt{x+1}$. Quelles sont les assertions vraies concernant les domaines de définition ? (Rappel : le domaine de définition de $f$ est le plus grand ensemble $D_f \subset \mathbb{R}$ sur lequel $f$ est définie).

$D_f \cup D_g = [-1,+\infty[$.
Pour la composition $f \circ g$, $D_{f\circ g} = [-1,+\infty[$.
Pour la composition $g \circ f$, $D_{g\circ f} = ]1,+\infty[$.
Pour la fonction $f \times g$, $D_{f\times g} = ]1,+\infty[$.

?Fonction croissante/décroissante (4)

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction à valeurs strictement positives. Quels arguments sont valables pour montrer que $f$ est croissante ?

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $f(x+1) \ge f(x)$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $\frac{f(x+1)}{f(x)} \ge 1$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, il existe $h > 0$ tel que $f(x+h) \ge f(x)$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, pour tout $h > 0$, on a $\frac{f(x+h)}{f(x)} \ge 1$.

?Fonctions - zéros de fonction (1)

Quelles assertions peut-on déduire du théorème des valeurs intermédiaires ?

$\sin(x) - x^2 + 1$ s'annule sur $[0,\pi]$.
$x^5-37$ s'annule sur $[2,3]$.
$\ln(x+1)-x+1$ s'annule sur $[0,+\infty[$.
$e^x+e^{-x}$ s'annule sur $[-1,1]$.

?Fonctions - zéros de fonction (2)

Soit $f(x)=x^2-7$. On calcule $f(2,125)=-1,9375$ ; $f(2,5) = -0,75$ ; $f(2,625) = -0,109375$ ; $f(2,75) = 0,5625$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f$ s'annule sur $[2 ; 2,5]$ et sur $[2,5 ; 3]$.
$f$ s'annule sur $[2,5 ; 3]$.
$f$ s'annule sur $[2,75 ; 3]$.
$2,6 \le \sqrt{7} \le 2,8$

?Fonctions - zéros de fonction (3)

Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue (avec $a < b$). Quelles assertions sont une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires ?

Si $f(a) \cdot f(b) > 0$ alors $f$ s'annule sur $[a,b]$.
Si $f(a) < k < f(b)$ alors $f(x)-k$ s'annule sur $[a,b]$.
Pour $I \subset \mathbb{R}$, si $f(I)$ est un intervalle alors $I$ est un intervalle.
Si $c \in ]a,b[$ alors $f(c) \in ]f(a),f(b)[$.

?Fonctions : maximum/minimum (2)

Soit $f(x) = x \sin(\pi x) - \ln(x) - 1$ définie sur $]0,1]$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f$ est bornée et atteint ses bornes.
$f$ est majorée.
$f$ est minorée.
Il existe $c \in ]0,1]$ tel que $f(c)=0$.

?Fonctions : maximum/minimum (3)

Soit $I$ un intervalle de $\mathbf{R}$ et soit $f : I \to \mathbf{R}$ une fonction continue. Soit $J=f(I)$. Quelles sont les assertions vraies ?

$J$ est un intervalle.
Si $I$ est majoré, alors $J$ est majoré.
Si $I$ est fermé borné, alors $J$ est fermé borné.
Si $I$ est borné, alors $J$ est borné.

?Dérivée seconde ou plus (2)

Soit $x\in\mathbb R$, soit $\displaystyle f(x)=x^2\mathrm{e}^x$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle f''(x)=(x^2+4x+2)\mathrm{e}^x$
$\displaystyle f''(x)=2\mathrm{e}^x$
Pour $n\in \mathbf{N}^*$, $\displaystyle f^{(n)}(x)=(x^2+2nx+n^2-n)\mathrm{e}^x$.
Pour $n\in \mathbf{N}^*$, $\displaystyle f^{(n)}(x)=(x^2+2nx+n)\mathrm{e}^x$.

?Dérivée seconde ou plus (3)

Soit $n$ un entier naturel non nul, soit $x \in ]-1 , +\infty[$ et soit $\displaystyle f(x)=x\ln (1+x)$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle f'(x)=1\times \frac{1}{1+x}$
$\displaystyle f'(x)=\ln (1+x)+\frac{x}{1+x}$
Pour $n\geq 2$, $\displaystyle f^{(n)}(x)=n\times \frac{1}{(1+x)^n}$.
Pour $n\geq 2$, $\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n}(n-2)!}{(1+x)^n}\left(x+n\right)$.

?Dérivée seconde ou plus (4)

Soit $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2\ln (x^2)&\mbox{si }x\neq 0\\ 0&\mbox{si }x=0.\end{array} \right.$ Quelles sont les bonnes réponses ?

$f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbf{R}.$
$\forall x\in \mathbf{R}^*$, $\displaystyle f''(x)=2\ln x^2+6$
$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbf{R}.$
$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbf{R}.$

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=\frac{\ln (1+x+x^2)}{\sqrt{1+2x}-1}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0)\ln (1+x+x^2)=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_2(0)\left(\sqrt{1+2x}-1\right)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_2(0)f(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_3(0)[xf(x)]=x+x^2+\frac{x^3}{2}+o(x^3)$.

?Développements limités

Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0)\frac{\ln (1+x)}{x-x^2}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_2(0)\frac{\mathrm{e}^x-1}{\ln (1+x)}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_4(0)\ln (1+x\sin x)=x^2-\frac{2x^4}{3}+o(x^4)$.
$\displaystyle DL_4(0)\arcsin \left(\ln (1+x^2)\right)=x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)$.

?Développements limités

Soit $f$ telle que $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x+x^2}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=1$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$ lorsqu'elle existe. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0)f(x)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=1$ et $f$ est continue en $0$.
$f$ est dérivable en $0$ et $\displaystyle f'(0)=-\frac{1}{2}$.
$T_0$ est la droite d'équation $\displaystyle y=1-\frac{x}{2}$ et le graphe de $f$ est en dessous de $T_0$ au voisinage de $0$.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt{2+x^2}$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et on pose $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0)g(x)=1+x+x^2+o(x^2)$.
Au voisinage de $+\infty$, on a : $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$.
$\Gamma$ admet la droite d'équation $y=x$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.
$\Gamma$ est en dessous de la droite d'équation $y=x$ au voisinage de $+\infty$.

?Développements limités

Soit $f$ telle que $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x^2+2\sin x}$ si $x\neq 0$ et $f(0)=1$. On note $T_0$ la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$ lorsqu'elle existe. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0)f(x)=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=1$ et $f$ est continue en $0$.
$f$ est dérivable en $0$ et $\displaystyle f'(0)=\frac{1}{2}$.
$T_0$ est la droite d'équation $\displaystyle y=1+\frac{x}{2}$ et le graphe de $f$ est en dessous de $T_0$ au voisinage de $0$.

?Développements limités

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=(1+x)\mathrm{e}^{1/(x+1)}$ et $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $\displaystyle y=x+2$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0^+)g(x)=1+2x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0^+}g(x)=1$ et $\displaystyle \lim _{x\to 0^-}g(x)=-1$.
Au voisinage de $+\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé au dessus de $\Delta$.
Au voisinage de $-\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé au dessus de $\Delta$.

?Équations différentielles du second ordre

On considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; y''-y=3+\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-y=2+\mathrm{e}^{x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+b\mathrm{e}^{2x}$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
$(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+b\mathrm{e}^{x}$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_1)$ est : $\displaystyle y=-3+\mathrm{e}^{2x}+k_1\mathrm{e}^{x}+k_2\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ est : $\displaystyle y=-2+\left(k_1+\frac{x}{2}\right)\mathrm{e}^{x}+k_2\mathrm{e}^{-x}$, $k_1,k_2\in \mathbb{R}$.

?Équations différentielles du second ordre

On considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; y''-4y'+4y=4+2\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-4y'+4y=8+\mathrm{e}^{x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+b\mathrm{e}^{2x}$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
$(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a+b\mathrm{e}^{x}$ avec $a,b\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_1)$ est $\displaystyle y=1+\left(k_1+k_2x+x^2\right)\mathrm{e}^{2x}$, $k_1,k_2\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ est $\displaystyle y=1+\mathrm{e}^{x}+\left(k_1+k_2x\right)\mathrm{e}^{2x}$, $k_1,k_2\in \mathbb{R}$.

?Équations différentielles du second ordre

On considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; y''-3y'+2y=\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-3y'+2y=2x\mathrm{e}^{x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$(E_1)$ admet une solution sous la forme $\displaystyle y_0=a\mathrm{e}^{2x}$ où $a\in \mathbb{R}$.
$(E_2)$ admet une solution sous la forme $\displaystyle y_0=(ax+b)\mathrm{e}^{x}$ où $a,b\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_1)$ est $\displaystyle y=a\mathrm{e}^{x}+(b+x)\mathrm{e}^{2x}$, $a,b\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ est $\displaystyle y=\left(a-2x-x^2\right)\mathrm{e}^{x}+b\mathrm{e}^{2x}$, $a,b\in \mathbb{R}$.

?Équations différentielles du second ordre

On considère les équations différentielles : $(E_1)\; :\; y''-4y'+5y=\mathrm{e}^{2x}\quad \mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''-4y'+5y=8\sin x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$(E_1)$ admet une solution sous la forme $\displaystyle y_0=ax\mathrm{e}^{2x}$ avec $a\in \mathbb{R}$.
$(E_2)$ admet une solution sous la forme $\displaystyle y_0=a\sin x$ avec $a\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_1)$ est $\displaystyle y=\mathrm{e}^{2x}\left[1+a\cos x+b\sin x\right]$, $a,b\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_2)$ est $\displaystyle y=\left(1+a\mathrm{e}^{2x}\right)\cos x+\left(1+b\mathrm{e}^{2x}\right)\sin x$, $a,b\in \mathbb{R}$.

?Polynômes - transformation

Soit $P(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X+a_0$ un polynôme de $\mathbf{R}[X]$ de degré $n \ge 1$. À cette fonction polynôme $P$ on associe une nouvelle fonction polynôme $Q$, défini par $Q(X) = P(X - \frac{a_{n-1}}{n})$. Quelles sont les assertions vraies ?

Si $P(X) = X^2+3X+1$ alors $Q(X) = X^2-2X$.
Si $P(X) = X^3-3X^2+2$ alors $Q(X) = X^3-3X$.
Le coefficient constant du polynôme $Q$ est toujours nul.
Le coefficient du monôme $X^{n-1}$ de $Q$ est toujours nul.

?Fonctions usuelles - Domaine de définition (1)

Soit $f(x)= \frac{x^2+3x+2}{x^2-2x-1}$ et $ g(x)= \sqrt{x^2-1}$. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition de $f$ et de $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=]1-\sqrt 2, 1+\sqrt 2[$
$D_f=\mathbf{R} \backslash \{ 1-\sqrt 2, 1+\sqrt 2\}$
$D_g=[-1,1]$
$D_g=]-\infty, -1]\cup [1, +\infty[$

?Fonctions usuelles - Domaine de définition (3)

Soit $ f(x)= \ln(\frac{2+x}{2-x}) $ et $g(x)=x^x$. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition des fonctions $f$ et $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=\mathbf{R}\backslash\{2\}$
$D_f=]-2,2[$
$D_g=\mathbf{R}$
$D_g=]0,+\infty[$

?Fonctions usuelles - Domaine de définition (4)

Soit $f(x)= \arcsin (2x), \, g(x)= \arccos (x^2-1) $ et $h(x)= \arctan \sqrt{x}$. On notera $D_f,D_g$ et $D_h$ le domaine de définition de $f, g$ et $h$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=[-1,1]$
$D_g=[-1,1]$
$D_g=[-\sqrt 2, \sqrt 2]$
$D_h=[0,+\infty[$

?Fonctions usuelles - logarithme

Soit $(E)$ l'équation : $\ln (x^2-1) = \ln (x-1) + \ln 2$. Quelles sont les assertions vraies ?

$(E)$ a ses solutions dans $]-\infty, -1[ \cup ]1,+\infty[$.
$(E)$ a ses solutions dans $]1,+\infty[$.
$(E)$ n'admet pas de solution.
$(E)$ admet une unique solution $x=1$.

?Fonctions usuelles - exponentielle

Soit $(E)$ l'équation : $e^{2x}+e^x-2=0$. Quelles sont les assertions vraies ?

$(E)$ possède des solutions réelles.
Les solutions de $(E)$ sont nécessairement positives.
$(E)$ admet deux solutions distinctes réelles.
$(E)$ admet une unique solution $x=0.$

?Fonctions usuelles - étude de fonction (1)

Soit $f(x)=\sqrt[3]{1-x^3}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$f$ est définie sur $\mathbf{R}$.
$f$ est croissante.
$f$ est une bijection de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$.
L'application réciproque de $f$ est $f$.

?Fonctions usuelles - domaine de définition (5)

Soit $f(x)= \sqrt[3]{1-x^2}$ et $ g(x)= e^{\frac{1}{x}}\sqrt[4]{1-|x|} $. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition de $f$ et $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=\mathbf{R}$
$D_f=[-1,1]$
$D_g= \mathbf{R}^*$
$D_g=[-1,0[\cup ]0,1]$

?Fonctions usuelles - étude de fonction (3)

Soit $f(x)=\arcsin x + \arccos x$. Quelles sont les assertions vraies ?

Le domaine de définition de $f$ est $[-1,1]$.
$\forall x\in [-1,1], \, f(x)=\frac{\pi}{2}$
$\forall x\in [-1,1], \, f(x)= x$
$f$ est une fonction constante.

?Courbes parametrées

La trajectoire $\Gamma$ d'une particule en mouvement est donnée par les équations $x=2+\cos t\quad \mbox{et} \quad y=\frac{t^2}{2}+\sin t$.

$\Gamma$ n'admet pas de point stationnaire.
Le point de paramètre $t=\pi/2$ est un point d'inflexion.
La tangente à $\Gamma$ au point de paramètre $t=\pi/2$ est verticale.
$\Gamma$ est symétrique par rapport à l'axe des $x$.

?Intégration par parties

On note par $F$ une primitive de $f(x)=\arcsin (x)$ sur $]-1,1[$. Parmi les propositions suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=x\arcsin (x)-\int \frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\displaystyle F(x)=\arccos (x)+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=x\arcsin (x)+\sqrt{1-x^2}+k$, où $k\in \mathbb{R}$.

?Intégration par parties

On note par $F$ une primitive de $f(x)=\arctan (x)$ sur $\mathbb{R}$. Parmi les propositions suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{1+x^2}+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=x\arctan (x)+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle F(x)=x\arctan (x)-\int \frac{x\mathrm{d}x}{1+x^2}$.
$\displaystyle F(x)=x\arctan (x)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+k$, où $k\in \mathbb{R}$.

?Intégration par parties

On se place sur $]-1,+\infty[$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle \int \ln (x+1)\, \mathrm{d}x=\mathrm{e}^{x+1}+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \int \ln (x+1)\, \mathrm{d}x=(x+1)\ln (x+1)-\int \mathrm{d}x$.
$\displaystyle \int x\ln (1+x)\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}x\times\ln (1+x)=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)+k$, où $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \int x\ln (1+x)\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{2(1+x)}$.

?Intégrale définie

Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle \int _0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\int _0^{\pi}\cos x\mathrm{d}x$.
$\displaystyle \int _0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\pi +\int _0^{\pi}\cos x\mathrm{d}x$.
$\displaystyle \int _0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\pi -2$.
$\displaystyle \int _0^{\pi}x\sin x\,\mathrm{d}x=\pi$.

?Intégrale définie

Parmi les égalités suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle \int _0^{\pi}x\cos x\,\mathrm{d}x=-\int _0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$.
$\displaystyle \int _0^{\pi}x\cos x\,\mathrm{d}x=\int _0^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$.
$\displaystyle \int _0^{\pi}x\cos x\,\mathrm{d}x=2$.
$\displaystyle \int _0^{\pi}x\cos x\,\mathrm{d}x=-2$.

?Intégrale définie

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle \int _1^{\mathrm{e}}\ln t\mathrm{d}t=\Big[t\ln t\Big]_1^{\mathrm{e}}-\int _1^{\mathrm{e}}\mathrm{d}t$.
$\displaystyle \int _1^{\mathrm{e}}\ln t\mathrm{d}t=1$.
$\displaystyle \int _1^{2}t\ln t\mathrm{d}t=\Big[t^2\ln t\Big]_1^{\mathrm{e}}-\int _1^{\mathrm{e}}t\mathrm{d}t$.
$\displaystyle \int _1^{2}t\ln t\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{e}^2+1}{2}$.

?Intégrale définie

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle \int _0^1x\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\Big[x\mathrm{e}^x\Big]_0^1-\int _0^1\mathrm{e}^x\mathrm{d}x$.
$\displaystyle \int _0^1x\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=1$.
$\displaystyle \int _0^1x^2\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\Big[x^2\mathrm{e}^x\Big]_0^1-\int _0^1x\mathrm{e}^x\mathrm{d}x$.
$\displaystyle \int _0^1x^2\mathrm{e}^x\mathrm{d}x=\mathrm{e}-1$.

?Intégrale définie

On note $\displaystyle I=\int _{0}^{2}x^2\ln (x+1)\, \mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle I\leq 4\int _{0}^{2}\ln (x+1)\, \mathrm{d}x$.
$\displaystyle I\geq \ln 3\int _{0}^{2}x^2\, \mathrm{d}x$.
$\displaystyle I=\frac{8}{3}\ln 3+\frac{1}{3}\int _{0}^{2}\frac{x^3\, \mathrm{d}x}{x+1}$.
$\displaystyle I=3\ln 3-\frac{8}{9}$.

?Intégrale définie

On pose $\displaystyle I=\int _0^{\pi/2}x\cos ^2x\, \mathrm{d}x$, $\displaystyle J=\int _0^{\pi/2}x\sin ^2x\, \mathrm{d}x$ et $\displaystyle K=\int _0^{\pi/2}x\cos (2x)\, \mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Une intégration par parties donne : $\displaystyle K=\frac{1}{2}$.
$\displaystyle I+J=\frac{\pi ^2}{8}$ et $I-J=K$.
$\displaystyle I=\frac{\pi ^2+4}{16}$.
$\displaystyle J=\frac{\pi ^2-4}{16}$.

?Limites des fonctions réelles

Soit $f(x)= \frac{\sqrt {x+1}-\sqrt {2x}}{x-1}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$\lim_{x\to 1} f(x)=-\frac{1}{2\sqrt 2}$
$f$ n'admet pas de limite en $1$.

?Limites des fonctions réelles

Soit $f(x)= x\ln x -x^2+1$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$
$\lim_{x\to 0^+} f(x)=1$

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini (2)

Soit $f(x)= e^{2x}-x^7+x^2-1$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $f(x)= \frac{\cos x-1}{x^2}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$f$ n'admet pas de limite en $0$.
$\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to 0} f(x)=-\frac{1}{2}$
$\lim_{x\to 0} f(x)=\frac{1}{2}$

?Nombres complexes - écriture algébrique

Soit $z=(1-2i)^2$. Quelles sont les assertions vraies ?

$z=5-4i$
$z=-3-4i$
Le conjugué de $z$ est : $\overline{z}=3+4i$.
Le module de $z$ est $5$.

?Nombres complexes - écriture algébrique

Soit $z=\frac{i+1}{1-i\sqrt 3}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$|z|=\frac{1}{\sqrt 2}$
$z\overline{z} =\frac{1}{2}$
Un argument de $z$ est : $\frac{7\pi}{12}$.
Le conjugué de $z$ est : $\overline{z}=\frac{i-1}{1+i\sqrt 3}$.

?Nombres complexes - écriture algébrique

Soit $z$ un nombre complexe de module $2$ et d'argument $\frac{\pi}{4}$. L'écriture algébrique de $z$ est :

$z= \sqrt 2-i\sqrt 2$
$z= \sqrt 2+i\sqrt 2$
$z= 2+2i$
$z= 2-2i$

?Nombres complexes - module/argument

Soit $z=\frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt 3)^4}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$|z|=2$
$|z|=\frac{1}{2}$
$\arg z = \frac{\pi}{6} \, [2\pi]$
$\arg z = -\frac{\pi}{6} \, [2\pi]$

?Nombres complexes -module/argument

Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Alors, $|z_1+z_2|^2 + |z_1-z_2|^2$ est égal à :

$|z_1|^2+|z_2|^2$
$|z_1|^2-|z_2|^2$
$ 2|z_1|^2 +2|z_2|^2$
$ 2|z_1|^2 -2|z_2|^2$

?Nombres complexes -module/argument

Par définition, si $x,y \in \mathbf{R}, \, e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy}= e^x (\cos y +i \sin y)$. Soit $z=e^{e^{i\theta}}$, où $\theta$ est un réel. Quelles sont les assertions vraies ?

$|z|=1 $
$|z|=e^{\cos \theta} $
$\arg z = \theta \, [2\pi]$
$\arg z = \sin \theta \, [2\pi]$

?Nombres complexes -module/argument

Soit $z=e^{i\theta} + e^{i\phi} ,\theta, \phi \in \mathbf{R}$ tels que $-\pi < \theta - \phi < \pi$. Quelles sont les assertions vraies ?

$|z|=2 $
$|z|=2\cos (\frac{ \theta -\phi}{2}) $
$\arg z = \theta +\phi \, [2\pi]$
$\arg z = \frac{\theta+ \phi}{2} \, [2\pi]$

?Nombres complexes -équations

Les racines carrées de $i$ sont :

$\frac{1+i}{2}$ et $-\frac{1+i}{2}$
$\frac{1+i}{\sqrt 2}$ et $-\frac{1+i}{\sqrt 2}$
$e^{\frac{i\pi}{4}}$ et $e^{\frac{-i\pi}{4}}$
$e^{\frac{i\pi}{4}}$ et $-e^{\frac{i\pi}{4}}$

?Nombres complexes -équations

On considère l'équation : $(E) : \, z^2+z+1=0$, $z\in \mathbf{C}$. Quelles sont les assertions vraies ?

Les solutions de $(E)$ sont : $z_1= \frac{-1+\sqrt5}{2}$ et $z_2= -\frac{1+\sqrt5}{2}$.
Les solutions de $(E)$ sont : $z_1= \frac{-1+i\sqrt3}{2}$ et $z_2= -\frac{1+i\sqrt3}{2}$.
Les solutions de $(E)$ sont : $z_1= e^{\frac{2i\pi}{3}}$ et $z_2=e^{\frac{-2i\pi}{3}}$.
Si $z$ est une solution de $(E)$, alors $|z|=1$.

?Nombres complexes - équation

On considère l'équation : $(E) : \, z^2-2iz-1-i=0$, $z\in \mathbf{C}$. Quelles sont les assertions vraies ?

Le discriminant de l'équation est : $\Delta = 8+4i$.
Le discriminant de l'équation est : $\Delta = 4i$.
les solutions de $(E)$ sont : $z_1=\frac{\sqrt 2+ (1+\sqrt 2)i}{2}$ et $z_2=\frac{\sqrt 2+ (1-\sqrt 2)i}{2}$.
les solutions de $(E)$ sont : $z_1=\frac{\sqrt 2+ (2+\sqrt 2)i}{2}$ et $z_2=\frac{-\sqrt 2+ (2-\sqrt 2)i}{2}$.

?Nombres complexes - racine cubique

Les racines cubiques de $-8$ sont :

$z_k= 2e^{i\frac{(2k+1)\pi}{3}}$, $k=1,2,3$
$z_k= 2e^{i\frac{(2k-1)\pi}{3}}$, $k=0,1,2$
$z_k= -2e^{i\frac{(2k+1)\pi}{3}}$, $k=0,1,2$
$z_1= -2, z_2=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_3=2e^{-i\frac{\pi}{3}}$

?Nombres complexes -module/argument

Soit $z\in \mathbf{C}$ tel que $|z-1|=|z+1|$ . Quelles sont les assertions vraies ?

$z=0$
$z=ia$, $a\in \mathbf{R}$
Le point du plan d'affixe $z$ appartient au cercle de rayon $1$ et de centre le point d'affixe $0$.
Le point du plan d'affixe $z$ appartient à la médiatrice du segment $[A,B]$, où $A$ et $B$ sont les points d'affixe $-1$ et $1$ respectivement.

?Nombres complexes - équations complexes

On considère l'équation $(E) : \, z^8= \overline{z}, \, z\in \mathbf{C}$. Quelles sont les assertions vraies ?

Si $z$ est une solution de $(E)$, alors $z=0$.
Si $z$ est une solution de $(E)$, alors $z=0$ ou $|z|=1$.
L'équation $(E)$ admet $8$ solutions distinctes.
Les solutions non nulles de $(E)$ sont les racines $9$-ièmes de l'unité.

?Suites réelles - calcul de limite

Soit $\displaystyle u_n=\frac{n^2+1}{2n^2-1}$ et $\displaystyle v_n=\frac{2n+1}{n^2-1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=\frac{1}{2}$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=0$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=2$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=0$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=\frac{1}{2}$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=2$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=2$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=+\infty$

?Suites réelles - calcul de limite

Soit $n$ un entier strictement supérieur à $1$ et soit $\displaystyle u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ et $\displaystyle v_n=\cos\left(\frac{n^2+1}{n^2-1}\pi\right)$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=-1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=-1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n$ n'existe pas

?Suites réelles - étude d'une suite

Soit $n$ un entier naturel et soit $\displaystyle u_n=\ln \left(1+n\mathrm{e}^{-n}\right)$. Quelles sont les bonnes réponses ?

La suite $(u_n)$ est bornée.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$
La suite $(u_n)$ est divergente.

?Suites réelles - étude de convergence

Soit $n\in\mathbb N^*.$ Soit $\displaystyle u_n=\sin\left(\frac{2n\pi}{3}\right)$ et $\displaystyle v_n=\sin\left(\frac{3}{2n\pi}\right)$. Quelles sont les bonnes réponses ?

La suite $(u_n)$ diverge et la suite $(v_n)$ converge.
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont divergentes.
La suite $(u_n)$ n'a pas de limite et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=0$.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=0$

?Suites réelles - étude de deux suites

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $\displaystyle u_n=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{n^2}$ et $\displaystyle v_n=u_n+\frac{1}{n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

Si les limites existent, alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n < \lim _{n\to +\infty}v_n$.
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont divergentes.
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite finie.

?Suites réelles - étude d'une suite

Soit $(u_n)$ une suite réelle. On suppose que $\displaystyle u_n\geq \sqrt{n}$ pour tout $n\geq 0$. Que peut-on en déduire ?

La suite $(u_n)$ n'est pas majorée.
La suite $(u_n)$ est croissante.
La suite $(u_n)$ est convergente.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$

?Suites réelles - étude d'une suite

Soit n un entier plus grand que 1 et soit $\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

La suite $(u_n)$ est croissante non majorée.
La suite $(u_n)$ est divergente.
Pour tout $n\geq 1$, $\displaystyle u_n=1-\frac{1}{n+1}$.
$(u_n)$ est convergente et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$.

?Intégrales et primitives

La fonction $x\mapsto \int_1^x \ln (t)dt$ vaut :

$x\ln (x)-x+1$.
$x\ln (x)-x$.
autre chose.

?Intégrales et primitives

La fonction $x\mapsto \int_0^x te^{t} dt$ vaut :

$xe^x$.
$xe^x-e^x +1$.
$xe^x -1$.

?Intégrales et primitives

Quelle est la valeur de $\int_{0}^{1}x\exp(x) \,dx$ ?

$1$
$-1$
$0$

?Intégrales et primitives

Déterminer $\int x\cos(x)\,dx$.

$x\sin(x)+\cos(x)+C$, $C\in\mathbb{R}$.
$-x\sin(x)+\cos(x)+C$, $C\in\mathbb{R}$.
$x\sin(x)-\cos(x)+C$, $C\in\mathbb{R}$.

?Intégrales et primitives

Déterminer $\int x\cos(\pi x)\,dx$.

$\frac{x\sin(\pi x)}{\pi^2}+\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2}+C, C\in\mathbb{R}$.
$\frac{x\sin(\pi x)}{\pi}+\frac{\cos(\pi x)}{\pi}+C, C\in\mathbb{R}$.
$\frac{x\sin(\pi x)}{\pi}+\frac{\cos(\pi x)}{\pi^2}+C, C\in\mathbb{R}$.

?Intégrales et primitives

Déterminer $\int x e^{-x} \,dx$.

$-e^{-x}(x+1)+C$, $C\in\mathbb{R}$.
$e^{-x}(x+1)+C$,$ C\in\mathbb{R}$.
$e^{-x}(-x+1)+C$, $C\in\mathbb{R}$.

?Intégrales et primitives

Identifier une primitive de la fonction $f(x)=x \sin x$.

La fonction $x \mapsto -\frac{x^2}2 \cos x$.
La fonction $x \mapsto -x \cos x$.
La fonction $x \mapsto -x \cos x + \sin x$.
La fonction $x \mapsto -x \cos x - \sin x$.
La fonction $x \mapsto x \cos x + \sin x$.

?Intégrales et primitives

Identifier une primitive de la fonction $f(x)=x e^{-x}$.

La fonction $x \mapsto -\frac{x^2}2 e^{-x}$.
La fonction $x \mapsto \frac{x^2}2 e^{-x^2/2}$.
La fonction $x \mapsto -x e^{-x} +e^{-x}$.
La fonction $x \mapsto -x e^{-x} -e^{-x}$.
La fonction $x \mapsto x e^{-x} -e^{-x}$.

?Dérivation réciproque

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

Soit $f$ une bijection de l'intervalle $I$ sur $J$. Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f^{-1}$est dérivable sur $J$.
Soit$ f$ une bijection d'un intervalle $I$ sur un intervalle $J$, dérivable en$ x_0$ $\in$ $I$ et $y_0$ $\in$ $J.$Si $f(x_0)=y_0$ alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0.$
Soit $f$ une bijection de l'intervalle $I$ sur $J$, dérivable en$ x_0 \in I$ et $y_0\in J$ tel que $f(x_0)=y_0.$ Si $f '(x_0)≠0$ alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et$ (f^{-1})'(y_0)= \frac{1}{f '(x_0)}⋅$
Si $f$ est une bijection de l'intervalle $I$ sur $J$ dérivable et $f '$ ne s'annule pas sur $I$ alors $f^{-1}$ est dérivable su $J$
$f$ est une bijection de $I$ vers $J$, $f^{-1} $ est dérivable sur $J$ si et seulement si $f$ est dérivable sur $I$ et que $f'$ ne s'annule pas sur $I$.

?Dérivation réciproque

La fonction $f$ définie par $f(x) =\frac{1}{\cos x}$ sur l'intervalle $]0 ;\frac{\pi}{2}[.$ est une bijection dérivable de $]0 ;\frac{\pi}{2}[$ vers $]1;+\infty[$, alors sa bijection réciproque $f^{-1}$ admet comme fonction dérivée :

$(f^{-1})'(x)=x^4-x^2$
$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{x\sqrt{x-1}}$
$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{x\sqrt{x+1}}$

?Dérivation réciproque

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = xe^x$ sur l'intervalle $[0; +∞$[ et $f(1) = e$. Elle admet une bijection réciproque$ f^{-1}$ définie sur $[0; +∞[.$

On a :

$(f^{-1})'(e)=\frac{1}{e}$
$(f^{-1})'(e)=\frac{1}{2e}$
$(f^{-1})'(e)=\frac{e}{2}$

?Dérivation réciproque

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=-1+ e^{x-1}+ lnx$ sur l'intervalle $]0; +∞[$ et $f(1) = 0$ Elle admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur $R$.

La tangente au point d'abscisse$ 0$ à la courbe de $f^{-1}$ a pour équation :

$y=\frac{1}{2}x$
$y-1=-\frac{1}{2}x$
$y-1=\frac{1}{2}(x-0)$

?Dérivation-reciproque

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=4x+ sin^4 (x)$ sur $R$ et $f(0) = 0$ Elle admet une bijection réciproque f^{-1} définie sur$ R$.

La tangente au point d'abscisse$ 0$ à la courbe de $f^{-1}$ a pour équation :

$y=\frac{1}{4}x$
$y=-\frac{1}{4}x$
$(y-0)=\frac{1}{4}(x-0)$

?Dérivée-Fonctions trigonométriques

Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x) = sin(3x) – sin^3 (x).$ $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}.$

Trois propositions sont faites dont une seule est juste, coche la.

$f '(x) = 3cos(3x) – 3cosx sin^2 (x). $
$f '(x) = 3cos(3x) –cosx sin^2 (x)$
$f '(x) = 3cos(3x) +3cosx sin^2 (x)$

?Dérivée-Fonctions trigonométriques

Soit la fonction $f$ définie sur$ R$ par $f(x) = cos2x – cosx – 2$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Trois propositions sont faites dont une seule est juste, coche la.

$ f '(x)= 2cosx sinx + sinx$
$f '(x) = sin(2x) - sinx$
$f '(x)= - 4cosx sinx +sinx $

?Dérivée-Foctions trigonométriques

Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x) = cos^2 (x)sin(x)$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Trois propositions sont faites dont une seule est juste, coche la.

$ f '(x) = 2cos(x)sin^2 (x)+cos^3 (x)$
$ f '(x) = - 2cos(x)sin^2 (x -cos^3( x))$
$f '(x) = -2cos(x)sin^2 (x + cos^3 (x))$

?Dérivée-Fonctions trigonométriques

Soit la fonction $f$ définie sur$\mathbb{R}$ par $f(x) = sin(2x^2 -1).$ $ f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

Trois propositions sont faites dont une seule est juste, coche la.

$ f '(x) = 4x sin(2x^2- 1) $
$f '(x) = 4x cos(2x^2- 1) $
$f '(x) = -4x cos(2x^2- 1)$

?Dérivée-Fonctions trigonométriques

Soit la fonction $f$ définie sur ]$ -\frac{\pi}{2} ;+ \frac{\pi}{2}$[ par$ f(x)= tanx+2sinx.$ $f$ est dérivable sur ] $-\frac{\pi}{2} ;+ \frac{\pi}{2}$[

Trois propositions sont faites dont une seule est juste, coche la

$f '(x) =\frac {1}{cos^2 (x)} + 2cos(x) $
$ f '(x)= \frac {1}{cos^2 (x) }- 2cos(x) $
$ f '(x)= - \frac {1}{cos^2 (x)} + 2cos(x)$

?Dérivée-Fonction puissance

Soit la fonction $f(x)=x^{\frac{3}{2}}(1-x)^{\frac{1}{2}}$

Cocher les affirmations vraies.

$f$ est dérivable en $ 0.$
$f$ est dérivable en $1$
$\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=-\infty$
$f '(0) = 0$

?Dérivée d'une fonction puissance

Soit la fonction définie sur [0;8] par : $ f(x)=\left(4-x^{2/3}\right)^{3/2}$

Cocher les affirmations vraies.

La fonction $f$ est dérivable en $0$.
La fonction $f$ n'est pas dérivable en $0$.
$f(0)=8$.
$f '(x) =- x^{-1/3}(4-x^{2/3})^{2/3}$

?Dérivée-Fonction puissance

Soit la fonction $g$ définie par$ g(x)=x^{\frac{-5}{6}}$ .

Cocher les affirmations vraies.

$g'(x)=-\frac{5}{6}x^{\frac{1}{6}}$
$g'(x)=-\frac{5}{6}x^{\frac{-11}{6}}$
$g'(x)=x^{\frac{1}{6}}$
$g$ n'est pas dérivable en $0$.

?Dérivée-Fonction puissance

Soit la fonction$ h$ définie par $h(x) = (ln2)^x$

Cocher les affirmations vraies.

$h' (x) = (x – 1) (ln2)^x$
$h' (x) = (ln2)(ln2)^x$
$h' (x) = e^{xln2}$
$h' (1) = (ln2)^2$

?Fonctions numériques - Logarithme et Exponentielle

Cochez les bonnes réponses

$\ln(a+b)=\ln(a)+\ln(b)$ où $a,b$ sont des réels strictement positifs
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, où $a,b\in\mathbb R_+ $
$\frac{\ln(a)}{\ln(b)}=\ln(a)-\ln(b)$ avec $a,b$ des réels strictement positifs
$\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ avec $a,b$ des réels strictement positifs

?Transformation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\cos (2x)=2 \cos ^2(x)-1$
$\cos (2x)=1+2 \sin ^2(x)$
$\cos (2x)=2 \cos ^2(x)+1$

?Transformation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\cos (4x)= \cos ^4(x)-6 \cos^2(x) \sin ^2(x)+ \sin ^4(x)$
$\cos (4x)= \cos ^4(x)+6 \cos^2(x) \sin ^2(x)+ \sin ^4(x)$
$\cos (4x)= \cos ^4(x)-6 \cos^2(x) \sin ^2(x)- \sin ^4(x)$

?Transformation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\cos (3x)=- \cos (x)-4 \sin^2(x) \cos (x)$
$\cos (3x)= \cos (x)-4 \sin^2(x) \cos (x)$
$\cos (3x)= \cos (x)+4 \sin^2(x) \cos (x)$

?Transformation

Coche la ou les conne(s) réponse(s)

$\sin (3x)=2 \sin ^2(x) \cos(x) +\sin (x) -2\sin ^3(x)$
$\sin (3x)=2 \sin ^2(x) \cos(x) +\sin (x) +2\sin ^3(x)$
$\sin (3x)=2 \sin ^2(x) \cos(x) -\sin (x) -2\sin ^3(x)$

?Fonction logarithme népérien

Coche la bonne réponse.

L'équation $\ln (3+x)=\ln 3+\ln x$ a pour ensemble solution

$\{0\}$
$\{3\}$
$\left\{\frac{3}{2}\right\}$

?Fonction logarithme népérien

Coche la bonne réponse.

L'équation $\ln(3x)=3\ln x$ a pour ensemble solution :

$\{\sqrt{3}\}$
$\{\sqrt{3} ;-\sqrt{3}\}$
$\{0 ;\sqrt{3}\}$

?Fonction logarithme népérien

Coche la bonne réponse.

L'inéquation $\ln(\frac{1}{x}) \leq 0$ a pour ensemble solution :

$[0 ;1]$
$]-\infty ;1]$
$[1 ;+\infty[$

?Fonction logarithme népérien

Coche la bonne réponse.

L'inéquation $2+\ln (x)<0$ a pour ensemble solution :

$[0 ;e^2]$
$[0 ;e^{-2}]$
$]0 ;e^{-2}[$

?Fonction logarithme népérien

Coche la bonne réponse.

L'équation $\ln^2(x)-\ln (x)-6=0$ a pour ensemble solution :

$\{e^{-2} ;e^3\}$
$\{e^{-2}\}$
$\{{-2} ;3\}$

?Fonction logarithme népérien

Coche la bonne réponse.

La limite quand $x$ tend vers $3^{-}$ de la fonction $f$ définie par :$ f(x) =\ln (9-x^2)$ est :

$+\infty$
$-\infty$
N'existe pas

?Fonction logarithme népérien

Cocher la bonne réponse.

La limite quand $x$ tend vers $e$ de la fonction $f$ définie par : $f(x)=\ln(1-\ln x)$ est :

$+\infty$
$-\infty$
N'existe pas

?Fonction logarithme népérien

Cocher la bonne réponse.

La limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)= x-\ln x$ est :

$+\infty$
$-\infty$
N'existe pas

?Fonction logarithme népérien

Cocher la bonne réponse.

La limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de la fonction$ f$ définie par :

$f(x)=\frac{x}{\ln x}$ est :

$+\infty$
$-\infty$
$0$

?Fonction logarithme népérien

Cocher la bonne réponse.

La limite quand $x$ tend vers $e$ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{\ln x - 1}{x-e}$ est :

$e$
$0$
$\frac{1}{e}$

?Fonction logarithme népérien

Cocher la bonne réponse.

Soit la fonction $f$ définie par :$f(x)=\frac{1}{2x+4}$. Une primitive de $f$ sur $]-\infty ;2[$ est la fonction $g$ définie par :

$g(x)=\ln (2x-4)$
$g(x)=\ln(\sqrt{2x-4})$
$g(x)=\ln(\sqrt{4-2x})$

?Sens de variation

Soit la fonction f définie sur $[0.+\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{x^2+x}$

$f$ est décroissante sur $[0 ;+\infty[$
$f$ n'est ni croissante, ni décroissante sur $[0 ;+\infty[$
$f$ est croissante sur $[0 ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ;\pi]$ par : $f(x)=\cos^2(x)-\cos (x)-2$

$f$ est croissante sur $[0 ;\frac{\pi}{3}]$
$f$ est décroissante sur $[\frac{\pi}{3} ;\pi]$
$f$ est décroissante sur $[0 ;\frac{\pi}{3}]$ et croissante sur $[\frac{\pi}{3} ;\pi]$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ;\frac{\pi}{2}]$ par $f(x)=\cos^2(x)\sin(x)$

$f$ est croissante sur $[0 ;\frac{\pi}{2}]$
$f$ est croissante sur $[0 ;\alpha]$ où $\alpha$ est l'unique réel vérifiant $\sin \alpha=\sqrt{2}-1$
$f$ est décroissante sur $[\alpha ;\frac{\pi}{2}]$ où $\alpha$ est l'unique réel vérifiant $\sin \alpha=\sqrt{2}-1$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ;+\infty[$ par $f(0)=0$ et $f(x)=x\ln(x)$ si $x>0$

$f$ est croissante sur $[0 ;e^{-1}]$ et décroissante sur $[e^{-1} ;+\infty[$
$f$ est décroissante sur$ [0; e^{-1} ]$ et croissante sur $[e^{-1} ;+\infty[$
$f$ est décroissante sur $[0 ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ;+\infty[$ par $f(x)=\frac{x}{\ln x}$

$f$ est croissante sur $]1 ;+\infty[$
$f$ est décroissante sur $]0 ;1[$
$f$ est décroissante sur $]1 ;e[$ et croissante sur $]e ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\infty ;+\infty[$ par $e^{2x}-2e^x$

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est croissante sur $]-\infty ;-\ln 2[$ et décroissante sur $]-\ln 2 ;+\infty[$
$f$ est décroissante sur $]-\infty ;0[$ et croissante sur $]0 ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ;+\infty[$ par $\ln (e^x-1)$

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;+\infty[$
$f$ est strictement croissante sur $]0 ;+\infty[$
$f$ est croissante sur $]-\infty ;0[$ et décroissante sur $]0 ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ;+\infty[$ par $f(x)=\frac{1}{e^x+1}$

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;+\infty[$
$f$ est strictement croissante sur $]-\infty ;+\infty[$
$f$ est strictement croissante sur $]-\infty ;0[$

?Sens de variation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ vérifiant :

Pout tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=e^{2g(x)}$. On a :

Si $\lim\limits _{x \to +\infty} f(x)=0$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$
$Si$ $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ alors $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$
$Si$ $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ alors $g$ est décroissante sur $\mathbb{R}$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)>0$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1+exe^x$

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est décroissante sur $]-\infty ;-1]$ et croissante sur $[-1 ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(\ln2)^x$

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0 ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $(\cos 1)^x$

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
$f$ décroissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0 ;+\infty[$

?Sens de variation

Soit la fonction $f$ définie sur$\mathbb{R}^*_+$ par $f(x)=x^{0,6}$

$f$ est croissante sur $\mathbb{R}$
$f$ est croissante sur $\mathbb{R}^*$
$f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$

?Diviseurs et multiples - Décomposition en produit de facteurs

Cochez la ou les bonnes réponses

Si $a$ divise $b$ et $a$ divise $c$ alors $a^2$ divise $bc$.
Si $a$ divise $b$ et $a$ divise $c$ alors $2a$ divise $b+c$
Si $r$ est le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$ alors $\gcd(a,b) = \gcd(b,r)$ .

?Diviseurs et multiples - Système de numération

Cochez la ou les bonnes réponses

L'écriture en base $2$ de l'entier $1234$ est : $1001101000$
L'écriture en base $2$ de l'entier $1234$ est : $10011010001$
L'écriture en base $2$ de l'entier $1234$ est : $10011010010$

?Diviseurs et multiples - Système de numération

Cochez la ou les bonnes réponses

L'écriture en base $3$ de l'entier $4256$ est : $1001101002$
L'écriture en base $3$ de l'entier $4256$ est : $12211122$
L'écriture en base $2$ de l'entier $4256$ est : $22111221$

?Diviseurs et multiples - Système de numération

Cochez la ou les bonnes réponses

L'écriture en base $3$ de l'entier $1234$ est : $1200201$
L'écriture en base $4$ de l'entier $4256$ est : $1002201$
L'écriture en base $5$ de l'entier $2458$ est : $34313$

?Diviseurs et multiples - Equations diophantiennes linéaires

L'équation diophantienne linéaire suivante $12x+16y=6$ admet :

pas de solution
une seule solution
Une infinité de solutions

?Diviseurs et multiples - Equations diophantiennes linéaires

L'équation diophantienne linéaire suivante $5x+6y=7$ admet :

pas de solution
une seule solution
Une infinité de solutions

?Diviseurs et multiples - Equations diophantiennes linéaires

L'équation diophantienne linéaire suivante $3x+6y=5$ admet :

pas de solution
une seule solution
Une infinité de solutions

?Equations dans Z

On considère l'équation : $ x^2- x+4 \equiv 0 \pmod{6}$

Toutes ses solutions sont paires
Si $x$ est solution, alors $x$ a pour reste 2 ou 5 dans la division euclidienne par 6.
l'équation a pour seules solutions des multiples de 6.

?Divisibilité - petit théorème de Fermat

Quelle est la valeur de $3^{2020}\pmod{17}$?

$3$
$13$
$1 $
$16$

?Divisibilité - petit théorème de Fermat

Quelle est la valeur de $5^{55555}\pmod{7}$?

$6$
$5$
$4$
$3$

?Divisibilité - congruences

Cochez les bonnes réponses

$10\equiv 1 \pmod 9 $
$20\equiv 2 \pmod {10} $
$1\equiv -11 \pmod{10} $
$12\equiv -2 \pmod 7 $

?Divisibilité - Congruences

Cochez les bonnes réponses

$10x-9 \equiv 1 \pmod {10} $ pour tout $x\in\mathbb Z $
Il existse $x\in\mathbb Z$ tel que $10x-9 \equiv 1 \pmod {10} $
$14x+8 \equiv 2 \pmod {6} $ pour tout $x\in\mathbb Z $
Il existse $x\in\mathbb Z$ tel que $14x+ 8\equiv 2 \pmod {6} $

?Divisibilité - congruences

Cochez les bonnes réponses

$11^{2020}\equiv 1 \pmod {10} $
$11^{2021}\equiv 1 \pmod {10} $
$1\equiv -11 \pmod{10} $
$12\equiv -2 \pmod 7 $

?Divisibilité - petit théorème de Fermat

Quelle est la valeur de $2010^{2019}\pmod{17}$?

$3$
$13$
$19$
$16$

?Divisibilité - petit théorème de Fermat

Quelle est la valeur de $2020^{2021}\pmod{17}$?

$3$
$13$
$19$
$16$

?Divisibilité - petit théorème de Fermat

Cochez les affirmations qui sont correctes. $n=77+77+77+77+77+77+77+77+77+77+77+77+77+77+77+77$

$n$ est un nombre impair
$n$ est un nombre pair
$n$ est un nombre plus grand que $1000$
$n$ est un multiple de $11$.
$n$ est divisible par $28$.
$n$ est un nombre plus grand que $1200$

?Divisibilité - petit théorème de Fermat

Cochez les affirmations qui sont correctes.

Si $n$ est un nombre impair alors $n^2$ est pair
Si $n$ est un nombre impair alors $n^2$ est impair
Si $n^2$ est un nombre impair alors $n$ est impair
Si $n^2$ est un nombre pair alors $n$ peut être impair
Si $n$ est un nombre pair alors $n$ ne peut pas être premier.

?Divisibilité - petit théorème de Fermat

Cochez les affirmations qui sont correctes.

$n\times (n+1)$ est toujours un nombre pair.
$n\times (n+1)$ n'est pas toujours un nombre pair.
$n\times(n^2-1)$ est toujours un multiple de $3$.
$n\times(n^2-1)$ est toujours un multiple de $6$.
$n\times(n^2-1)$ est toujours un nombre impair.

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Cochez la ou les bonnes réponses :

Le $pgcd(1234,4256)$ est $6$.
Le $pgcd(1234,4256)$ est $3$.
Le $pgcd(1234,4256)$ est $2$.

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Cochez la ou les bonnes réponses :

Le $pgcd(6234,2563)$ est $1$.
Le $pgcd(6234,2563)$ est $2$.
Le $pgcd(6234,2563)$ est $3$.

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Cochez la ou les bonnes réponses :

Le $pgcd(2344,1024)$ est $4$.
Le $pgcd(2344,1024)$ est $6$.
Le $pgcd(2344,1024)$ est $8$.
Le $pgcd(2344,1024)=pgcd(1024,2344)$.

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Cochez la ou les bonnes réponses :

Le $pgcd(2344,1024)$ est $4$.
Le $pgcd(2344,1024)$ est $6$.
Le $pgcd(2344,1024)$ est $8$.
Le $pgcd(2344,1024)=pgcd(1024,2344)$.

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Cochez la ou les bonnes réponses :

Le $ppcm(144,512)$ est $1024$.
Le $ppcm(144,512)$ est $2408$.
Le $ppcm(144,512)$ est $4608$.
Le $ppcm(144,512)$ est $5608$.

?Divisibilité - pgcd et ppcm

$x$ et $y$ étant des entiers relatifs, cochez la ou les bonnes réponses :

$ppcm(x,y) = ppcm(y,x)$.
$ppcm(x,y)\cdot pgcd(x,y)=xy$
$ppcm(x,y)\cdot pgcd(x,y)=\displaystyle\frac xy$
$ppcm(x,y)\cdot pgcd(x,y)=|xy|$

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Pour $a,b,c$ des entiers, cochez la ou les bonnes réponses :

$a|b$ et $c|b$ alors $ppcm(a,c)| b$
$ a|b $ et $c|b $ alors $b | ppcm(a,c)$
$a|b$ et $c|b$ alors $ppcm(a,c) | b^2 $

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Pour $a,b,c$ des entiers, cochez la ou les bonnes réponses :

$ppcm(a,b)=ppcm(a,-b) $
$ ppcm(a,b,c)=ppcm(ppcm(a,b),c) $
$ppcm(-a,-b)=-ppcm(a,b)$

?Divisibilité - pgcd et ppcm

Pour $a,b,c$ des entiers, cochez la ou les bonnes réponses :

$pgcd(a,b)=pgcd(a,-b) $
$ pgcd(a,b,c)=pgcd(pgcd(a,b),c) $
$pgcd(-a,-b)=-pgcd(a,b)$
$pgcd(-a,-b)=pgcd(a,b) $

?Divisibilité - critères de divisibilité

Cochez la ou les bonnes réponses :

$1231233 $ est divisible par $3$.
$1231233 $ est divisible par $6$.
$1231239 $ est divisible par $9$.

?Divisibilité - critères de divisibilité

Cochez la ou les bonnes réponses :

$123456 $ est divisible par $2$.
$1223456 $ est divisible par $3$.
$123450 $ est divisible par $5$.
$123450 $ est divisible par $10$.

?Divisibilité - critères de divisibilité

Cochez la ou les bonnes réponses :

$11111111 $ est divisible par $11$.
$13574$ est divisible par $11$
$1234567842$ est divisible par $4$.
$123450 $ est divisible par $10$.

?Intégrale d eproduit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $B=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2sin(3x)~dx$

$B=\frac{1}{9}(2+\pi)$
$B=\frac{1}{9}(2-\pi)$
$B=\frac{1}{9}(\pi-2)$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $A=\int_1^x2t^3e^{t^2+1}~dt$, $x$ étant un réel.

$A=e^{x^2}(x^2+1)$
$A=-e^{x^2}(x^2-1)$
$A=e^{x^2+1}(x^2-1)$

?Intégrale de produit de fonctions

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $C=\int_1^ex(ln x)^2~dx$

$C=\frac{1}{4}(e^2-1)$
$C=-\frac{1}{4}(e^2-1)$
$C=\frac{1}{4}(e^2+1)$

?Intégrales et aires

$(D)$ est l'ensemble des points $M(x , y)$ du plan tels que : $\left \{\begin{array}{rcl} 0 \leq x \leq \pi \\ 0 \leq y \leq \sin x \end{array}\right.$. L'unité graphique est 2 cm. L'aire de $(D)$ en $cm^2$ est :

?Intégrales et aires

$\frac{48}{\pi}$
$\frac{48}{\pi}$ $cm^2$
$\frac{24}{\pi}$ $cm^2$

?Intégrales et aires

$(D)$ est l'ensemble des points $M(x , y)$ du plan tels que : $\left \{\begin{array}{rcl} -1 \leq x \leq 0 \\ 0 \leq y \leq x^2-4x \end{array}\right.$. L'aire de $(D)$ en unités d'aire est :

$\frac{7}{3}$ unités d'aire
$\frac{14}{3}$ unités d'aire
$\frac{2}{3}$ unité d'aire

?Intégrales et aires

$(D)$ est l'ensemble des points $M(x , y)$ du plan tels que : $\left \{\begin{array}{rcl} 0 \leq x \leq 4 \\ x^2-4x \leq y \leq 0 \end{array}\right.$. L'aire de $(D)$ en unités d'aire est :

$\frac{7}{3}$ unités d'aire
$\frac{32}{3}$ unités d'aire
$\frac2{3}$ unité d'aire

?Intégrales et aires

Considérons la fonction $f$ définie sur $[-\pi ;\pi]$ par $f(x)=x-sinx$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. L'aire en unités d'aire, comprise entre $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\pi$ est :

$\frac{\pi^2}{2}-2$ unités d'aire
$\frac{\pi^2}{4}$ unités d'aire
$\pi^2$ unités d'aire

?Intégrales de fonctions puissances

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $A=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4(x)~dx$

$A=\frac{3\pi}{16}$
$A=\frac{\pi}{16}$
$A=\frac{3\pi}{8}$

?Intégrales de fonctions puissances

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $A=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^6(x)~dx$

$A=\frac{27\sqrt{3}-10\pi}{192}$
$A=\frac{27\sqrt{3}+10\pi}{192}$
$A=\frac{-27\sqrt{3}+10\pi}{192}$
$A=\frac{9\sqrt{3}}{64}+\frac{5\pi}{96}$

?Intégrales de fonctions puissances

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $A=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin^2(x)~dx$

$A=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}$
$A=*\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$
$A=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$

?Intégrales de fonctions puissances

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $A=\int_1^2\frac{1}{x^6}~dx$

$A=-\frac{31}{160}$
$A=\frac{31}{160}$
$A=\frac{30}{160}$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 3]$ par :$ f(x) = x^3$. La valeur moyenne de $f$ sur $[ -1 ; 3]$ est :

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction$ f$ définie sur $[0 ; \pi]$ par : $f(x) = cos^2 (x)$. La valeur moyenne de f sur $[0 ; \pi]$ est :

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction$ f$ définie sur $[1 ; 4]$ par : $f(x) = \frac{1}{x}$. La valeur moyenne de f sur $[1 ; 4]$ est :

$\frac{ln 2}{3}$
$\frac{ln 2}{4}$
$\frac{2ln 2}{3}$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction $f$ définie sur $[0 ; \frac{\pi}{2}]$ par : $f(x) = cos^5(x).$ La valeur moyenne de $f$ sur $ [0 ; \frac{\pi}{2}]$ est :

$\frac{16}{15\pi}$
$\frac{16}{15}$
$\frac{8}{15}$

?Intégrales et moyenne

Soit la fonction$ f$ définie sur $[0 ; \frac{\pi}{6}]$ par : $f(x) = sin^3 (2x)$. La valeur moyenne de $f$ sur $[0 ; \frac{\pi}{6}]$ est :

$\frac{30}{48}$
$\frac{5}{48}$
$\frac{5}{8\pi}$

?Intégrales simples

Soit l'intégrale $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^2(x)cos(x) ~dx$. Coche la bonne réponse.

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}$
$-\frac{1}{3}$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, coche la bonne réponse. $J=\int_1^e\frac{ln x}{x} ~dx$

$J=-\frac{1}{2}$
$J=\frac{1}{2}$
$J=\frac{1}{4}$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, coche la bonne réponse. $K=\int_1^2\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}~ dx$

$K=e-2\sqrt{e}$
$K=e+\sqrt{e}$
$K=e-\sqrt{e}$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $L=\int_1^0\frac{4x^3+8x}{(x^4+4x^2+2)^3}~dx$

$L=\frac{45}{292}$
$L=-\frac{45}{292}$
$L=\frac{48}{292}$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, coche la bonne réponse $M=\int_0^2(1-\vert t-1\vert)^3 ~dx$

$M=\frac{1}{2}$
$M=\frac{1}{4}$
$M=-\frac{1}{2}$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $K=\int_{-107}^{107}(t^3+4sin^7(t))~dt$

$4$
$2$
$0$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $O=\sum_{k=1}^{k=5}\int_k^{k+1}\sqrt{t}~dt$

$O=\frac{2}{3}(6\sqrt{6}-1)$
$O=\frac{2}{3}(6\sqrt{6}+1)$
$O=\frac{1}{3}(6\sqrt{6}-1)$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse.$A=\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1+2x^3}}~dx$

$A=\frac{1}{3}(\sqrt{3}-1)$
$A=\frac{1}{3}(\sqrt{3}+1)$
$A=\sqrt{3}-1$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $B=\int_{ln2}^{ln3}\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}~dx$

$\ln\frac{8}{3}$
$\frac{1}{3}\ln\frac{8}{3}$
$\ln8-\ln3$

?Intégrales simples

Pour l'intégrale suivante, cocher la bonne réponse. $D=\int_1^x2te^{t^2+1}~dt$ $x$ étant un réel.

$D=2e^{x^2+1}-e^2$
$D=e^{x^2+1}-e^2$
$D=e^{x^2+1}+e^2$

?Intégrales et volumes

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=e^x$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ orthonormal de l'espace. Par rotation autour de l'axe $(O,\overrightarrow{i})$, le domaine plan limité par $(C_f)$, la droite $(O,\overrightarrow{i})$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$ engendrent un solide de révolution, noté$ (S)$. Le volume de $(S)$, unités de volume, est :

$\frac{\pi}{2}(e^2-\frac{1}{e^2})$ unités de volume
$(e^2-\frac{1}{e^2})$ unités de volume
$\frac{\pi}{2}(e^2+\frac{1}{e^2})$ unités de volume

?Intégrales et volumes

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=sin^2 (x)$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ orthonormal de l'espace. Unité graphique 3 $cm$

Par rotation autour de l'axe $(O,\overrightarrow{i})$, le domaine plan limité par $(C_f)$, la droite $(O,\overrightarrow{i})$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=\pi$ engendrent un solide de révolution, noté$ (S)$. Le volume de $(S)$, en $cm^3$ est :

$3\frac{\pi^2}{8}$ $cm^3$
$\frac{\pi^2}{8}$ $cm^3$
$ \frac{81\pi^2}8$ $cm^3 $

?Intégrales et volumes

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=x+\frac{lnx}{x}$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ orthonormal de l'espace. Unité graphique 3 $cm$

Par rotation autour de l'axe $(O,\overrightarrow{i})$, le domaine plan limité par $(C_f)$, la droite $(O,\overrightarrow{i})$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$ engendrent un solide de révolution, noté$ (S)$. Le volume de $(S)$, en $cm^3$ est :

$\pi(\frac{11}{3}+\frac{e^3}{3}-\frac{5}{e})$ $cm^3$
$(\frac{11}{3}+\frac{e^3}{3}-\frac{5}{e})$ $cm^3$
$27\pi(\frac{11}{3}+\frac{e^3}{3}-\frac{5}{e})$ $cm^3$

?Intégrales et volumes

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=x^2$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ orthonormal de l'espace. Par rotation autour de l'axe $(O,\overrightarrow{i})$, le domaine plan limité par $(C_f)$, la droite $(O,\overrightarrow{i})$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$ engendre un solide de révolution, noté$ (S)$. Le volume de $(S)$, unités de volume, est :

$32\frac{\pi}{5}$ $cm^3$
$864\frac{\pi}{5}$ $cm^3$
$27\frac{\pi}{5}$ $cm^3$

?Intégrales et volumes

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x)=\sin x$. Soit $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ orthonormal de l'espace. Par rotation autour de l'axe $(O,\overrightarrow{i})$, le domaine plan limité par $(C_f)$, la droite $(O,\overrightarrow{i})$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=\pi$ engendrent un solide de révolution, noté$ (S)$. Le volume de $(S)$, unités de volume, est :

$\frac{\pi^2}{2}$ $cm^3$
$27\frac{\pi^2}{2}$ $cm^3$
$27\pi^2$ $cm^3$

?Intégrales et inégalités

Soit $f$ une fonction continue sur intervalle $I$ et $a$ et$ b$ des réels de $I$ tels que$ a \leq b$, on a :

$\int_a^b f(x) ~dx \geq0$
$\int_a^b f(x) ~dx \leq0$
Si $f \geq 0$ sur $[a ; b]$ alors $\int_a^b f(x) ~dx \geq 0$

?Intégrales et inégalités

Soient $f$ et $g$ des fonctions continues sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ des réels de $I$ tels que $a \leq b,$ on a :

$\int_a^b f(x)~ dx \leq \int_a^b g(x)~dx$
Si $f \leq g$ sur $[a ; b]$ alors $\int_a^b f(x)~ dx \leq \int_a^b g(x)~dx$
$\int_a^b g(x)~ dx \leq \int_a^b f(x)~dx$

?Intégrales et inégalités

Soit $f$ une fonction continue sur intervalle$ I$ et $a$ et $b$ des réels de$ I$ tels que $a \leq b$, on a :

$\vert \int_a^b f(x) ~dx \vert \leq \int_a^b f(x) ~dx$
$\vert \int_a^b f(x) ~dx \vert \leq \int_a^b \vert f(x) \vert ~dx$
$-\vert \int_a^b f(x) ~dx \vert \leq \int_a^b f(x)~ dx \leq \int_a^b |f(x)|~ dx$

?Intégrales et inégalités

Pour tout$ x$ élément de$ ]0 ; +\infty[$on a :

$\int_x^{x^2} \ln^3(t) ~dt \geq 0$
$\int_{x^2}^x \ln^3(t) ~dt \geq 0$
$\int_x^{x^2} \ln^3(t) ~dt \leq 0$

?Intégrales et inégalités

Soit $F$ la fonction de $[0 ; +\infty[$ dans $\mathbb{R}$ définie par $F(x)=\int_0^x \sin^2(\sqrt{t}) ~dt$

$F$ est positive sur $\mathbb{R}_+$
$F$ est nulle sur $\mathbb{R}_+$
$F$ est négative sur $\mathbb{R}_+$

?Intégrales et inégalités

Soient $f, g$ deux fonctions numériques et $a,b\in\mathbb R $. Cochez les bonnes réponses

Si $f <g$ sur $[a,b]$ alors $\int_a^bf(x)~dx\leqslant \int_a^bg(x)~dx$.
Si $f \leqslant g$ sur $[a,b]$ alors $\int_a^bf(x)~dx\leqslant \int_a^bg(x)~dx$.
Si $f <g$ sur $[a,b]$ alors $\int_a^b~|f(x)|~dx < \int_a^b|g(x)|~dx$.

?Intégrales et inégalités

Soient $f, g$ deux fonctions numériques et $a,b\in\mathbb R $. Cochez les bonnes réponses

$\left | \int_a^bf(x)~dx \right | \leqslant \int_a^b |f(x)|~dx$.
$ \int_a^b |f(x)|~dx \leqslant \left |\int_a^bf(x)~dx\right | $
Si $M$ est un majorant de $| f |$ sur $[a,b]$ alors $\left |\int_a^b f(x)dx\right |\leqslant M(b-a)$
Si $M$ est un majorant de $| f |$ sur $[a,b]$ alors $\left |\int_a^b f(x)~dx\right |= M(b-a)$

?Intégration par parties

Soit $\int_0^\pi xsinx~+dx$. Coche la bonne réponse.

$0$
$\pi$
$2\pi$

?Intégration par parties

Soit $\int_1^elnx~ dx$. Coche la bonne réponse.

$2$
$e$
$1$

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle : $y'=\frac{1}{4}y$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$ke^{\frac{x}{4}}$, $k$ un réel
$ke^{\frac{-x}{4}}$, $k$ un réel
$e^{\frac{x}{4}}+k$, $k$ un réel

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle : $y'=-\frac{5}{2} y$ a pour solutions les fonctions$ f$ qui à$ x$ associent :

$e^{\frac{5}{2}x}$
$ke^{-\frac{5}{2}x}$, $k$ étant un réel
$ke^{\frac{5}{2}x}$, $k$ étant un réel

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle :$ 2y'-11y=0$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$ke^{-\frac{11}{2}x}$, k étant réel
$e^{-\frac{5}{2}x}$
$ke^{\frac{11}{2}x}$, $k$ étant réel

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle :$ 3y+7y'=0$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$ke^{\frac{-3}{7}x}$, $k$ étant un réel
$e^{\frac{-7}{3}x}+k$, $k$ étant un réel
$ke^{\frac{7}{3}x}$, $k$ étant un réel

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle : $-\cos (\alpha)y+y'=0$ $\alpha \in [0 ;2 \pi]$ , a pour solutions les fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$ke^{\cos(\alpha)x}$, $k$ étant réel
$ke^{-\cos(\alpha)x}$, $k$ étant réel
$ke^{x}$, $k$ étant un réel

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle :$ y'' – y' – 6y = 0$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$\alpha e^{-2x}+\beta e^{3x}$ $\alpha$ et $\beta$ étant des réels
$\alpha e^{2x}+\beta e^{3x}$ $\alpha$ et $\beta$ étant des réels
$\alpha e^{2x}+\beta e^{-3x}$ $\alpha$ et $\beta$ étant des réels

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle : $y'' – 2y' + 5y = 0$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$e^x (\alpha \cos(2x)+\beta \sin(2x)$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels
$e^x (\alpha \cos(2x)-\beta \sin(2x)$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels
$e^{-x} (\alpha \cos(2x)+\beta \sin(2x)$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle : $y''+ 4y' +4y = 0$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à$ x$ associent :

$e^{2x}(\alpha+\beta)x$, \$alpha$ et $\beta$ étant des réels.
$e^{-2x}(\alpha+\beta)x$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels.
$e^{2x} (\beta x)$, $\beta$ étant réel

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle : $y'' + 4y' = 0$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à$ x$ associent :

$\alpha e^{-4x}$, $ \alpha$ étant réel.
$\alpha+\beta e^{-4x}$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels
$\alpha+\beta e^{4x}$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle $: 2y'' + 3y + y = 0$ a pour solutions les fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$\alpha e^{-x}+\beta e^{-\frac{x}{2}}$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels
$\alpha e^{x}+\beta e^{-\frac{x}{2}}$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels
$\alpha e^{-x}+\beta e^{\frac{x}{2}}$, $\alpha$ et $\beta$ étant des réels

?EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE SANS SECOND MEMBRE

L'équation différentielle : $y'' - 2 y' + 5y = 0$ telle $f(0) = 1$ et $f '(0) = 3$, a pour solution la fonctions $f$ qui à $x$ associent :

$e^x(\cos(2x)+\sin(2x))$
$e^x(\cos(2x)-\sin(2x))$
$e^{-x}(\cos(2x)+\sin(2x))$

?Produit mixte

Soit $(O,\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})$ un repère orthonormé de l'espace. On considère les vecteurs :

$\overrightarrow{u}(1, -1, 1)$ ; $\overrightarrow{v}(2, 3,-1)$ et $\overrightarrow{w}( 1,2,3)$

Le produit mixte des trois vecteurs ,$\overrightarrow{u}$ , $,\overrightarrow{v}$ $,\overrightarrow{w}$ est :

?Produit mixte

Soit $(O,\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})$ un repère orthonormé de l'espace. On considère les vecteurs :

$\overrightarrow{u}(1, -1, 1)$ ; $\overrightarrow{v}(2, 3,-1)$ et $\overrightarrow{w}( 1,2,3)$

Le produit mixte des trois vecteurs ,$\overrightarrow{u}$ , $,\overrightarrow{v}$ $,\overrightarrow{w}$ est :

?Produit mixte

Soit $(O,\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})$ un repère orthonormé de l'espace. On considère les vecteurs :

$\overrightarrow{u}(1, -1, 1)$ ; $\overrightarrow{v}(2, 3,-1)$ et $\overrightarrow{w}( 1,2,3)$

Le produit mixte des trois vecteurs ,$\overrightarrow{u}$ , $,\overrightarrow{v}$ $,\overrightarrow{w}$ est :

?Produit mixte

Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ de l'espace sont coplanaires si leur produit mixte est différent de $ 0$.

FAUX
RAI

?Produit vectoriel

Soit$ (O,\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})$ un repère orthonormé de l'espace. On considère les vecteurs :

$\overrightarrow{u}(1, -1, 1)$ ; $\overrightarrow{v}(2,3,-1)$ et $\overrightarrow{w} ( 1,2,3)$.

Les coordonnées du produit vectoriel de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$ sont :

$(2, 3, 5)$
$(-2, 3, 5) $
$(-2, -3, 5)$

?Produit vectoriel

Soit $(O,\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})$ un repère orthonormé de l'espace. On considère les vecteurs :

$\overrightarrow{u}(1, -1, 1)$ ; $\overrightarrow{v}(2,3,-1)$ et $\overrightarrow{w}( 1,2,3)$.

Les coordonnées du produit vectoriel de $\overrightarrow{u}$ par $ \overrightarrow{w}$ sont :

$(-5, -2, 3) $
$(-5, 2, 3)$
$(-5-, -2, -3)$

?Produit vectoriel

Coche la ou les réponse(s) vraies.

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et pour tout réel $k$ :

$\overrightarrow{u}\wedge(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{w}$
$(k \overrightarrow{u}) \wedge \overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v})$
$\overrightarrow{u} \wedge (k \overrightarrow{v})=k(\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v})$
$\overrightarrow{u} \wedge \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{u}$

?Produit vectoriel

Soit $(O,\overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})$ un repère orthonormé de l'espace. On considère les vecteurs :

$\overrightarrow{u}(1, -1, 1)$ ; $\overrightarrow{v}(2,3,-1)$ et $\overrightarrow{w}( 1,2,3)$.

Les coordonnées du produit vectoriel de $\overrightarrow{v}$ par $ \overrightarrow{w}$ sont :

$ (11, -7, 1) $
$ (11, 7, 1)$
$(11, -7, -1)$

?Calcul barycentrique

Soient $A, B$ et $C$ des points non alignes, l'ensemble des points $M$ du plan tels que:

$\|3 \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|+\|3 \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MB}\|$ est :

Un cercle de diamètre $[IJ]$, $I$ étant le barycentre de $\{(A, 3) ; (B, 1)\}$ et $J$ celui de $\{(C, 3) ; (B,1)\}.$
Une droite
La médiatrice du segment $[IJ]$, $I$ étant le barycentre de $\{(A, 3) ; (B, 1)\}$ et J celui de $ \{(C, 3) ; (B,1)\}$.

?Calcul barycentrique

$ABCD$ est un rectangle tel que : $AB = 2$ et $BC = 1$.

L'ensemble des points $M$ du plan tels que: $MA^2+ MB^2+ MC^2+ MD^2=10$ est :

Le cercle circonscrit au rectangle $ABCD$
Le cercle de diamètre$ [IA]$, $I$ isobarycentre des points $A, B, C$et$ D$.
Le cercle de centre $I$ passant par $A$, $I$ isobarycentre des points$ A, B, C$et $D$

?Calcul barycentrique

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan, l'ensemble des points$ M$ tels que :

$\frac{MA}{MB}$=$ 1$ est :

Une droite perpendiculaire à la droite $(AB)$.
Une droite qui passe par le milieu du segment$ [AB]$
La médiatrice du segment $[AB]$.

?Calcul barycentrique

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan, l'ensemble des points $M$ tels que :

$\frac{MA}{MB}$= $k$ avec$ k≠1$ et $k≠0$ est :

La médiatrice du segment $[AB]$.
Le cercle de diamètre $[AB$].
Le cercle de diametre$ [IJ],$ $I$ barycentre du système $\{(A, 1) ; (B, k)\}$ et $J$ barycentre du système $ \{(A, 1) ; (B, - k)\}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit les vecteurs représentés ci-dessous.

Quel produit scalaire est égal à 2 ?

$\overrightarrow{u_2}\cdot\overrightarrow{u_3}$
$\overrightarrow{u_2}\cdot\overrightarrow{u_4}$
$\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_6}$
$\overrightarrow{u_3}\cdot\overrightarrow{u_5}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit les vecteurs représentés ci-dessous.

Quel produit scalaire vaut 1 ?

$\overrightarrow{u_2}. \overrightarrow{u_3}$
$\overrightarrow{u_2}. \overrightarrow{u_4}$
$\overrightarrow{u_1}. \overrightarrow{u_6}$
$\overrightarrow{u_3}. \overrightarrow{u_5}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelle doit être la norme du vecteur $\overrightarrow{U}$ pour que le produit scalaire entre les deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ soit égal à 3 ?

Données : $\cos(60°) = \dfrac{1}{2} $

2
3
$\dfrac{2} { \sqrt{3}}$
$\dfrac{1}{2}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelle doit être la norme du vecteur $\overrightarrow{U}$ pour que le produit scalaire entre les deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$ soit égal à 6 ?

Données : $\cos(60°) = \frac{1}{2}$

4
3
$\dfrac{4} {\sqrt{3}}$
$\frac{1}{4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Le travail (en J) effectuée par une force uniforme $\overrightarrow{F}$ (norme en N) appliquée en un solide ponctuel M, lors d'un déplacement $\overrightarrow{l}$ (en m) est égal au produit scalaire $\overrightarrow{F} .\overrightarrow{l}$.

On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$. Le vecteur s'exprime sous la forme $\overrightarrow{F} = F_X \overrightarrow{i} + F_Y \overrightarrow{j}$, avec $F_X = 3$ N, $F_y = -2$ N.

Le solide ponctuel M se déplace suivant un déplacement $\overrightarrow{l} = l_x \overrightarrow{i} + l_y \overrightarrow{j}$, avec $l_x = 1$ m et $l_y = 2$ m.

Calculer le travail de $\overrightarrow{F}$ appliquée au déplacement $\overrightarrow{l}$.

-1 J
7 J
2 J
4 J

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On se place dans un plan muni d'un repère $(O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$. Le vecteur s'exprime sous la forme $\overrightarrow{F} = F_X \overrightarrow{i} + F_Y \overrightarrow{j}$, avec $F_X = -1$ N, $F_y = -3$ N.

Le solide ponctuel M se déplace suivant un déplacement $\overrightarrow{l} = l_x \overrightarrow{i} + l_y \overrightarrow{j}$, avec $l_x = 4$ m et $l_y = -2$ m.

Calculer le travail de $\overrightarrow{F}$ appliquée au déplacement $\overrightarrow{l}$ ?

2 J
-10 J
-2 J
-244 J

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

$\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont deux vecteurs dans le plan tels que représentés sur le schéma suivant.

Que vaut leur produit scalaire $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ ?

$16 \cos(\theta - \alpha)$
$4 \cos(\theta - \alpha)$
$16 \cos(\alpha -\theta)$
$- 4\cos(\theta - \alpha)$
$4 \cos(\theta + \alpha)$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

$\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont deux vecteurs dans le plan tels que représentés sur le schéma suivant.

Que vaut leur produit scalaire $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ ?

$4 \cos(\alpha_2 - \alpha_1)$
$2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1)$
$4 \cos(\alpha_1 - \alpha_2)$
$- 2\cos(\alpha_2 - \alpha_1)$
$2 \cos(\alpha_2 + \alpha_1)$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Le travail (en J) effectuée par une force $\overrightarrow{F}$ (norme en N) appliquée en un solide ponctuel M, lors d'un déplacement $\overrightarrow{L}$ (en m) est égal au produit scalaire $\overrightarrow{F} .\overrightarrow{L}$.

On étudie la force $\overrightarrow{F}$ subie par l'aile d'un avion qui subit un déplacement $\overrightarrow{L}$.

Quelle est l'expression du travail $W$ de cette force ?

$||\overrightarrow{F} || . || \overrightarrow{L} || \cos(\theta - \alpha)$
$\cos(\theta - \alpha)$
$||\overrightarrow{F} || . || \overrightarrow{L} || \cos(\alpha - \theta)$
$||\overrightarrow{F} || . || \overrightarrow{L} || \cos(\alpha)$
$||\overrightarrow{F} || . || \overrightarrow{L} || \cos(\theta)$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Le travail (en J) effectuée par une force $\overrightarrow{T}$ (norme en N) appliquée en un solide ponctuel M, lors d'un déplacement $\overrightarrow{L}$ (en m) est égal au produit scalaire $\overrightarrow{T} .\overrightarrow{L}$.

On étudie la force de traction $\overrightarrow{T}$ subie par skieur qui subit un déplacement $\overrightarrow{L}$.

Quelle est l'expression du travail $W$ de cette force en fonction de $\alpha$ et $\theta$ ?

$||\overrightarrow{T} || . || \overrightarrow{L} || \cos(\theta - \alpha)$
$\cos(\theta - \alpha)$
$||\overrightarrow{T} || . || \overrightarrow{L} || \cos (\alpha - \theta)$
$||\overrightarrow{T} || . || \overrightarrow{L} || \cos(\alpha)$
$||\overrightarrow{T} || . || \overrightarrow{L} || \cos(\theta)$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ dans l'espace, de coordonnées $\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$.

Que vaut le produit scalaire $\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}$ ?

3
6
-6
0

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ dans l'espace, de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}1\\-3\\0\end{pmatrix}$.

Que vaut le produit scalaire $\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}$ ?

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère les vecteurs représentés sur le schéma.

Quels sont les produits scalaires dont la valeur est égale à 2 ?

$\overrightarrow{U_5}. \overrightarrow{U_6}$
$\overrightarrow{U_2}. \overrightarrow{U_5}$
$\overrightarrow{U_1}. \overrightarrow{U_2}$
$\overrightarrow{U_1}. \overrightarrow{U_5}$
$\overrightarrow{U_1}. \overrightarrow{U_6}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère les vecteurs représentés sur le schéma.

Quels sont les produits scalaires dont la valeur est égale à -2 ?

$\overrightarrow{U_5}\cdot \overrightarrow{U_6}$
$\overrightarrow{U_2}\cdot \overrightarrow{U_5}$
$\overrightarrow{U_1}\cdot \overrightarrow{U_2}$
$\overrightarrow{U_3}\cdot \overrightarrow{U_5}$
$\overrightarrow{U_1}\cdot \overrightarrow{U_6}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ et $a,b,c,d$ 4 nombres réels.

Soient deux forces $\overrightarrow{F_1}= a\overrightarrow{i}+ b\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{F_2}= c\overrightarrow{i}+d\overrightarrow{j}$.

Quelle est l'expression qui permet d'obtenir les composantes du vecteur $\overrightarrow{F_1} +\overrightarrow{F_2} $ dans la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ ?

$\overrightarrow{F_1} +\overrightarrow{F_2}= (a+c)\overrightarrow{i}+ (b+d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{F_1} +\overrightarrow{F_2}= (a+d)\overrightarrow{i}+ (b+c)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{F_1} +\overrightarrow{F_2}= (a.c)\overrightarrow{i}+ (b.d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{F_1} +\overrightarrow{F_2}= (a+b)\overrightarrow{i}+ (c+d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{F_1} +\overrightarrow{F_2}= (a-c)\overrightarrow{i}+ (b-d)\overrightarrow{j}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère la base $(\overrightarrow{u_x}, \overrightarrow{u_y})$ et $a,b,c,d$ 4 nombres réels.

Soient deux forces $\overrightarrow{F}= a\overrightarrow{u_x}+ b \overrightarrow{u_y}$ et $\overrightarrow{T}= c\overrightarrow{u_x}+d \overrightarrow{u_y}$.

Quelle est l'expression qui permet d'obtenir les composantes du vecteur $\overrightarrow{F} +\overrightarrow{T} $ dans la base $(\overrightarrow{u_x}, \overrightarrow{u_y})$ ?

$\overrightarrow{F} +\overrightarrow{T}= (a+c)\overrightarrow{u_x}+ (b+d) \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F} +\overrightarrow{T}= (a+d)\overrightarrow{u_x}+ (b+c) \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F} +\overrightarrow{T}= (a.c)\overrightarrow{u_x}+ (b.d) \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F} +\overrightarrow{T}= (a+b)\overrightarrow{u_x}+ (c+d) \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F} +\overrightarrow{T}= (a-c)\overrightarrow{u_x}+ (b-d) \overrightarrow{u_y}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ et $a,b,c,d$ 4 nombres réels.

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{AB}= a\overrightarrow{i}+ b\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{BC}= c\overrightarrow{i}+d\overrightarrow{j}$.

Quel vecteur est correctement exprimé dans la base dans la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ ?

$\overrightarrow{AC}= (a+c)\overrightarrow{i}+ (b+d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{CA}= (a-c)\overrightarrow{i}+ (b-d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{CA}= - (a-c)\overrightarrow{i} - (b-d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{CA}= -(a+c)\overrightarrow{i} - (b+d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{AC}= (a-c)\overrightarrow{i}+ (b-d)\overrightarrow{j}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On considère la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ et $a,b,c,d$ 4 nombres réels.

Soient deux vecteurs forces $\overrightarrow{F_1}= a\overrightarrow{i}+ b\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{F_2}= c\overrightarrow{i}+d\overrightarrow{j}$.

Quel vecteur est correctement exprimé dans la base dans la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ ?

$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}= (a+c)\overrightarrow{i}+ (b+d)\overrightarrow{j}$
$-\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_2}= (a-c)\overrightarrow{i}+ (b-d)\overrightarrow{j}$
$-\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_2}= - (a-c)\overrightarrow{i} - (b-d)\overrightarrow{j}$
$-\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_1}= -(a+c)\overrightarrow{i} - (b+d)\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_1}= (a-c)\overrightarrow{i}+ (b-d)\overrightarrow{j}$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

On désigne par $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ les coordonnées dans la base ($\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$) de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Quelles relations doivent vérifier les nombres réels $x,y,x',y'$ pour que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ?

$x=-x'$ et $y=-y'$
$x=x'$ et $y=y'$
$x-x'=0$ et $y-y'=0$
$x\cdot x'=0$ et $y\cdot y'=0$
$x+x'=0$ et $y+y'=0$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Quelles relations doivent vérifier les nombres réels $x,y,x',y'$ pour que $2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ?

$2x=-x'$ et $2y=-y'$
$2x=x'$ et $2y=y'$
$x-2x'=0$ et $y-2y'=0$.
$x.x'=0$ et $y.y'=0$
$x+2x'=0$ et $y+2y'=0$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

On désigne par $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ les coordonnées dans la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

Quelles relations doivent vérifier les nombres réels $x,y,x',y'$ pour que $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ?

$x=x'$ et $y=y'$
$x-x'=0$ et $y-y'=0$
$x.x'=0$ et $y.y'=0$
$x=-x'$ et $y=-y'$
$x+x'=0$ et $y+y'=0$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Quelles relations doivent vérifier les nombres réels $x,y,x',y'$ pour que $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ?

$x=2x'$ et $y=2y'$
$2x-x'=0$ et $2y-y'=0$
$x.x'=0$ et $y.y'=0$
$x=-2x'$ et $y=-2y'$
$2x+x'=0$ et $2y+y'=0$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées respectives dans $R^2$ $\begin{pmatrix}2a\\-3\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}1\\b\end{pmatrix}$.

$a$ et $b$ étant des nombres réels.

Quel couple de valeurs $(a,b)$ permet d'obtenir que la somme des vecteurs soit le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

$\begin{pmatrix}-0,5\\3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}0,5\\-3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1,5\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1,5\\-1\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées respectives dans $R^2$ $\begin{pmatrix}3a\\-2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-6\\2b\end{pmatrix}$.

$a$ et $b$ étant des nombres réels.

Quel couple de valeurs $(a,b)$ permet d'obtenir que la somme des vecteurs soit le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

$\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Soit $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ de coordonnées respectives dans $R^3$ $\begin{pmatrix}2\\3a\\-b\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}a\\2b\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\2a\\b\end{pmatrix}$, $a$ et $b$ étant des nombres réels.

Quelles valeurs de $a$ et de $b $ permettent d'obtenir que la somme des vecteurs soit le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

$a=-2$ et $b=5$
$a=2$ et $b=-5$
$a=-2$ et $b=-5$
$a=2$ et $b=5$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Soit $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ de coordonnées respectives dans $R^3$ $\begin{pmatrix}2\\a\\-b\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}2a\\b\\0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0\\-2a\\b\end{pmatrix}$, $a$ et $b$ étant des nombres réels.

Quel couple de valeurs $(a,b)$ permet d'obtenir que la somme des vecteurs soit le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

$a = -1$ et $b = -1$
$a = 2$ et $b = -5$
$a = -2$ et $b = -5$
$a = 2$ et $b = 5$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Soient un mobile soumis à trois forces $\overrightarrow{P}, \overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{T}$ de coordonnées respectives dans le repère $(0,\overrightarrow {i}, \overrightarrow {j}) : \overrightarrow {P} : \begin{pmatrix}0\\2a\end{pmatrix}, \overrightarrow {F} : \begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow {T} : \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

$a$ et $b$ étant deux nombres réels.

Quel couple de valeurs $(a,b)$ permet d'obtenir que le vecteur résultant $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}$ soit le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

$\begin{pmatrix}-2\\ 7\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-7\\2\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir de plusieurs relations

Soient un mobile soumis à trois forces $\overrightarrow{P}, \overrightarrow{F}$ et $\overrightarrow{T}$ de coordonnées respectives dans le repère $(0,\overrightarrow {i}, \overrightarrow {j}) : \overrightarrow {P} : \begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}$, $\overrightarrow {F} : \begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$et $\overrightarrow {T} : \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.

$a$ et $b$ étant deux nombres réels.

Quel couple de valeurs $(a,b)$ permet d'obtenir que le vecteur résultant $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{T}$ soit le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

$\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-5\\-6\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-5\\6\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On se place dans $R^3$, avec un repère orthonormé et trois axes $(Ox, Oy, Oz)$.

On considère $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$.

Lesquels de ces vecteurs ont une coordonnée positive suivant $Oy$ ?

$2 \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u} - 2 \overrightarrow{v}$
$- \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$
$a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v}$, quelque soient $a$ et $b$ sont strictement positifs

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On se place dans $R^3$, avec un repère orthonormé et trois axes $(Ox, Oy, Oz)$.

On considère $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$.

Lesquels de ces vecteurs ont une coordonnée positive suivant $Oz$ ?

$2 \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u} - 2 \overrightarrow{v}$
$- \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$
$a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v}$, quelque soient $a$ et $b$ sont strictement positifs

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On se place dans $R^3$, avec un repère orthonormé et trois axes $(Ox, Oy, Oz)$.

On considère $\overrightarrow{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\5\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$.

Lesquels de ces vecteurs ont une coordonnée strictement positive suivant $Ox$ ?

$2 \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{u} - 2 \overrightarrow{v}$
$- \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$
$a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v}$, quelque soient $a$ et $b$ strictement positifs

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de $R^3$ de coordonnées respectives $\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}$.

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ ?

$\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\5\\4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de $R^3$ de coordonnées respectives $\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}$.

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ ?

$\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2\\5\\5\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de $R^3$ de coordonnées respectives $\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$.

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ ?

$\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}6\\1\\-3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-6\\-1\\-3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-6\\-1\\3\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ de $R^3$ de coordonnées respectives $\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}$.

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ ?

$\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}5\\1\\-7\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1\\-1\\-7\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-5\\-1\\-7\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}, et \overrightarrow{v}$ tels que $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$.

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ ?

$\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}6\\1\\-3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-6\\-1\\-3\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-6\\-1\\3\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et$\overrightarrow{v}$ dans $R^3$ tels que $\overrightarrow{u}$ a pour cooordonnées $\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$.

Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{v}$ ?

$\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}5\\-3\\5\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1\\-3\\1\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

D'après le graphique suivant, quelles sont les coordonnées dans $R^2$ du vecteur $\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V}$ ?

$\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$
On n'a pas assez d'éléments pour calculer $\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V}$.
$\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

D'après le graphique suivant, quelles sont les coordonnées dans $R^2$ du vecteur $\overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}$ ?

$\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$
On n'a pas assez d'éléments pour calculer $\overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}$.
$\begin{pmatrix}-7\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On se place dans $R^2$, avec un repère orthonormé et deux axes $(Ox, Oy)$.

Deux forces $\overrightarrow{F_1}$ de norme 60 N et $\overrightarrow{F_2}$ de norme 40 N s'exercent sur un corps au même point d'application M.

Quelles sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{F}$ résultant $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ ?

$\overrightarrow{F}=(60 + 40\cos{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(60 + 40 \sin{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(60 + 40 \cos{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x}+(40 \sin{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(60 + 40 \sin{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(40 \cos{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(60 + 40 \sin{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(60 + 40 \cos{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(40 \cos{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(60 + 40 \sin{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On se place dans $R^2$, avec un repère orthonormé et deux axes $(Ox, Oy)$.

Deux forces $\overrightarrow{F_1}$ de norme 100 N et $\overrightarrow{F_2}$ de norme 50 N s'exercent sur un corps au même point d'application M.

Quelles sont les composantes du vecteur $\overrightarrow{F}$ résultant $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ ?

$\overrightarrow{F}=(50 - 100 \cos{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(50 - 100 \sin{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(50 - 100 \sin{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(50 - 100 \cos{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(- 100 \sin{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(50 - 100 \cos{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(- 100 \cos{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(50 - 100 \sin{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$
$\overrightarrow{F}=(100 \cos{\alpha} )\ \overrightarrow{u_x} +(50 + 100 \sin{\alpha})\ \overrightarrow{u_y}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$.

Dans quel(s) cas a-t-on la relation $\overrightarrow{U}+\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}$ ?

Cas A
Cas B
Cas C
Cas D
Cas E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$.

Quelle représentation vérifie $\overrightarrow{U}+2\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}$ ?

Cas A
Cas B
Cas C
Cas D
Cas E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$.

Quelle représentation vérifie $\overrightarrow{U}-\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}$ ?

Cas A
Cas B
Cas C
Cas D
Cas E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient deux vecteurs $\overrightarrow{U}$ et $\overrightarrow{V}$.

Quelle représentation vérifie $\overrightarrow{U}-2\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}$ ?

Cas A
Cas B
Cas C
Cas D
Cas E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit une rivière dont la vitesse du courant est représentée par $\overrightarrow{U}$. Un nageur traverse la rivière en nageant à la vitesse $\overrightarrow{V}$ perpendiculairement au courant.

Quelle est la représentation du vecteur vitesse du nageur $\overrightarrow{W}$ sachant que $\overrightarrow{W}= \overrightarrow{U}+ \overrightarrow{V}$ ?

Représentation A
Représentation B
Représentation C
Représentation D
Représentation E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelle est la représentation du vecteur déplacement du nageur $\overrightarrow{W}$ sachant que $\overrightarrow{W}= \overrightarrow{U}+ \overrightarrow{V}$ ?

Représentation A
Représentation B
Représentation C
Représentation D
Représentation E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelle est la représentation du vecteur déplacement du nageur $\overrightarrow{W}$ sachant que $\overrightarrow{W}= \overrightarrow{U}+ \overrightarrow{V}$ ?

Représentation A
Représentation B
Représentation C
Représentation D

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelle est la représentation du vecteur déplacement du nageur $\overrightarrow{W}$ sachant que $\overrightarrow{W}= \overrightarrow{U}+ \overrightarrow{V}$ ?

Représentation A
Représentation B
Représentation C
Représentation D
Représentation E

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soient trois vecteurs : $\overrightarrow{U}, \overrightarrow{V}$ et $\overrightarrow{W}$.

Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

$\overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} + \overrightarrow{V}$
$\overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}$
$\overrightarrow{W} = \overrightarrow{V} - \overrightarrow{U}$
$\overrightarrow{W} =- \overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Parmi les vecteurs "somme” suivants, lequel a la plus grande norme ?

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{U_1} + \overrightarrow{U_2}$
$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{U_2} + \overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{U_2} - \overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

On construit des vecteurs résultants en sommant des vecteurs pris sur le graphique ci-dessous.

Parmi les vecteurs "somme” suivants, lequel a la plus petite norme ?

$\overrightarrow{U_1} + \overrightarrow{U_2}$
$\overrightarrow{U_2} + \overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{U_2} - \overrightarrow{U_3}$
$\overrightarrow{U_3} + \overrightarrow{U_4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Un objet ponctuel peut être soumis à plusieurs forces présentées dans le schéma ci-dessous.

Parmi les propositions suivantes, quelle(s) combinaison(s) de forces tire le plus l'objet vers la droite ?

$\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_4}$
$2 \overrightarrow{F_2}$
$\overrightarrow{F_2} - \overrightarrow{F_3}$
$\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Soit un objet ponctuel peut être soumis à plusieurs forces présentées dans le schéma ci dessous.

Parmi les propositions suivantes, quelle(s) combinaison(s) de forces tire le plus l'objet vers le haut ?

$\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_4}$
$2 \overrightarrow{F_2}$
$\overrightarrow{F_2} - \overrightarrow{F_3}$
$\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Un objet ponctuel peut être soumis à plusieurs forces présentées dans le schéma ci-dessous.

Parmi les propositions suivantes, quelle(s) combinaison(s) de forces tire le plus l'objet vers la gauche ?

$\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_4}$
$2 \overrightarrow{F_2}$
$\overrightarrow{F_2} - \overrightarrow{F_3}$
$-\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_4}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Quelle(s) est (sont) la (les) affirmation(s) vraie(s) parmi les propositions suivantes ?

$\overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} +\overrightarrow{V}$
$\overrightarrow{W} = \overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}$
$\overrightarrow{W} = \overrightarrow{V} + 2* \overrightarrow{U}$
$\overrightarrow{W} = \overrightarrow{V} - 2* \overrightarrow{U}$
$\overrightarrow{W} = - \overrightarrow{U} - \overrightarrow{V}$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Trois forces agissent en un point P comme représenté sur la figure. Ces trois forces sont dans un même plan et leur résultante est $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{T_1} + \overrightarrow{T_2} + \overrightarrow{T_3}$.

Quelle est la norme du vecteur force $\overrightarrow{F}$ résultant ?

$||\overrightarrow{F}||=||\overrightarrow{T_1} || + ||\overrightarrow{T_2} || + ||\overrightarrow{T_3} ||$
$||\overrightarrow{F}||^2=||\overrightarrow{T_1} ||^2 + ||\overrightarrow{T_2} ||^2 + ||\overrightarrow{T_3} ||^2$
$||\overrightarrow{F}||=0$
$||\overrightarrow{F}||=\sqrt{||\overrightarrow{T_1} ||+||\overrightarrow{T_2} || + ||\overrightarrow{T_3} ||}$
$||\overrightarrow{F}||=\sqrt{||\overrightarrow{T_1} ||^2+||\overrightarrow{T_2} ||^2 + ||\overrightarrow{T_3} ||^2}$

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Calculatrice autorisée

Le champ de pesanteur terrestre est modélisé par un vecteur$ \vec{g}$ dont la direction est verticale, le sens vers les bas et la norme vaut environ 10 m/s²

Comment peut on écrire la coordonnée $g_z$ de ce vecteur ?

$g_z = 10 m/s²$ dans un repère dont l'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut
$g_z = -10 m/s²$ dans un repère dont l'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut
$g_z = 10 m/s²$ dans un repère dont l'axe vertical (Oz) est orienté vers le bas
$g_z = - 10 m/s²$ dans un repère dont l'axe vertical (Oz) est orienté vers le bas

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Le point M est repéré dans le plan par ses coordonnées $(x,y)$. Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour norme $r$ et forme un angle $\theta$ avec l'axe des abscisses.

$r=5$ cm et $\theta=40$°

Que vaut $x$ ?

4 cm
3,2 cm
6,5 cm
-3,3 cm
3,830 cm

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Le point M est repéré dans le plan par ses coordonnées $(x,y)$. Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour norme $r$ et forme un angle $\theta$ avec l'axe des abscisses.

$x=5$ cm et $\theta=40$°

Que vaut $r$ ?

3,4 cm
7,7 cm
6,5 cm
-7,5 cm
6,527 cm

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Le point M est repéré dans le plan par ses coordonnées $(x,y)$. Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour norme $r$ et forme un angle $\theta$ avec l'axe des abscisses.

$x=3$ cm et $y=4$ cm

Que vaut $r$ ?

7 cm
2,6 cm
5 cm

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Le point M est repéré dans le plan par ses coordonnées $(x,y)$. Le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour norme $r$ et forme un angle $\theta$ avec l'axe des abscisses.

$x=3$ cm et $y=4$ cm

Que vaut $\theta$ ?

37°
25°
0,92 °
0,64°
53,1°

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Un pendule est soumis à la force de tension du fil $\overrightarrow T$ et à son poids $\overrightarrow P$. On veut décrire ces forces dans la base $\left( \overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_\theta}\right)$.

Quelles sont les composantes de $\overrightarrow T$ dans la base $\left( \overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_\theta}\right)$ ?

$\overrightarrow{T}=\begin{pmatrix} -T\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{T}=\begin{pmatrix} 0\\-T\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{T}=\begin{pmatrix} -T\overrightarrow{e_r}\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{T}=\begin{pmatrix} 0\\-T\overrightarrow{e_r}\end{pmatrix}$

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Quelle est la composante de $\overrightarrow P$ selon $ \overrightarrow{e_r}$ ?

$P\cos\theta$
$-P\cos\theta$
$-P\sin\theta$
$P\sin\theta$

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Quelle est la composante de $\overrightarrow P$ selon $ \overrightarrow{e_\theta}$ ?

$P\cos\theta$
$-P\cos\theta$
$-P\sin\theta$
$P\sin\theta$

?Représenter une grandeur physique avec un vecteur

Dans un référentiel terrestre R supposé galiléen, on étudie le mouvement d'une bille roulant sans glisser sur un dôme hémisphérique (voir figure). La bille est en contact ponctuel avec le dôme au point A. On repère les composantes des vecteurs dans la base de vecteurs unitaires $\left( \overrightarrow{e_\rho},\overrightarrow{e_\theta}\right)$.

Quelles sont les composantes du vecteur $\overrightarrow{AC}$ dans la base $\left( \overrightarrow{e_\rho},\overrightarrow{e_\theta}\right)$ ?

$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} r\\\theta\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}\mbox{ }\begin{pmatrix} r\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}\mbox{ }\begin{pmatrix} r \cdot \overrightarrow{e_\rho}\\ \theta\cdot \overrightarrow{e_\theta}\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}\mbox{ }\begin{pmatrix} r \cdot \overrightarrow{e_\rho}\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}=r \overrightarrow{e_\rho}$

?Points cocycliques

Soient $A, B, C$ et $D$ quatre points 2 à 2 distincts et non alignés, $M$ un point différent de ces points. $A, B, C$ et D appartiennent au cercle de centre $M$ si, et seulement si :

$M A= MB = MC = MD $
$MA = MB = MC$
$MA = MB = MD$

?Points cocycliques

4 points $A, B, C$ et $D$ d'affixes respectifs, $a, b, c$ et $d$, 2 à 2 distincts sont cocycliques ou alignés si, et seulement si,

$\frac{c-a}{c-b}=\frac{d-a}{d-b}$ est un réel
$\frac{c-a}{c-b}=\frac{d-a}{d-b}$ est un imaginaire pur
$\frac{c-a}{c-b}$ est un réel

?Linéarisation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\cos ^2(x)=\frac{\cos (2x)-1}{2}$
$\cos ^2(x)=\frac{\cos (2x)+1}{2}$
$\cos ^2(x)=-\frac{\cos (2x)-1}{2}$

?Linéarisation

Coche la ou les bonne(s) réponses

$\cos ^3(x)=- \frac{1}{4} \cos (3x)+\frac{3}{4} \cos(x)$
$\cos ^3(x)= \frac{1}{4} \cos (3x)-\frac{3}{4} \cos(x)$
$\cos ^3(x)= \frac{1}{4} \cos (3x)+\frac{3}{4} \cos(x)$

?Linéarisation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\sin ^3(x)=- \frac{1}{4} \sin (3x)-\frac{3}{4} \sin(x)$
$\sin ^3(x)=- \frac{1}{4} \sin (3x)+\frac{3}{4} \sin(x)$
$\sin ^3(x)=+ \frac{1}{4} \sin (3x)-\frac{3}{4} \sin(x)$

?Linéarisation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\cos ^4(x)= \frac{1}{8} \cos (4x)+\frac{4}{8} \cos(2x)+\frac{2}{8}$
$\cos ^4(x)=- \frac{1}{8} \cos (4x)+\frac{4}{8} \cos(2x)+\frac{2}{8}$
$\cos ^4(x)= \frac{1}{8} \cos (4x)+\frac{4}{8} \cos(2x)-\frac{2}{8}$

?Linéarisation

Coche la ou les bonne(s) réponse(s)

$\cos ^3(x) \sin (x)= \frac{1}{4} \sin (2x)-\frac{1}{8} \sin(x)$
$\cos ^3(x) \sin (x)= \frac{1}{4} \sin (2x)+\frac{1}{8} \sin(x)$
$\cos ^3(x) \sin (x)= -\frac{1}{4} \sin (2x)+\frac{1}{8} \sin(x)$

?Linéarisation

Coche la bonne réponse

$\cos^3(x)\sin^2(x)=\frac{2\cos x-\cos(5x)-\cos(3x)}{16}$
$\cos^3(x)\sin^2(x)=\frac{\cos x-\cos(5x)-\cos(3x)}{16}$
$\cos^3(x)\sin^2(x)=\frac{2\cos x+\cos(5x)-\cos(3x)}{16}$

?Linéarisation

Coche la bonne réponse

$\cos^2(x)\sin^3(x)=\frac{\sin(3x}{16}-\frac{\sin(x)}{2}-\frac{sin(5x)}{16}$
$\cos^2(x)\sin^3(x)=\frac{\sin(3x)}{16}+\frac{\sin(x)}{2}-\frac{sin(5x)}{16}$
$\cos^2(x)\sin^3(x)=\frac{\sin(3x}{16}+\frac{\sin(x)}{2}+\frac{sin(5x)}{16}$

?Linéarisation

Coche la bonne réponse

$\cos(x)\sin^4(x)=\frac{\cos (5x)-3\cos(3x)-2\cos(x)}{16}$
$\cos(x)\sin^4(x)=\frac{\cos (5x)-\cos(3x)+2\cos(x)}{16}$
$\cos(x)\sin^4(x)=\frac{\cos (5x)-3\cos(3x)+2\cos(x)}{16}$

?Linéarisation

Coche la bonne réponse

$\cos x\sin(3x)=\frac{2\sin(2x)-\sin(4x)}{8}$
$\cos x\sin(3x)=\frac{\sin(2x)-\sin(4x)}{8}$
$\cos x\sin(3x)=\frac{2\sin(2x)+\sin(4x)}{8}$

?Linéarisation

Coche la bonne réponse

$\cos^4(x)\sin(3x)=\frac{1}{64}(-\sin(5x)-\sin(7x)+6\sin(3x)-6\sin(x))$
$\cos^4(x)\sin(3x)=\frac{1}{64}(-\sin(5x)+\sin(7x)+6\sin(3x)-6\sin(x))$
$\cos^4(x)\sin(3x)=\frac{1}{8}(-\sin(5x)-\sin(7x)+6\sin(3x)-6\sin(x))$

?Forme exponentielle

Coche la ou les bonnes réponses

$\frac{\sqrt{6}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}~e^{-i\frac{\pi}{6}}$
$-\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}~e^{i\frac{\pi}{6}}$
$-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=-e^{i\frac{2\pi}{3}}$
$-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$
$-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=e^{i\frac{4\pi}{3}}$
$1+i=e^{i\frac{\pi}{6}}$
$1+i=e^{i\frac{\pi}{4}}$
$1-i=\sqrt{2}~e^{i\frac{\pi}{4}}$
$1-i=\sqrt{2}~e^{-i\frac{\pi}{4}}$
$1+i\sqrt{3}=2e^{i\frac{\pi}{3}}$

?Forme exponentielle

Soit le nombre complexe $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}}$

La forme exponentielle de $z_1$ est $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}}$
La forme exponentielle de $z_1$ est $z_1=-4e^{i\frac{\pi}{4}}$
La forme exponentielle de $z_1$ est $z_1=4e^{-i\frac{\pi}{4}}$

?Forme exponentielle

Soit le nombre complexe $z_2=3ie^{i\frac{\pi}{6}}$

La forme exponentielle de $z_2$ est : $z_2=3e^{i\frac{\pi}{3}}$
La forme exponentielle de $z_2$ est : $z_2=3e^{i\frac{2\pi}{4}}$
La forme exponentielle de $z_2$ est : $z_2=3e^{i\frac{\pi}{6}}$

?Forme exponentielle

Soit le nombre complexe $z=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}$

La forme exponentielle de $z$ est : $z=2e^{i\frac{5\pi}{3}}$
La forme exponentielle de $z$ est : $z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$
La forme exponentielle de $z$ est : $z=2e^{i\frac{\pi}{6}}$

?Forme exponentielle

Soit les nombres complexes $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_2=3ie^{i\frac{\pi}{6}}$

La forme exponentielle de $z_1×z_2$ est : $z_1\times z_2=12e^{i\frac{11\pi}{12}}$
La forme exponentielle de $z_1×z_2$ est : $z_1\times z_2=12e^{i\frac{2\pi}{3}}$
La forme exponentielle de $z_1×z_2$ est : $z_1\times z_2=12e^{i\frac{\pi}{24}}$

?Forme exponentielle

Soient les nombres complexes $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}}$, $z_2=3ie^{i\frac{\pi}{6}}$ et $z_3=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}$

La forme exponentielle de $\frac{z_1 \times z_2}{z_3}$ est $\frac{z_1 \times z_2}{z_3}=6e^{i\frac{11\pi}{6}}$
La forme exponentielle de $\frac{z_1 \times z_2}{z_3}$ est $\frac{z_1 \times z_2}{z_3}=6e^{i\frac{9\pi}{12}}$
La forme exponentielle de $\frac{z_1 \times z_2}{z_3}$ est $\frac{z_1 \times z_2}{z_3}=6e^{-i\frac{3\pi}{4}}$

?Forme exponentielle

Soit le nombre complexe $z_1=1+e^{ia}$, $a \in [0 ;\pi]$

forme exponentielle de$ z_1$ est :$ z_1$ est $z_1=2\cos(\frac{a}{2})~e^{i\frac{a}{2}}$
forme exponentielle de$ z_1$ est :$ z_1$ est $z_1=-2\cos(\frac{a}{2})~e^{i\frac{a}{2}}$
forme exponentielle de$ z_1$ est :$ z_1$ est $z_1=\cos(\frac{a}{2})~e^{i\frac{a}{2}}$

?Forme exponentielle

Soit le nombre complexe $z_2=1-e^{ia}$, $a \in [0 ;\pi]$

La forme exponentielle de$ z_2$ est : $z_2=-2i\sin(\frac{a}{2})~e^{i\frac{a}{2}}$
La forme exponentielle de$ z_2$ est : $z_2=-2i\sin(\frac{a}{2})~e^{i(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{2})}$
La forme exponentielle de$ z_2$ est : $z_2=2i\sin(\frac{a}{2})~e^{i(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{2})}$

?Forme exponentielle

Soit le nombre complexe $z=e^{ia}+e^{ib}$ $a \in [0 ;\pi]$ et $b \in [0 ;\pi]$

La forme exponentielle de $z$ est :$ z=2\cos (\frac{(a-b)}{2}~e^{i\frac{a-b}{2}}$
La forme exponentielle de $z$ est :$ z=-2\cos (\frac{(a-b)}{2}~e^{i\frac{a-b}{2}}$
La forme exponentielle de $z$ est :$ z=2\cos (\frac{(a-b)}{2}~e^{i\frac{a+b}{2}}$

?Forme exponentielle

Soit le ombre complexe $z=\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}$ $a \in [0 ;\pi]$ et $b \in [0 ;\pi]$

La forme exponentielle de $z$ est :$ z=\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{b}{2})}~e^{i\frac{a-b}{2}}$
La forme exponentielle de $z$ est :$ z=\frac{\cos (\frac{b}{2})}{\cos (\frac{a}{2})}~e^{i\frac{a-b}{2}}$
La forme exponentielle de $z$ est :$ z=\frac{\cos (\frac{a}{2})}{\cos (\frac{b}{2})}~e^{i\frac{a+b}{2}}$

?Variables aléatoires

$P(X = 6)$ est égal à :

$\frac{6}{36}$
$\frac{3}{7}$
$\frac{3}{6}$

?Statistiques

On soumet un litre de sang à différentes valeurs de pression partielle en dioxygène$ (PO_2 )$, on mesure alors le volume de dioxygène fixé sur l'hémoglobine. Les résultats sont reproduits dans le tableau ci-dessous :

$PO_2$ (en kPa)	1,4	3	4,2	5,6	7,4	8,4
Volume d'$O_2$ fixé sur l'hémoglobine (en mL par litre de sang)	16	56	110	148	160	170

Le point moyen a pour coordonnées $(6 ; 110)$
Le coefficient de corrélation est $ 0,961$
La droite de regression de $y$ en $x$ a pour équation : $y = 32x -2$

?Statistiques

On soumet un litre de sang à différentes valeurs de pression partielle en dioxygène $(PO_2 )$, on mesure alors le volume de dioxygène fixé sur l'hémoglobine. Les résultats sont reproduits dans le tableau ci-dessous :

$PO_2$ (en kPa)	1,4	3	4,2	5,6	7,4	8,4
Volume d$'O_2$ fixé sur l'hémoglobine (en mL par litre de sang)	16	56	110	148	160	170

Le point moyen a pour coordonnées $(6 ; 110)$
Le coefficient de corrélation est $ 0,72$
La droite de régression de y en x a pour équation :$ y = 22,48x -2,41$

?Statistiques

On considère le tableau obtenu à partir du précédent en indiquant le rang de l'année et la consommation de pain correspondante :

Année	1950	1960	1970	1980	1985	1990	1995	1996
Rang de l'année : $x_i$	0	10	20	30	35	40	45	46
Consommation de pain en kg par an et par habitant $:y_i$	121,7	100,0	80,3	70,6	66,3	63,4	59,6	60,0

Le point moyen a pour coordonnées $(28,25 ; 71,487)$
Le coefficient de corrélation est 0,652
La droite de régression de $y$ en $x$ a pour équation : $y = 1,076x +101,907$

?Statistiques

On considère le tableau obtenu à partir du précédent en indiquant le rang de l'année et la consommation de pain correspondante :

Année	1950	1960	1970	1980	1985	1990	1995	1996
Rang de l'année : $x_i$	0	10	20	30	35	40	45	46
Consommation de pain en kg par an et par habitant $:y_i$	121,7	100,0	80,3	70,6	66,3	63,4	59,6	60,0

Le point moyen a pour coordonnées $(- 28,25 ; 71,487)$
Le coefficient de corrélation est $-0,652$
La droite de régression de y en x a pour équation :$ y = 1,076x +101,907$

?Statistiques

6. On considère le tableau obtenu à partir du précédent en indiquant le rang de l'année et la consommation de pain correspondante :

Année	1950	1960	1970	1980	1985	1990	1995	1996
Rang de l'année : $x_i$	0	10	20	30	35	40	45	46
Consommation de pain en kg par an et par habitant $:y_i$	121,7	100,0	80,3	70,6	66,3	63,4	59,6	60,0

Le point moyen a pour coordonnées $(28,25 ; - 71,487)$
Le coefficient de corrélation est $ 0,652$
La droite de régression de y en x a pour équation : $y = - 1,076x +101,907$

?Encadrement d'une suite numérique

Pour tout entier naturel $n$, on donne $ U_{n} = 2^n$ et $V_n = n^2$ . Cocher la bonne réponse

$ U_n≤ V_n$ pour tout entier naturel $n$
$ U_{n} \geq V_n$ pour tout entier naturel $n $
$ U_{n} \geq V_n$ pour tout entier naturel $n \geq 4$

?Encadrement d'une suite numérique

Pour tout entier naturel $n$, on donne $U_n = 3^n$ et $V_n = n^3$ . Cocher la bonne réponse

$U_n \leq V_n$ pour tout entier naturel $n$.
$U_n \geq V_n$ pour tout $n \geq 0$
$ U_n > V_n$ pour tout entier naturel $n$

?Encadrement d'une suite numérique

Soit la suite $(U_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par :$ U_n =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+.....+\frac{1}{n^2}$ Pour tout entier naturel, on a :

$U_n \leq 2-\frac{1}{n}$
$U_n \geq 2-\frac{1}{n}$
$U_n \leq -\frac{1}{n}$

?Suites numériques

Soit $U_n$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $U_0=1$ et $U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}$

La suite $(U_n )$ est convergente
La suite $(U_n )$ est divergente
La limite de $(U_n )$ quand n tend vers $+\infty$ est 1

?Suites numériques

Soit $U_n$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $U_0=1$ et $U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n+1$

$(U_n )$ converge 2
$(U_n)$ est divergente
La limite de $U_n$ quand n tend vers $+\infty$ est 1.

?Suites numériques

Soit la suite $(U_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $U_0=\frac{1}{2}$ et $U_{n+1}=\frac{e^{U_n}}{U_n+2}$

La suite$ (U_n )$ est divergente
Pour tout entier naturel n :$0 \leq U_n \leq 1$
$U_n$ est décroissante

?Suites numériques

Soit la suite U_n définie sur$ \mathbb{N}$ par : $U{n+1}=U_n-U_n^2$

La suite$ (U_n)$ est croissante
La suite$ (U_n)$ est décroissante
La suite$ (U_n)$ n'est ni croissante ni décroissante

?Suites numériques

Soit la suite $(U_n$ ) définie sur $\mathbb{N}$ par : $U_{n+1}=ln(1+U_n)$

La suite ($U_n$ ) est croissante
La suite ($U_n$ ) est décroissante
La suite $(U_n$) n'est ni croissante ni décroissante

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

Soit $(u_n)$ la suite définie par : pour tout $n\geqslant 1$, $u_n=\dfrac 1{2^n}$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

$u_1= 1$
$u_1=0.5$
La somme des $n$ premiers termes est : $1-\dfrac 1{2^n}$
La somme des $n$ premiers termes est : $\dfrac 12\left(1-\dfrac 1{2^n}\right)$
La somme des $n$ premiers termes est : $2\left(1-\dfrac 1{2^n}\right)$

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

Soit $(u_n)$ la suite définie par : pour tout $n\in\mathbf{N}$, $u_n=\dfrac 1{2^n}$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

$u_0= 0$
$u_0=1$
La somme des termes $u_0+u_1+\cdots+u_n$ vaut: $2\left(1-\dfrac 1{2^n}\right)$
La somme des termes $u_0+u_1+\cdots+u_n$ vaut: $2\left(1-\dfrac 1{2^{n+1}}\right)$
La somme des termes $u_0+u_1+\cdots+u_n$ vaut: $\dfrac 12\left(1-\dfrac 1{2^{n+1}}\right)$

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

On considère la somme $S$ définie par $\displaystyle\sum_{k=10}^{100} k=10+11+\cdots+100$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

$S=5005$
$S=1100$
$S=5000$
$S=2021$
$S=3000$

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

On considère la somme $S$ définie par $\displaystyle\sum_{k=11}^{101} k=11+12+\cdots+101$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

$S=\displaystyle\sum_{k=10}^{100} k$
$S=3005$
$S=5005$
$S=5096$
$S=4095$

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

On considère la somme $S$ définie par $\displaystyle\sum_{k=0}^{100} k$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{101} k$
$S=101$
$S=1001$
$S=5151$
$S=4095$

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

On considère la somme $S$ d'une suite arithmétique $(u_n)$: $u_{10}+u_{11}+\cdots+u_{30}$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

$S=u_{30}-u_{9}$
$S=u_{30}-u_{10}$
$S=\dfrac{u_{30}+u_{10}}{2} $
$S=u_{10}\times\dfrac{u_{10}+u_{30}}{2} $
$S=21\times\dfrac{u_{10} + u_{30}}{2} $

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

On considère la somme $S$ d'une suite arithmétique $(u_n)$: $u_{10}+u_{11}+\cdots+u_{30}$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

Si on connaît la raison et un terme quelconque de la somme, on peut calculer $S$.
Si on connaît seulement $u_10$ et $u_{30}$ sans connaître la raison, on peut calculer $S$
Si on connaît la raison et le nombre de termes, on peut toujours calculer la somme d'une suite arithmétique.

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

On considère la somme $S$ d'une suite géométrique $(u_n)$: $u_{10}+u_{11}+\cdots+u_{30}$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

Si on connaît la raison et un terme quelconque de la somme, on peut calculer $S$.
Si on connaît deux termes quelconques sans connaître la raison, on peut calculer $S$
Si on connaît la raison et le nombre de termes, on peut toujours calculer la somme d'une suite géométrique.

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

On considère la somme $S$ d'une suite géométrique $(v_n)$: $v_{10}+v_{11}+\cdots+v_{30}$. Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

$S=\dfrac{v_{30}}{v_{9}}$
$S=\dfrac{v_{30}}{v_{10}}$
$S=\sqrt{\dfrac{v_{30}}{v_{10}} } $
$S=v_{10}\times\dfrac{1-v_{30}^{20}}{1-v_{30}}$
Si $a$ est la raison, $S=v_{10}\times\dfrac{q^{21} - 1}{q-1} $

?Suites - Suites arithmétiques et suites géométriques

Cochez les bonnes réponses parmi les propositions suivantes.

La suite de terme $u_{n}=(1-\sqrt 2)^n$ est une suite géométrique
La suite de terme $u_{n}=(1-\sqrt 2)^n$ est une suite arithmétique
La suite de terme $u_{n}=(1-\sqrt 2)^n$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique

Questions d'analyse

?Question

En informatique, un nombre entier $\textstyle{n}$ est codé par une suite $\textstyle{l_i}$ de $\textstyle{0}$ et de $\textstyle{1}$ appelés bits de sorte que $\textstyle{n=l_0+2l_1+2^2l_2+\cdots}$ . Par exemple, $\textstyle{13}$ est codé par $\textstyle{(1,0,1,1)}$ car $\textstyle{13=1+0\times 2+2^2+2^3}$

On appelle octet un regroupement de $\textstyle{8}$ bits. En allumant un ordinateur, une case mémoire de la taille d'un octet est initialisée de telle sorte que chaque bit de cet octet prend la valeur $\textstyle{1}$ avec probabilité $\textstyle{p}$ , où $\textstyle{0<p<1}$ , et ce, de façon indépendante des autres bits. On note $\textstyle{X}$ la variable aléatoire donnant la valeur de l'entier dont cet octet est l'écriture en base $\textstyle{2}$

L'ensemble des valeurs possibles prises par $\textstyle{X}$ est $\textstyle{\{0, \ldots, 255\}}$
La probabilité que $\textstyle{X}$ soit pair est de $\textstyle{\frac{1}{2}}$
$\textstyle{\mathbb{P}(X>3)=1-(1-p)^6}$

?Question

Tous les élèves d'une classe de $\textstyle{35}$ étudient au moins une langue, allemand, anglais ou espagnol. $\textstyle{11}$ parlent allemand, $\textstyle{20}$ anglais et $\textstyle{14}$ espagnol. Parmi eux, $\textstyle{5}$ parlent anglais et espagnol, $\textstyle{4}$ anglais et allemand et $\textstyle{3}$ espagnol et allemand. On tire un élève au hasard dans la classe. Quelle est la probabilité qu'il parle les trois langues?

$\textstyle{0}$
$\textstyle{\dfrac2{35}}$
On ne peut pas savoir

?Question

Une urne contient $\textstyle{5}$ cartons portant les numéros, $\textstyle{1}$ , $\textstyle{2}$ , $\textstyle{3}$ , $\textstyle{4}$ et $\textstyle{5}$ . On tire au hasard, successivement et sans remise $\textstyle{3}$ cartons. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un numéro pair ?

$\textstyle{\dfrac25}$
$\textstyle{\dfrac9{10}}$
$\textstyle{\dfrac15}$

?Question

Le domaine de définition de la fonction $f$ de la variable réelle définie par $f:x\mapsto\ln(\sqrt{x}-\sqrt{2-x})$ est

$\mathbb{R}_+$
$]1,2]$
$[1,2]$
$[0,2]$

?Question

Grâce à la l'étude de la fonction $f:x \mapsto \frac{\ln(x)}{x}$, on peut affirmer que l'équation $3\ln(x)=x $

admet une unique solution dans $\mathbb{R} $
admet deux solutions dans $\mathbb{R} $
admet une infinité de solutions dans $\mathbb{R} $
n'admet aucune solution dans $\mathbb{R} $

?Question

On admet qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ différent de $1$ et de $-3$, on ait l'égalité $\frac{x}{(x-1)(x+3)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+3}+\frac{c}{(x+3)^2}.$ On en déduit que

pour tout $x$ différent de $1$ et de $-3$, on $(a+b)x^2+(6a+2b+c)x+9a-3b-c=x $
$ a=\frac{1}{16}$
$ b=\frac{1}{16}$
$ c=\frac{1}{4}$

?Question

L'équation ${\rm e}^{2x}- 7{\rm e}^{x}+1=0$

admet deux solutions réelles distinctes
n'admet pas de solution réelle
admet une unique solution réelle
admet une infinité de solutions réelles

?Question

Soit$ (v_n)_{n\ge 0}$ une suite réelle géométrique de raison $\frac{2}{3}$. On définit la suite$ (w_n)_{n\ge 0}$ en posant $w_0= v_0$ et $w_{n+1}= w_n+v_{n+1}$ pour $n\ge 0 $

La suite $(w_n)$ est une suite géométrique
La suite$ (w_n)$ est une suite arithmétique
La suite $(w_n)$ est convergente et on a$ \lim_{n\to+\infty}w_n=3 v_0 $
La suite$ (w_n)$ est convergente et on a $\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=\frac{2}{3}v_0 $

?Question

Quelle que soit la suite réelle arithmétique $(u_n)_{n\ge 0}$, on a

$ u_1+u_2+u_3= u_6+ 2u_0$
$ u_0+u_1+ u_2+u_3= {1+u_4\over 1+u_0}$
$ u_1+u_2+u_3= u_6 $
$ u_1 +u_3= 2u_2$

?Question

La suite récurrente définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1}=0.5u_n+1$ et $u_0=0$ est :

croissante et majorée
croissante et divergente
croissante et convergente vers $1$

?Question

Pour tout nombre complexe non nul $z$, notons par $\overline z$ le conjugué de $z$

En général, le nombre complexe $z^3-\overline z^3$ est :

nul.
un nombre réel.
un nombre imaginaire pur.
un nombre complexe de module $1$.

?Question

On donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie par $f(x)=(\sin x)(2\cos x-1)$.

$-\frac14 (2\cos x-1)^2$ est une primitive de $f(x)$
$(-\cos x)(2 \sin x-x)$ est une primitive de $f(x)$
$\int_0^{3\pi/2}f(x)dx=0$
L'aire coloriée est égale à 4 unités d'aire

?Question

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb R$, et soit $a<b$. On suppose que $\int_a^bf(t)dt\leq\int_a^bg(t)dt$. Alors

pour tout $x \in [a ;b]$, on a $f(x)\leq g(x)$
pour tout $x\in [a ;b]$, on a $\int_a^xf(t)dt\leq \int_a^xg(t)dt$.
si $f$ et $g$ sont positives sur $[a ;b]$, alors on a $\int_a^x f(t)dt\leq\int_a^xg(t)dt$ pour tout $x\in [a ;b]$.
l'intégrale $\int_a^b(g(t)-f(t))dt$ est positive.

?Question

Soit $a>0$, $a\neq1$.

On a $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}\displaystyle \int_a^{a^2}xe^{-x^2}dx=0$
On a $\lim\limits_{a \rightarrow + \infty} \displaystyle\int_a^{a^2}xe^{-x^2}dx=0$
On a $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}\displaystyle \int_a^{a^2}xe^{-x^2}dt=0$
On a $\lim\limits_{a \rightarrow + \infty} \displaystyle\int_a^{a^2}xe^{-x^2}dt=+\infty$

?Question

Soit $a>1$ un réel.

On a $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \int_x^{x^2}\frac{\ln(a)}{a}dt=0$
On a $\lim\limits_{a \rightarrow + \infty} \int_x^{x^2}\frac{\ln(a)}{a}dt=0$
On a $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \int_a^{a^2}\frac{\ln(x)}{x}dx=+\infty$
On a $\lim\limits_{a \rightarrow + \infty} \int_a^{a^2}\frac{\ln(x)}{x}dx=+\infty$

?Les maïs nains

Les maïs nains sont homozygotes pour un gène récessif a qui représente 22 % des allèles à ce locus dans une population échantillonnée. Si on croise deux grands individus pris au hasard dans cette population, est-il possible d'obtenir des individus nains et avec quelle probabilité ?

Choisissez l'intervalle dans lequel se situe la probabilité d'avoir des descendants nains ?

[0 ; 0,05[
[0,05 ; 0,10[
[0,10 ; 0,15[
> 0,15

?Diagnostic prénatal 1

La mucoviscidose est une maladie génétique due à un allèle muté du gène CFFR. Cet allèle est à l'origine d'une diminution du transport des ions chlorure à travers la membrane des cellules des muqueuses. Le mucus sécrété par ces cellules, déshydraté et visqueux, obture alors les voies aériennes et digestives.

En Europe, un enfant est atteint sur 2 500 naissances.

Arbre généalogique d'une famille touchée par la mucoviscidose

Quelle est la probabilité pour l'individu IV₁ à naître d'être malade ?

0.0004
0.065
0.0125
0.0348
0.135

?Diagnostic prénatal 2

En Europe, un enfant est atteint sur 2 500 naissances.

Arbre généalogique d'une famille touchée par la mucoviscidose

Quelle est la probabilité pour l'individu IV₂ à naître d'être malade ?

0.0120
0.098
0.196
0.0004
0.0348

?Diagnostic prénatal 3

En Europe, un enfant est atteint sur 2 500 naissances.

Arbre généalogique d'une famille touchée par la mucoviscidose

Quel est le risque pour le couple II ₁ et II ₂ (couple génération II complètement à gauche) d'avoir un garçon atteint par la maladie ?

0.0004
0.0014
0.0058
0.098
0.0106

?Matrices

Soit $a,b\in \mathbb{R}$, $A=\left(\begin{array}{rcc}a&1&b\\0&a&2\\ 0&0&a\\ \end{array}\right)$ et $N= A-aI$, où $I= \left(\begin{array}{rcc}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)$. Quelles sont les assertions vraies ?

$N^k = 0$, pour tout entier $k\ge 3$.
On ne peut pas appliquer la formule du binôme pour le calcul de $A^n$.
Pour tout entier $n \ge 2,$ $\displaystyle A^n =a^nI+na^{n-1}N+\frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}N^2 $.
Pour tout entier $n \ge 2,$ $A^n=\left(\begin{array}{rcc}a^n&na^{n-1}&na^{n-1}b+n(n-1)a^{n-2}\\0&a^n&2na^{n-1}\\ 0&0&a^n\\ \end{array}\right)$.

?Matrices

Soit $A= \left(\begin{array}{rcc}1&2&3\\0&1&2\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)$ et $N= A-I$, où $I= \left(\begin{array}{rcc}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)$. On considère $3$ suites récurrentes $(u_n)_{n\ge 0}$, $(v_n)_{n\ge 0}$ et $(w_n)_{n\ge 0}$ définies par $u_0,v_0,w_0$ des réels donnés et pour $n \ge 1$ : $(\mathtt{S})\left\{\begin{array}{rcc}u_n&=&u_{n-1}+2v_{n-1}+3w_{n-1}\\v_n&=&v_{n-1}+2w_{n-1}\\ w_n&=&w_{n-1} \\\end{array}\right.$

Quelles sont les assertions vraies ?

$N^k = 0$, pour tout entier $k\ge 2$.
Pour tout entier $n \ge 2$, $A^n =I+nN+\frac{n(n-1)}{2}N^2 $
Pour tout entier $n \ge 0$, $(\mathtt{S}) \left\{\begin{array}{rcc}u_n&=&u_0+2nv_0+3nw_0\\v_n&=&v_0+2nw_0\\ w_n&=&w_0 \\\end{array}\right.$
Pour tout entier $n \ge 0$, $(\mathtt{S}) \left\{\begin{array}{rcc}u_n&=&u_0+2nv_0+n(2n+1)w_0\\v_n&=&v_0+2nw_0\\ w_n&=&w_0 \\\end{array}\right.$

?MatriceS

On considère ${\cal F}$ l'espace vectoriel des fonctions réelles engendré par les fonctions $f_1, \; f_2$ et $f_3$ définies par : $f_1(x)=1, \; f_2(x)=e^x$ et $f_3(x)=xe^x$. Soit $\phi$ l'application linéaire définie : $\begin{array}{rccc}\phi:& {\cal F}&\to& {\cal F}\\& f&\to &f+f'-f'' \end{array}$, où $f'$ (resp. $f''$) est la dérivée première (resp. seconde) de $f$. On notera $M$ la matrice de $\phi$ dans la base ${\cal B}=\{f_1, f_2,f_3\}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$M=\left(\begin{array}{rcc}1&0&0\\0&1&-1\\ 0&0&1\\\end{array}\right)$.
Le rang de la matrice $M$ est $2$.
$\phi $ est bijective.
$M$ est inversible et $M^{-1} = \left(\begin{array}{rcc}1&0&0\\0&1&1\\ 0&0&1\end{array}\right)$.

?Fonction majorée/minorée (2)

Soient $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

Mais attention bornée signifie à la fois majorée et minorée

Si $f$ est bornée et $g$ majorée alors $f-g$ est bornée.
Si $f$ bornée et $g$ majorée alors $f-g$ est minorée.
Si $f$ et $g$ sont minorées, alors $f \times g$ est minorée.
Si $f$ et $g$ sont minorées, alors $|f \times g|$ est bornée.

?Fonctions : domaine de définition (4)

Soient $f : ]-\infty,0[ \to ]0,1[$ et $g : ]-2,2[ \to ]0,+\infty[$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

Le domaine de définition de $x \mapsto g\big(f(2x)\big)$ est $]-1,1[$.
Le domaine de définition de $x \mapsto g\big( \ln (f(x)) \big)$ est $]0,+\infty[$.
Le domaine de définition de $x \mapsto \frac{g(x+1)}{f(x)}$ est $]-3,0[$.
Le domaine de définition de $x \mapsto \frac{f(x) \times g(x)}{f(x)+g(x)}$ est $]-2,0[$.

?Fonctions - continuité en un point (3)

Parmi les propriétés suivantes, quelles sont celles qui impliquent que $f$ est continue en $x_ 0$ ?

$f(x)^2 \to f(x_0)^2$ (lorsque $x \to x_0$)
$f(x)^3 \to f(x_0)^3$ (lorsque $x \to x_0$)
$E(f(x)) \to E(f(x_0))$ (lorsque $x \to x_0$)
$\exp(f(x)) \to \exp(f(x_0))$ (lorsque $x \to x_0$)

?Fonctions - continuité en un point (4)

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite. Quelles sont les assertions vraies ?

Si $u_n \to \ell$ et $f$ continue en $\ell$, alors $f(u_n)$ admet une limite.
Si $f(u_n) \to f(\ell)$ et $f$ est continue en $\ell$, alors $u_n \to \ell$.
Si $u_n \to \ell$ et $f(u_n)$ n'a pas de limite, alors $f$ n'est pas continue en $\ell$.
Si pour toute suite qui vérifie $u_n \to \ell$, on a $f(u_n) \to f(\ell)$, alors $f$ est continue en $\ell$.

?Fonctions - zéros de fonction (5)

Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue (avec $a < b$). Quelles assertions sont vraies ?

Si $f(a) \cdot f(b) < 0$ et $f$ croissante alors $f$ s'annule une unique fois sur $[a,b]$.
Si $f(a) \cdot f(b) < 0$ et $f$ n'est pas strictement monotone alors $f$ s'annule au moins deux fois sur $[a,b]$.
Si $f(a) \cdot f(b) < 0$ alors $f$ s'annule un nombre fini de fois sur $[a,b]$.
Si $f(a) \cdot f(b) < 0$ et $f$ strictement décroissante, alors $f$ s'annule une unique fois sur $[a,b]$.

?Fonction bijective (1)

Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ une fonction continue telle que : elle est strictement croissante sur $]-\infty,0]$ ; strictement décroissante sur $[0,1]$ ; strictement croissante sur $[1,+\infty[$. En plus $\lim_{x\to-\infty} f = - \infty$, $f(0)=2$, $f(1) = 1$ et $\lim_{x\to+\infty} f = 3$. Quelles sont les assertions vraies ?

La restriction $f_| : ]-\infty,0] \to ]-\infty,2]$ est bijective.
La restriction $f_| : [1,+\infty[ \to [1,+\infty[$ est bijective.
La restriction $f_| : [0,1] \to [1,2]$ est bijective.
La restriction $f_| : ]0,+\infty] \to [1,3[$ est bijective.

?Fonction bijective (3)

Soit $f : I \to J$ une fonction continue, où $I$ et $J$ sont des intervalles de $\mathbf{R}$. Quelles sont les assertions vraies ?

Si $f$ surjective et strictement croissante, alors $f$ est bijective.
Si $f$ bijective, alors sa bijection réciproque $f^{-1}$ est continue.
Si $f$ bijective et $I=\mathbf{R}$, alors $J$ n'est pas un intervalle borné.
Si $f$ bijective et $J$ est un intervalle fermé et borné, alors $I$ est un intervalle fermé et borné.

?Dérivée seconde ou plus (1)

Soit $x\in R\setminus\{-1\} $ et soit $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle f''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}$
$\displaystyle f''(x)=\frac{-2}{(1+x)^3}$
pour $n\in \mathbf{N}^*$, $\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{n}{(1+x)^{n+1}}$
pour $n\in \mathbf{N}^*$, $\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}$

?Fonctions réelles - dérivée en un point (3)

Soit $a,b\in \mathbf{R}$ et $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\displaystyle \mathrm{e}^{x^2+x}&\mbox{si }x\leq 0\\ \\ a \arctan x+b &\mbox{si }x > 0.\end{array}\right.$ Quelles valeurs faut-il donner à $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable sur $\mathbf{R}$ ?

$a=1$ et $b=0$
$a=0$ et $b=1$
$a=0$ et $b=0$
$a=1$ et $b=1$

?Dérivabilité des fonctions réelles - fonction constante sur un intervalle

Soit $f(x)=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}$ définie sur $\mathbf{R}^*$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\forall x\in \mathbf{R}^*$, $f'(x)=0$
$\forall x\in \mathbf{R}^*$, $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}$
La fonction $f$ est paire.
$\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}$ si $x > 0$ et $\displaystyle f(x)=-\frac{\pi}{2}$ si $x < 0$

?Dérivée sur un intervalle

Soit $f$ une fonction continue sur $[-1,1]$ telle que $f(0)=\pi$ et, pour tout $x\in ]-1,1[$, $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Comment peut-on exprimer $f$ ?

$f(x)=\sqrt{1-x^2}-1+\pi$
$f(x)=\arcsin (x)+\pi$
$\displaystyle f(x)=-\arccos x+\frac{3\pi}{2}$
Une telle fonction $f$ n'existe pas.

?Dérivabilité des fonctions réelles - théorème de Rolle (4)

Soit $f$ une fonction réelle continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et telle que $f(a)=f(b)=0$. Soit $\alpha \notin [a,b]$ et $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x-\alpha }$.

On peut appliquer le théorème de Rolle à $g$ sur $[a,b]$.
Il existe $c\in ]a,b[$ tel que $\displaystyle f'(c)=\frac{f(c)}{c-\alpha}$.
Il existe $c\in ]a,b[$ tel que la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $c$ passe par $(\alpha ,0)$.
La dérivée de $g$ est $\displaystyle g'(x)=\frac{f'(x)}{(x-\alpha )^2}$.

?Dérivabilité des fonctions réelles - étude convexité (2)

Soit $f$ la fonction logarithme népérien. Quelles sont les bonnes réponses ?

$f''(x)$ s'annule au moins une fois sur $\mathbf{R}^{+*}$.
$f$ est convexe sur $\mathbf{R}^{+*}$.
$f$ est concave sur $\mathbf{R}^{+*}$.
$\forall t\in [0,1]$ et $\forall x,y\in \mathbf{R}$, on a : $\mathrm{e}^{tx+(1-t)y}\leq t\mathrm{e}^x+(1-t)\mathrm{e}^y$.

?Fonctions réelles : calcul de dérivée (6)

Soit $f(x)=\arcsin (1-2x^2)$ définie sur $[-1,1]$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\forall x\in [-1,1]$, $\displaystyle f'(x)=\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$
$\forall x\in [-1,1]$, $\displaystyle f(x)=-2\arcsin x+\frac{\pi}{2}$
$f'_d(0)=-2$ et $f'_g(0)=2$
La fonction $f$ est paire avec $\displaystyle f(x)=-2\arcsin x+\frac{\pi}{2}$ si $x\in [0,1]$.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=(1+x)^{1/(\mathrm{e}^x-1)}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0)\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\displaystyle DL_2(0)(\mathrm{e}^x-1)=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_2(0)\frac{\ln (1+x)}{\mathrm{e}^x-1}=1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_2(0)f(x)=\mathrm{e}.\mathrm{e}^{-x+x^2/2+o(x^2)}=\mathrm{e}-\mathrm{e}.x+\mathrm{e}.x^2+o(x^2)$.
$\displaystyle DL_2(0)f(x)=\mathrm{e}-\mathrm{e}.x+\frac{7\mathrm{e}}{6}x^2+o(x^2)$.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-1}$. On considère la fonction $g$ définie par $\displaystyle g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Pour $0 < t < 1$, $\displaystyle g(t)=\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t^2}}{t}$ et $\displaystyle DL_2(0^+)g(t)=\frac{1}{2}+\frac{3t}{8}+o(t^2)$.
$\displaystyle DL_2(+\infty)f(x)=\frac{1}{2}+\frac{3}{8x}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.
$\displaystyle DL_2(+\infty)f(x)=\frac{1}{2}+\frac{3}{8x}+\frac{1}{16x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.
$\displaystyle DL_2(-\infty)f(x)=\frac{1}{2}-\frac{3}{8x}+\frac{1}{16x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=\arctan\left(\frac{x}{x+1}\right)$. On considère la fonction $g$ définie par $\displaystyle g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Pour $0 < t$, $\displaystyle g(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan (1+t)$ et $\displaystyle DL_1(0)g'(t)=-\frac{1}{2}+\frac{t}{2}+o(t)$.
$\displaystyle DL_2(0^+)g(t)=-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{4}+o(t^2)$.
$\displaystyle DL_2(+\infty)f(x)=-\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.
$\displaystyle DL_2(+\infty)f(x)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

?Développements limités

Soient $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ et $\displaystyle g(t)=f\left(\frac{1}{t}\right)$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle g(t)=\frac{\ln (1+t)}{t-t^2}$.
$\displaystyle DL_2(0)g(t)=1+\frac{t}{2}+\frac{t^2}{2}+o(t^2)$.
$\displaystyle DL_2(0)(+\infty)f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.
$\displaystyle DL_2(0)(+\infty)f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{5}{6x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

?Développements limités

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=x\arctan x$ et $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $\displaystyle y=\frac{\pi}{2}x-1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_3(0^+)g(x)=\frac{\pi}{2}-x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}g(x)=\frac{\pi}{2}$ et $g$ se prolonge par continuité en $0$.
Au voisinage de $+\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé au dessus de $\Delta$.
Au voisinage de $-\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé au dessus de $\Delta$.

?Développements limités

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=x^2\arctan \frac{1}{1+x^2}$ et $\displaystyle g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $\displaystyle y=1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0^+)g(x)=1+2x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0^+}g(x)=1$ et $\displaystyle \lim _{x\to 0^-}g(x)=-1$.
Au voisinage de $+\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé au dessus de $\Delta$.
Au voisinage de $-\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé en dessous de $\Delta$.

?Développements limités

Soit $\displaystyle f(x)=x\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)$. On considère la fonction $g$ telle que $\displaystyle g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$ et on note $\Gamma$ le graphe de $f$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_2(0^+)g(x)=1-\frac{5x^2}{6}+o(x^2)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}g(x)=1$ et $g$ se prolonge par continuité en $0$.
$\Gamma$ admet la droite d'équation $\displaystyle y=1$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.
$\Gamma$ admet la droite d'équation $\displaystyle y=1$ comme asymptote au voisinage de $-\infty$.

?Développements limités

On considère les fonctions $f$ et $g$ telles que $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}\mathrm{e}^{1/(x+1)}$ et $\displaystyle g(x)=xf\left(\frac{1}{x}\right)$. On note $\Gamma$ le graphe de $f$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x+1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle DL_3(0^+)g(x)=1+x+\frac{2}{3}x^3+o(x^3)$.
$\displaystyle \lim _{x\to 0}g(x)=1$ et $g$ se prolonge par continuité en $0$.
Au voisinage de $+\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé au dessus de $\Delta$.
Au voisinage de $-\infty$, $\Gamma$ admet la droite $\Delta$ comme asymptote et $\Gamma$ est situé au dessus de $\Delta$.

?Équations différentielles du premier ordre

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $(x+1)y'+y=2x+1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

La solution générale de $(E)$ sur $]-1,+\infty[$ est : $\displaystyle y=x+\frac{k}{x+1}$, $k\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E)$ sur $]-\infty,-1[$ est :$\displaystyle y=x+\frac{k}{x+1}$, où $k\in \mathbb{R}$.
Les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $\displaystyle y=x+\frac{k}{x+1}$, où $k\in \mathbb{R}$.
$(E)$ possède une infinité de solutions sur $\mathbb{R}$.

?Équations différentielles du premier ordre

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $(1-x^2)y'-(1+x)y=1$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

La solution générale de $(E)$ sur $]-\infty ,-1[$, $]-1,1[$ ou $]1,+\infty[$ est : $\displaystyle y=\frac{k+\ln |1+x|}{1-x},\; k\in \mathbb{R}$.
L'équation $(E)$ admet une solution sur $\mathbb{R}$.
L'équation $(E)$ admet une solution sur $]-\infty ,1[$.
L'équation $(E)$ admet une unique solution sur $]-1,+\infty [$.

?Équations différentielles du premier ordre

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $x(1-x)y'+y=x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

La solution générale de l'équation homogène sur $]1,+\infty[$ est $\displaystyle y=\frac{k(x-1)}{x}$, $k\in \mathbb{R}$.
La fonction $\displaystyle y=\frac{1-x}{x}\ln |1-x|+\frac{1}{x}$ est une solution de $(E)$ sur $]1,+\infty[$.
L'équation $(E)$ admet une infinité de solutions sur $]-\infty ,1[$.
L'équation $(E)$ admet une solution sur $]0,+\infty[$.

?Équations différentielles du second ordre

On considère les équations différentielles $(E_1)\; :\; xy''+2(x+1)y'+(x+2)y=2\mathrm{e}^{-x}\quad\mbox{et}\quad (E_2)\; :\; y''+2y'+y=2\mathrm{e}^{-x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Si $y$ est une solution de $(E_1)$, alors $\displaystyle z=xy$ est une solution de $(E_2)$.
$(E_2)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a\mathrm{e}^{-x}$, $a\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_1)$ sur $]0,+\infty[$ est $\displaystyle y=\left(x+a+\frac{b}{x}\right)\mathrm{e}^{-x}$, $a,b\in \mathbb{R}$.
Toute solution de $(E_1)$ sur $]0,+\infty[$ se prolonge par continuité en $0$.

?Équations différentielles du second ordre

On considère les équations différentielles $(E_1)\; :\; xy''+2y'-xy=2\mathrm{e}^{x}\quad\mbox{et}\quad (E_2)\; :\; z''-z=2\mathrm{e}^{x}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Si $y$ est une solution de $(E_1)$, alors $\displaystyle z=xy$ est une solution de $(E_2)$.
$(E_1)$ admet une solution particulière sous la forme $\displaystyle y_0=a\mathrm{e}^{x}$, $a\in \mathbb{R}$.
La solution générale de $(E_1)$ sur $]0,+\infty[$ est $\displaystyle y=\left(\frac{a}{x}+1\right)\mathrm{e}^{x}+\frac{b}{x}\mathrm{e}^{-x}$, $a,b\in \mathbb{R}$.
$(E_1)$ n'admet pas de solution sur $\mathbb{R}$.

?Ensembles, applications

Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides et $f$ une application de $E$ dans $F$. Soient $A,B$ deux sous-ensembles de $E$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$
$f(A\cup B)\varsubsetneq f(A)\cup f(B)$
$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$
$f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$

?Fonctions usuelles - Domaine de définition (2)

Soit $ f(x)= \sqrt{\frac{1-x}{2-x}} $ et $g(x)=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{2-x}}$. On notera $D_f$ et $D_g$ le domaine de définition de $f$ et $g$ respectivement. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=]-\infty, 1] \cup ]2,+\infty[$
$D_f= [1,2[$
$D_g=]-\infty, 1]$
$D_g=]-\infty, 2[$

?Fonctions usuelles - inéquation

Soit $(E)$ l'inéquation : $ \ln |1+x|-\ln |2x+1| \le \ln 2$. Quelles sont les assertions vraies ?

Toutes les solutions de $(E)$ sont dans $]-\frac{1}{2}, +\infty[$.
L'ensemble des solutions de $(E)$ est : $ ]-1,-\frac{3}{5}] \cup ]-\frac{1}{3}, + \infty[$.
L'ensemble des solutions de $(E)$ est $]-\infty, -1[ \cup ]-1,-\frac{3}{5}] $.
L'ensemble des solutions de $(E)$ est : $]-\infty, -1[ \cup ]-1,-\frac{3}{5}] \cup [-\frac{1}{3}, + \infty[$.

?Fonctions usuelles - étude de fonction (4)

Soit $f(x)= \arctan x + \arctan (\frac{1}{x})$. Quelles sont les assertions vraies ?

Le domaine de définition de $f$ est $\mathbf{R}^*$.
$f$ est une fonction constante.
$\forall x\in \mathbf{R}^*, \, f(x)=\frac{\pi}{2}$
$\forall x > 0, \, f(x)= \frac{\pi}{2}$

?Fonctions usuelles - étude de fonction (6)

Soit $f(x)=x+ \sqrt{ 1-x^2}$. Quelles sont les assertions vraies ?

Le domaine de définition de la fonction $f$ est $[-1,1]$.
$f$ est croissante sur $[-1,1]$.
$f$ établit une bijection de $[0,1]$ dans $[1,\sqrt 2]$.
$f$ établit une bijection de $[-1,\frac{1}{\sqrt 2}]$ dans $[-1,\sqrt 2]$.

?Fonctions usuelles - équation trigonométrique (1)

Soit $(E)$ l'équation : $ \cos 2x = \sin x. $On note $\cal{S}$ l'ensemble des solutions de $(E).$ Quelles sont les assertions vraies ?

Le domaine de définition des fonctions $cos$ et $sin$ est $\mathbb{R}.$
$ \{\frac{\pi}{6} +\frac{ 2k\pi}{3}, \, k\in \mathbf{Z} \} \subset {\cal{S}} .$
${\cal{S}} = \{ -\frac{\pi}{2} +2k\pi, \, k\in \mathbf{Z} \}.$
${\cal{S}} = \{ -\frac{\pi}{2} +k\pi, \, k\in \mathbf{Z} \}.$

?Fonctions usuelles - équation trigonométrique (2)

Soit $f$ une fonction solution de l'équation $(E)$ : $ \arcsin f(x) + \arcsin x = \frac{\pi}{2}$. on notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f= [-1,1]$
$\forall x \in [-1,1], \, f(x)= -\sqrt{1-x^2}$
$\forall x \in [0,1], \, f(x)= \sqrt{1-x^2}$
$f$ est une bijection de $[0,1]$ dans $[0,1]$.

?Fonctions usuelles - trigonométrie (3)

Soit $f(x)= \arcsin (\frac{2x}{1+x^2})$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=[-1,1]$
$D_f=\mathbf{R}$
Si $x \in [-1,1] $, $f(x) = 2 \arctan x$
Si $x \ge 1 $, $f(x) = -2 \arctan x+\pi$

?Fonctions usuelles - trigonométrie (4)

Soit $f(x)= \arccos (\frac{1-x^2}{1+x^2})$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f= \mathbf{R}$
$D_f=[-1,1]$
$ f(x)= 2\arctan x+2\pi, \, \forall x\le 0$
$f(x) = -2\arctan |x|+2\pi, \, \forall x \in \mathbf{R}$

?Fonctions usuelles - trigonométrie (5)

Soit $f(x)= \arcsin (\sin x) + \arccos (\cos x)$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=[-1,1]$
$\forall x \in \mathbf{R}, \, f(x)=2x$
$\forall x \in [-\frac{\pi}{2}, 0], \, f(x) = 0$
$\forall x \in [-\pi, -\frac{\pi}{2}], \, f(x) = -\pi -2x$

?Fonctions usuelles - étude de fonction (5)

Soit $f(x)= \exp ( \frac{\ln^2 |x|}{\ln^2 |x|+1})$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=]0,+\infty[$
$f$ est paire.
$f$ est croissante sur $]0,+\infty[$.
$f$ est une bijection de $]0,1]$ dans $[1,e[$.

?Fonctions usuelles - étude de fonction (6)

Soit $f(x)= x^x(1-x)^{1-x}$. On notera $D_f$ le domaine de définition de $f$. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=]0,1[$
L'ensemble des valeurs de $f$ est $[\frac{1}{2},1[$.
$f$ est croissante $]0,1[$.
$f$ est une bijection de $[\frac{1}{2},1[ $ dans $[\frac{1}{2},1[$.

?Fonctions usuelles - étude de fonction (7)

Soit $f(x)= (1+\frac{1}{x})^x$. Quelles sont les assertions vraies ?

$D_f=]0,+\infty[$
$\forall x > 0, 1 < f(x) < e$
$\forall x > 0, f(x) > e$
$\forall x < -1, f(x) > e$

?Géométrie du plan - base orthonormée

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère les vecteurs $\displaystyle \vec{u}=\left(\frac{1}{2},a\right)$ et $\displaystyle \vec{v}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},b\right)$. Comment choisir les réels $a$ et $b$ pour que $(\vec{u},\vec{v})$ soit une base orthonormée directe ?

$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\displaystyle b=\frac{1}{2}$
$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\displaystyle b=-\frac{1}{2}$
$\displaystyle a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\displaystyle b=\frac{1}{2}$
$\displaystyle a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\displaystyle b=-\frac{1}{2}$

?Intégration par parties

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=-\arcsin (x)+k$, $k\in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=x\sqrt{1-x^2}+\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$.
L'égalité $x^2=(x^2-1)+1$ donne : $\displaystyle \int \frac{x^2\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=-\arcsin x-\int \sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x$.
Une primitive de $\displaystyle \sqrt{1-x^2}$ sur $]-1,1[$ est $\displaystyle \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin (x)$.

?Intégration par parties

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Le changement de variable $\displaystyle t=\sqrt{x}$ donne $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x+1)^2}=\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}$.
$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}t}{t^2+1}=\frac{t}{t^2+1}+\int \frac{2t^2\, \mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}$.
$\displaystyle \int \frac{2\, \mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}=\frac{t}{t^2+1}+\arctan t+k$, $k\in \mathbb{R}$.
Une primitive de $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}(x+1)^2}$ sur $]0,+\infty[$ est $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}+\arctan \sqrt{x}\right)$.

?Intégrale définie

On pose $\displaystyle I=\int _0^{\pi}\mathrm{e}^x\cos ^2x\mathrm{d}x$, $\displaystyle J=\int _0^{\pi}\mathrm{e}^x\sin ^2x\mathrm{d}x$ et $\displaystyle K=\int _0^{\pi}\mathrm{e}^x\cos (2x)\mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

A l'aide de deux intégrations par parties successives, on obtient : $\displaystyle K=\mathrm{e}^{\pi}-1-4K$ et donc $\displaystyle K=\frac{\mathrm{e}^{\pi}-1}{5}$.
$\displaystyle I+J=\mathrm{e}^{\pi}$ et $I-J=K$.
$\displaystyle I=\frac{6\mathrm{e}^{\pi}-1}{10}$.
$\displaystyle J=\frac{4\mathrm{e}^{\pi}+1}{10}$.

?Intégrale définie

Soit $f$ la fonction définie par $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(4+x^2)^2}$. On pose $\displaystyle I=\int _0^2f(x)\,\mathrm{d}x$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

On a : $\displaystyle \frac{2}{8^2}\leq I$ et $\displaystyle I > \frac{2}{4^2}$.
Le changement de variable $x=2t$ donne $\displaystyle I=\int _0^1\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^2}$.
$\displaystyle I=\frac{1}{16}\left(\left[\frac{t}{1+t^2}\right]_0^1+\int _0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}\right)$.
$\displaystyle I=\frac{2+\pi}{64}$.

?Intégrale définie

Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

Le changement de variable $\displaystyle t=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ donne : $\displaystyle \int _0^{1/2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\mathrm{d}x=\int _1^{\sqrt{3}}\frac{4t^2\, \mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}$.
$\displaystyle \int _1^{\sqrt{3}}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+1}=\frac{\pi}{6}$.
$\displaystyle \int _1^{\sqrt{3}}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+1}=\left[\frac{t}{1+t^2}\right]_1^{\sqrt{3}}+\int _1^{\sqrt{3}}\frac{2t^2\mathrm{d}t}{(t^2+1)^2}$.
$\displaystyle \int _0^{1/2}\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+1$.

?Primitives des éléments simples

Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On note $\displaystyle F_n(x)=\int _0^x\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+1)^n}$ et $\displaystyle I_n=\int _1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{d}x}{x\left(\ln ^2x+1\right)^n}$. Parmi les affirmations suivantes, cocher celles qui sont vraies :

$\displaystyle F_{n}(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2n\int _0^x\frac{t^2\,\mathrm{d}t}{(t^2+1)^{n+1}}$.
$\displaystyle F_1(x)=\arctan x$ et $\displaystyle F_2(x)=\left(\arctan x\right)^2$.
Le changement de variable $t=\ln x$ donne $\displaystyle I_n=F_n(1)$.
$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{4}$ et $\displaystyle I_2=\left(\frac{\pi }{4}\right)^2$.

?Limites des fonctions réelles

Soit $f(x)= \frac{\sqrt x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to 0^+} f(x)=0$
$\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
$f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$

?Limites des fonctions réelles

Soit $f(x)= x-\frac{|x|}{x}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to 0} f(x)=0$
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$f$ n'admet pas de limite en $0$.
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$

?Limites des fonctions réelles

Soit $f(x)= \frac{x}{|x-1|}-\frac{3x-1}{|x^2-1|}$. Quelles sont les assertions vraies ?

$\lim_{x\to 1} f(x)=0$
$\lim_{x\to 1} f(x)=1$
$f$ n'admet pas de limite en $-1$.
$\lim_{x\to -1} f(x)=+\infty$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $f(x)= \frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$f$ n'admet pas de limite en $0$
$\lim_{x\to 0} f(x)=\frac{3}{4}$
$\lim_{x\to 0} f(x)= \frac{4}{3}$
$\lim_{x\to 0} f(x)=0$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $f(x)= xE(\frac{1}{x})$, où $E$ désigne la partie entière. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$\lim_{x\to 0} f(x)=0$
$\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty$
$f$ n'admet pas de limite en $0$.
$\lim_{x\to 0} f(x)=1$

?Limites des fonctions réelles

Soit $f$ une fonction définie sur $[0,1]$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x-1,& \mbox{si} \, x \in \mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}\\ 1,& \mbox{si} \, x \in \mathbf{Q} \end{array}\right.$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$\lim_{x\to 0} f(x)=1$
$\lim_{x\to 0} f(x)=0$
$\lim_{x\to 0} f(x)=-1$
$f$ n'admet pas de limite en $0$.

?Limites des fonctions réelles

Soit $f$ une fonction définie sur $]0,1[$ par : $f(x)=1$, si $x \in \mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}$ et $f(x)=\frac{1}{m},$ si $x= \frac{n}{m},$ où $n, m \in \mathbf{N}^*$ tels que $ \frac{n}{m}$ soit une fraction irréductible. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$\lim_{x\to 1^-} f(x)=0$
$f$ n'admet pas de limite en $1^-$.
$\lim_{x\to 1^-} f(x)=1$
$\lim_{x\to 1^-} f(x)=+\infty$

?Limites des fonctions réelles - étude d'une fonction croissante

Soit $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ une fonction croissante. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
$f$ admet une limite en $+\infty$.
Si $f$ est majorée, $f$ admet une limite finie en $+\infty$.
Si $f$ est non majorée, $\lim_{x\to +\infty } f(x)=+\infty$.

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $f(x)= \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$\lim_{x\to 0} f(x)=0$
$\lim_{x\to 0} f(x)=\frac{3}{2}$
$f$ n'admet pas de limite en $0$.
$\lim_{x\to 0} f(x)=+\infty$

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini

Soit $f(x)=x+\sqrt[5]{1-x^5}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$\lim_{x\to +\infty } f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to -\infty } f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=0$

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini

Soit $f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-ax\sqrt{x+b}, \, a,b \in \mathbf{R}$. $f$ admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si :

$ a > 0 $ et $b > 0$
$a=1$ et $b > 0$
$a=1$ et $b=2$
$a=1$ et $b=0$

?Limites des fonctions réelles - limite en un point

Soit $f$ la fonction définie sur $]\frac{3}{2}, +\infty[ \setminus \{2\}$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2},& \mbox{si} \, x < 2 \\ \frac{\sqrt{2x-3}-b}{x-2},& \mbox{si} \, x > 2 \end{array}\right.$. $f$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $2$ si et seulement si :

$a=2$ et $b=1$
$a > 0$ et $b > 0$
$a=2$ et $b > 0$
$a=0$ et $b=1$

?Limites des fonctions réelles - limite en l'infini

Soit $f(x)=\frac{(2x)^x}{x^{(2x)}}$. Quelles sont les assertions (ou propositions) vraies ?

$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{x\to +\infty } f(x)=0$
$f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
$\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$

?Nombres complexes - trigonométrie

Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?

$\cos^3\theta= \frac{1}{8}(\cos(3\theta) +3\cos \theta)$
$\cos^3\theta= \frac{1}{4}(\cos(3\theta) + 3\cos \theta)$
$\sin^3\theta= \frac{1}{4}(3\sin \theta - \sin(3\theta))$
$\sin^3\theta= \frac{1}{4}(3\sin \theta + \sin(3\theta))$

?Nombres complexes -trigonométrie

Soit $\theta$ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?

$\cos(5\theta)= \cos^5\theta -10\cos^3\theta \sin^2\theta + 5\cos \theta\sin^4 \theta$
$\cos(5\theta)= \cos^5\theta +10\cos^3\theta \sin^2\theta + 5\cos \theta\sin^4 \theta$
$\sin(5\theta)= 5\cos^4\theta \sin\theta+10\cos^2\theta \sin^3\theta + \sin^5\theta$
$\sin(5\theta)= 5\cos^4\theta \sin\theta-10\cos^2\theta \sin^3\theta + \sin^5\theta$

?Nombres complexes - module/argument

Soit $z=1+ e^{i\theta},\theta \in ]-\pi,\pi[$. Quelles sont les assertions vraies ?

$|z|=2 $
$|z|=2\cos(\frac{\theta}{2}) $
$\arg z = \frac{\theta}{2} \, [2\pi]$
$\arg z = \theta \, [2\pi]$

?Nombres complexes - module/argument

Soit $x\in \mathbf{R}\backslash \{2k\pi, k \in \mathbf{Z}\}$, $n \in \mathbf{N}^*$, $S_1= \sum_{k=0}^{n} \cos(kx)$ et $S_2= \sum_{k=0}^{n} \sin(kx)$. Quelles sont les assertions vraies ?

$S_1= \cos (\frac{nx}{2})\cdot \frac{\sin (\frac{n+1}{2})x}{\sin (\frac{x}{2})}$
$S_1= \sin (\frac{nx}{2}) \cdot \frac{\sin (\frac{n+1}{2})x}{\sin (\frac{x}{2})}$
$S_2=\sin (\frac{nx}{2}) \cdot \frac{\sin (\frac{n+1}{2})x}{\sin (\frac{x}{2})}$
$S_2= \cos (\frac{nx}{2}) \cdot \frac{\sin (\frac{n+1}{2})x}{\sin (\frac{x}{2})}$

?Nombres complexes - équations

Les racines cubiques de $1+i$ sont :

$z_k=\sqrt[3]{2}e^{i(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3})}, k=0,1,2$
$z_k=\sqrt[6]{2}e^{i(\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3})}, k=0,1,2$
$z_k=\sqrt[6]{2}e^{i(\frac{\pi}{12}-\frac{2k\pi}{3})}, k=0,1,2$
$z_k=\sqrt[3]{2}e^{i(\frac{\pi}{12}-\frac{2k\pi}{3})}, k=0,1,2$

?Nombres complexes - module/argument

Soit $z\in \mathbf{C}$ tel que $|z-2|=1$. Quelles sont les assertions vraies ?

$z=3$
$z=1$
$z=2+e^{i\theta}$, $\theta \in \mathbf{R}$
Le point du plan d'affixe $z$ appartient au cercle de rayon $1$ et de centre le point d'affixe $2$.

?Nombres complexes - équations

On considère l'équation $(E) : \, (z^2+1)^2+z^2=0, \, z\in \mathbf{C}$. L'ensemble des solutions de $(E)$ est :

$\{ \pm \frac{1+\sqrt5}{2}i \, ,\, \pm \frac{1-\sqrt5}{2}i\}$
$\{\pm \frac{1+\sqrt5}{2} \, , \, \pm \frac{1-\sqrt5}{2}\}$
$\{\pm \frac{1+\sqrt3}{2}i \, , \, \pm \frac{1-\sqrt3}{2}i\}$
$\{\pm \frac{1+\sqrt3}{2} \, , \, \pm \frac{1-\sqrt3}{2}\}$

?Suites réelles - limites

Soit $n \in \mathbb N^*$ et soit $\displaystyle u_n=n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$ et $\displaystyle v_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=\mathrm{e}$

?Suites réelles - calcul de limites

Soit $n$ un nombre entier non nul et soit $\displaystyle u_n=\frac{2^{n+1}-3^{n+1}}{2^n+3^n}$ et $\displaystyle v_n=\frac{n2^{2n}-3^n}{n2^{2n}+3^n}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=-3$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=+ \infty$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=-3$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=+\infty$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=-\infty$ et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}v_n=1$

?Suites réelles - étude d'une suite

Soit $n\in\mathbb {N^*}.$ Soit $\displaystyle u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

Pour tout $n\geq 1$, on a $\displaystyle u_n\leq 2-\frac{1}{n}$.
La suite $(u_n)$ est divergente.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$
La suite $(u_n)$ est convergente et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n\leq 2$.

?Suites réelles - étude de la limite

Soit $(u_n)$ une suite réelle. On suppose que $\displaystyle |u_{n+1}-1|\leq \frac{1}{2}|u_n-1|$ pour tout $n\geq 0$. Que peut-on en déduire ?

La suite $(u_n)$ est convergente et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$.
La suite $(u_n)$ est divergente.
Pour tout $n\geq 1$, $\displaystyle |u_n-1|\leq \frac{1}{2^n}|u_0-1|$.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=1$

?Suites réelles - étude d'une suite

Soit $n$ un nombre entier non nul et soit $\displaystyle u_n=\left|\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}-\dots+\frac{(-1)^{n-1}n}{n}\right|$. Quelles sont les bonnes réponses ?

La suite $(u_n)$ est monotone.
Les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite.
La suite $(u_n)$ est divergente.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=\frac{1}{2}$

?Suites réelles - étude de la convergence

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1. On considère les suites de termes généraux $\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}$, $\displaystyle v_n=\sum _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{2k}}{2k}$ et $\displaystyle w_n=\sum _{k=1}^{2n+1}\frac{(-1)^{2k+1}}{2k+1}$. Quelles sont les bonnes réponses ?

Les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes.
La suite $(u_n)$ est convergente.
La suite $(u_n)$ est divergente.
L'une au moins des suites $(v_n)$ ou $(w_n)$ est divergente.

?Suites réelles - étude d'une suite définie par récurrence

Soit $a > 0$. On définit par récurrence une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ par $u_0 > 0$ et, pour $n\geq 0$, $\displaystyle u_{n+1}= \frac{u_n^2+a^2}{2u_n}$. Que peut-on en déduire ?

Le terme $u_n$ n'est pas défini pour tout $n\in \mathbf{N}$.
$\forall n\in \mathbf{N}^*$, $u_n \geq a$, et $(u_n)_{n\geq 1}$ est décroissante.
Pour tout $n\in \mathbf{N}$, $\displaystyle \left|u_{n+1}-a\right|\leq \frac{\left|u_1-a\right|}{2^n}$.
La suite $(u_n)$ est divergente.

?Suites réelles - étude d'une suite croissante

Soit $(u_n)$ une suite croissante. On suppose que $\displaystyle u_{n+1}-u_n\leq \frac{1}{2^n}$ pour tout $n\geq 0$. Que peut-on en déduire ?

$(u_n)$ est divergente.
$(u_n)$ est bornée et $u_0\leq u_n\leq u_0+2$.
$(u_n)$ est convergente et $\displaystyle u_0\leq \lim _{n\to +\infty}u_n\leq u_0+2$.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$

?Suites réelles - étude d'une suite définie par récurrence

Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et $\displaystyle u_{n+1}= \ln(1+u_n)$. Que peut-on en déduire ?

Une telle suite $(u_n)$ n'existe pas.
$\forall n\in \mathbf{N}^*$, $u_n \geq 0$, et $(u_n)$ est décroissante
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=0$

?Suites réelles - étude d'une suite croissante

Soit $(u_n)$ une suite croissante. On suppose que $\displaystyle 0\leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2^n}$ pour tout $n\geq 0$. Quelles sont les bonnes réponses ?

$(u_n)$ est majorée.
$(u_n)$ est divergente.
$(u_n)$ est convergente et $\displaystyle 0\leq \lim _{n\to +\infty}u_n\leq 2$.
$u_n=0$ pour tout $n\geq 1$.

?Suites réelles - étude d'une suite croissante

Soit $(u_n)$ une suite croissante. On suppose que $\displaystyle u_n+\frac{1}{n+1}\leq u_{n+1}$ pour tout $n\geq 0$. On remarque que $u_0+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}.$ Quelles sont les bonnes réponses ?

$(u_n)$ est majorée.
$(u_n)$ est divergente.
$(u_n)$ est convergente et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n\geq 0$.
$u_n=0$ pour tout $n\geq 1$.

?Suites réelles - étude d'une suite

On admet que $\forall x \in [0,1[$, $\ln (1+x)\leq x\leq -\ln (1-x)$. Soit $\displaystyle u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$, $n\geq 1$. Quelles sont les bonnes réponses ?

La suite $(u_n)$ est croissante non majorée.
Pour tout $n\geq 1$, $\displaystyle \ln \left(\frac{2n+1}{n+1}\right)\leq u_n\leq \ln (2)$.
$(u_n)$ est convergente et $\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=\ln (2)$.
$\displaystyle \lim _{n\to +\infty}u_n=+\infty$

?Intégrales et primitives

Déterminer $\int \ln(\sqrt{x})\,dx$.

$x\ln(x)-x+C$, $C\in\mathbb{R} $
$\frac{x\ln(x)}{2}-\frac{x}{2}+C$, $C\in\mathbb{R} $
$x\ln(\sqrt{x})-\frac{2x^{3/2}}{3}+C$, $C\in\mathbb{R} $

?Intégrales et primitives

Déterminer $\int (\ln x)^2\,dx$.

$x(\ln(x))^2+C$, $C\in\mathbb{R}$.
$x(\ln(x))^2-2x\ln(x)+2x+C$, $C\in\mathbb{R}$.
$x(\ln(x))^2-2x\ln(x)+C$, $C\in\mathbb{R}$.

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Une étagère en équilibre, tenue par un fil, subit une force de tension $\overrightarrow T$ .

Cette étagère est inclinée d'un angle α par rapport à l'horizontale comme le montre la figure ci-dessous.

Quelle est la composante horizontale de $\overrightarrow T$?

$T_x = T \cos \alpha$
$T_x = T \cos (45° - \alpha)$
$T_x = T \cos (\alpha - 45°)$
$T_x = -T \cos (45° - \alpha)$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Un objet ponctuel en mouvement circulaire uniforme subit une accélération $\overrightarrow a$ inclinée d'un angle θ par rapport à l'horizontale à un instant donné.

Quelles sont les composantes du vecteur vitesse $\overrightarrow V$ qui est orthogonal au vecteur $\overrightarrow a$?

$v_x = v \cos \theta$
$v_y = v \sin \theta$
$v_x = - v \cos \theta$
$v_y = - v \sin \theta$
$v_x = - v \sin \theta$
$v_y = - v \cos \theta$
$v_x = v \sin \theta$
$v_y = v \cos \theta$

?Exprimer une grandeur à partir d'une relation vectorielle

Un objet ponctuel en mouvement circulaire uniforme subit une accélération $\overrightarrow a$ inclinée d'un angle θ par rapport à l'horizontale à un instant donné.

Quelles sont les composantes du vecteur vitesse $\overrightarrow V$ qui est orthogonal au vecteur $\overrightarrow a$?

$v_x = v cos \theta $
$v_y = v sin \theta$
$v_x = v sin \theta $
$v_y = v cos \theta$
$v_x = - v sin \theta $
$v_y = - v cos \theta$
$v_x = - v sin \theta $
$v_y = - v sin \theta$

Validez

\(\textstyle{x=}\)	1	2	3	4
\(\textstyle{\mathbb P(X=x)}\)	\(\textstyle{\frac16}\)	\(\textstyle{\frac12}\)	\(\textstyle{\frac3{10}}\)	\(\textstyle{\frac1{30}}\)

Vecteurs	\(\vec F_{A/B}\)	\(\overrightarrow {AB}\)
Sens	de B vers A	de A vers B

gain	5	7	10	15
probabilité	\(\textstyle{\frac35}\)	\(\textstyle{\frac14}\)

\(PO_2\) (en kPa)	1,4	3	4,2	5,6	7,4	8,4
Volume d'\(O_2\) fixé sur l'hémoglobine (en mL par litre de sang)	16	56	110	148	160	170

\(PO_2\) (en kPa)	1,4	3	4,2	5,6	7,4	8,4
Volume d\('O_2\) fixé sur l'hémoglobine (en mL par litre de sang)	16	56	110	148	160	170